|
|
УЭ- 9. Задачи нахождение целых корней многочленаС целыми коэффициентами Ваша цель: научиться находить корни многочленов с целыми коэффициентами. Практическая часть Пусть дано алгебраическое уравнение общего вида: а0xn + a1xn–1 +...+ an–1x + an = 0, где n – натуральное число, а0, an–1, ..., an – некоторые действительные числа и а0 ¹ 0. Иногда удается подобрать целые корни таких алгебраических уравнений, используя теорему. Учимся доказывать теоремы
Теорема.Если уравнение а0xn + a1xn–1 +...+ an–1x + an = 0, (1) с целыми коэффициентами имеет целый корень k, то число k является делителем свободного члена an. Доказательство. Пусть число k является корнем уравнения (1), тогда, подставляя x = k в уравнение, получим верное числовое равенство а0kn + a1kn–1 +...+ an–1k + an = 0,
откуда an = –k(а0kn–1+ a1kn–2 +...+ an–1). Оба множителя в правой части полученного верного числового равенства целые – значит, свободный член ап уравнения должен делиться на k. · Итак, мы доказали, что если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем его свободного члена. Отсюда следует, что искать целые корни нужно лишь среди делителей свободного члена уравнения, которых имеется лишь конечное множество. Пример 1. Решим уравнение х3 – 2x + 1 = 0. Решение. Согласно доказанной теореме , если это уравнение и имеет целые корни, то только –1 или 1. Проверкой убеждаемся, что число 1 действительно является корнем, т.е. х1= 1. Разложим многочлен, стоящий в левой части уравнения, на множители, разделив его на двучлен х – 1:
х3 – x2 x2 + x – 1 х2 – 2x + 1 x2 – x –x + 1 –x + 1
Значит, х3 – 2x + 1 = (x – 1)(x2 + x – 1). Решая уравнение х2 + x – 1 = 0, находим: x2,3 = . Ответ:
Пример 2. Решим уравнение x2 – 10x3 + 35х2 – 50х + 24 = 0. Решение. Если это уравнение имеет целые рациональные корни, то они могут быть только делителями числа 24, т. е. ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24. Проверкой убеждаемся, что x1 = 1. Делим многочлен, стоящий в левой части, на двучлен х – 1 и получаем: x2 – 10x3 + 35х2 – 50х + 24 = (x – 1) (x3 – 9х2 + 26x – 24). Далее решаем уравнение x3 – 9х2 + 26x – 24 = 0. Проверкой делителей свободного члена находим х2 = 2и, выполнив деление многочлена, стоящего в левой части полученного уравнения, на двучлен х – 2, получаем: x3 – 9х2 + 26x – 24 = (х – 2) (х2 – 7х + 12). Решая уравнение х2 – 7х + 12, находим x3 = 3, x4 = 4. Ответ: 1; 2; 3; 4. Практическая часть С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу. Задание 1. Найдите целые корни уравнения: а) x4 – 15x2 + 10x + 24 = 0; б) x4 – l0x3 + 35x2 – 50x + 24 = 0; в) x4 – 4x3 – 19x2 + 106x – 120 = 0. Задание 2. Найдите рациональные корни уравнения: а) 6x5 + x4 – l4x3 + 4x2 + 5x – 2 = 0; б) 6x4 – 4lx3 + 85x2 – 51x + 9 = 0; в) 24x6 + l0x4 – x3 – l9x2 – 5x + 6 = 0. Задание 3. Решите уравнение путем подбора корня с последующим понижением степени: а) x3 – 4x2 – x + 4 = 0; б) x3 – 7x2 + 16x – 12 = 0; в) x3 – x2 – 8x + 12 = 0; г) x4 – 4x3 – l9x2 + l06x – 120 = 0; д) x4 + 4x3 – l0x2 – 28x – 15 = 0; е) x4 – 3x3 – 8x2 + 12x + 16 = 0. Задание 4. Решите уравнение: а) x3 – 4x2 – 4x – 5 = 0; б) x3 + 8x2 + 15x + 18 = 0; в) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 =0; г) x5 – x4 – 3x3 + 5x2 – 2x = 0. Задание 5. Определите свободный член уравнения 6х3 – 7х2 – 16x + а = 0, если один из его корней равен 2. Найдите два остальных корня.
Содержание Информация для учащихся ………………………………………………2
Модуль 1. Числовые и линейные неравенства…………………………. 5 УЭ-1. Числовые неравенства и их свойства……………………………..5 УЭ-2. Методы доказательства неравенств………………………………11 УЭ-3. Числовые промежутки...…………………………………………..16 УЭ-4. Решение задач по теме «Линейное неравенство с одной переменной»…………………..17 УЭ-5. Задачи на исследование линейных неравенств………………….22 УЭ-6. Решение неравенств, сводящихся к линейным неравенствам… 25 УЭ-7. Системы и совокупности линейных неравенств ………………..30
Модуль 2. Действительные числа ……………………………………….40 УЭ-1. Рациональные числа ……………………………………………… 40 УЭ-2. Действительные числа …………………………………………… 48 УЭ-3. Действительные числа и координатная прямая ………………. 56 УЭ-4. Модуль действительного числа ………………………………… 59 УЭ-5. Метод промежутков при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля………………………………………… 63 УЭ-6. Решение уравнений вида УЭ-7. Решение уравнений вида УЭ-8. Решение уравнений вида УЭ-9. Метод промежутков при решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля ……………………………………….. 71 УЭ-10. Решение неравенств вида УЭ-11. Решение неравенств вида
Модуль 3. Арифметический квадратный корень………………… 82 УЭ-1. Арифметический квадратный корень и его свойства ………… 82 УЭ-2. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.. 89 УЭ-3. Действия с квадратными корнями ……………………………… 93 УЭ-4. Преобразования двойных радикалов…………………………… 97 Математическая мозаика ………………………………………………. 101
Модуль 4. Квадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям ……………………………………. 104 УЭ-1. Понятие квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения………………………………………………………………….. 104 УЭ-2. Способы нахождения квадратных уравнений ………………….. 108 УЭ-3. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители….. 116 УЭ-4. Решение задач с помощью квадратных уравнений …………….. 119 УЭ-5. Решение задач по теме «Теорема Виета»………………………. 122 УЭ-6. Задачи на исследование знаков корней приведенного квадратного уравнения …………………………………………………………… 128 УЭ-7.Решение биквадратных уравнений …………………………. 130 УЭ-8. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям….. 133 УЭ-9. Задачи на нахождение целых корней многочлена с целыми коэффициентами …………………………………………………………… 140 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
х3 – 2x + 1 х – 1
.
……………………………. 65
, 
, 
…………………………………………………………. 67
……………………….. 69
……………………………...72
………………………… 77