УЭ- 8 . Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Ваша цель: научиться решать уравнения. уравнения. сводящиеся к квадратным.

Входная информация

Рассмотрим некоторые подходы к решению уравнений высших степеней.

Простейшие уравнения. сводящиеся к квадратным. Многие уравнений с помощью метода введения новой переменной можно свести к квадратному уравнению, к их системе или совокупности таких уравнений.

Пример1. Решим уравнение .

Решение. Вводим новую переменную , тогда , откуда и . Далее имеем:

1) , т.е. . Его корни: .

Ответ: .

Пример 2. Решим уравнение

.

Решение. Введем подстановку , тогда данное уравнение примет вид y (y + 1) – 12 = 0, т.е. . Отсюда находим y = – 4 или y = 3.

Чтобы найти значения переменной x, нужно решить уравнения и , после чего объединить их корни. Решая полученные квадратные уравнения, находим: , .

Ответ: –2; 1.

Решение уравнений вида (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = т , где a + b = c + d (или а + с = b + d или a + d = b + c). Рассмотрим конкретный пример.

Пример 3. Решить уравнение

(х + 4) (х + 5) (х + 7) (х + 8) = 4.

Решение. Заметим, что 4 + 8 = 5 + 7. Перемножив в левой части уравнения выражения, стоящие в первой и четвертой скобках, а также выражения, стоящие во второй и третьей скобках, получим:

.

Сделаем замену . Тогда y (y + 3) = 4, или , откуда у = – 4 или y = 1.

Таким образом, исходное уравнение сводится к совокупности уравнений:

или т.е.

или .

Решая эту совокупность уравнений, получаем:

Ответ: .

Решение уравнений вида

Итак, уравнение (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = т приводится к квадратному методом подстановки, если a + b = c + d (или а + с = b + d или a + d = b + c).

Решение уравнений вида . Рассмотрим конкретные примеры.

.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Пусть х – 4,5 = y + k, х – 5,5 = у – k(*).Вычитая из первого равенства второе, получаем k = 0,5. Тогда х – 4,5 = у + 0,5, . х - 5,5 = = у– 0,5. Относительно у уравнение примет вид:

,

или .

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим биквадратное уравнение:

,

;

;

, т.е. .

Тогда из формул (*) находим решение исходного уравнения.

Ответ: 4,5; 5,5.

Итак, уравнение приводится к биквадратному заменой .

Пример 5. Решить уравнение

.

Решение. Введем подстановку х = у – 4 и данное уравнение перепишем так:

.

Выполним преобразования:

,

,

.

Откуда , или . Отсюда находим, что .

Из равенства х = у – 4 имеем: или .

Ответ: –3; –5.

Метод выделения полного квадрата. Для решения некоторых уравнении, сводящихся к квадратным, используется метод выделения полного квадрата.

Пример 6. Решим уравнение

.

Решение. В левой части данного уравнения выделим полный квадрат:

,

.

Введем подстановку . Тогда относительно переменной у уравнение примет вид: , откуда получаем: y = 1 и y = 3.

Если у = 1, то , . Откуда находим:

Если у = 3, то ,. Откуда находим: .

Ответ: .

Метод разложения левой части на множители. Если левую часть уравнения вида f(x) = 0, где f(x)– многочлен удается разложить на множители, то решение такого уравнения сводится к решению совокупности алгебраических уравнений_меньшей степени.

Заметим, что решить совокупность уравнений с одной переменной (f(x)= 0 или g(x) = 0) – значит найти все числа, являющиеся решением хотя бы одного уравнения, входящего в данную совокупность, или доказать, что таких чисел не существует. Совокупность уравнений f(x) =0 и g(x) = 0 символически можно записать так:

либо f(x) = 0 или g(x) = 0.

Пример 7. Решить уравнение

.

Решение. Сгруппируем первые три члена уравнения и вынесем за скобку:

или ;

,

или .

Решений нет. .

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение

.

Решение. Применив группировку, запишем уравнение в виде:

.

Выделим полные квадраты в каждой скобке, не нарушив равносильности уравнений:

, т. е.

.

Откуда имеем:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

или .

Корнями первого уравнения являются числа , а второе уравнение решений не имеет.

Ответ: .

Решение возвратных уравнений. Некоторые уравнения имеет особенность: коэффициенты, равноудаленные от начала и конца многочлена, стоящего в левой части уравнения, равны между собой. Уравнения с такой особенностью называются возвратными. На примере покажем способ решения возвратного уравнения третьей степени.

Пример 9. Решить уравнение

.

Решение. Применив группировку, запишем данное уравнение в виде:

,

т.е. ,

откуда

,

	или
		.

Ответ: .

Заметим, что уравнение вида равносильно уравнению , т. е. уравнению которое легко решается

Практическая часть

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 1. Решите уравнение:

а) ,

б) .

Задание 2. Решите уравнение, введя новую переменную:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Задание 3. Решите уравнение:

а) ,

б) ;

Задание 4. Решите уравнение:

а) ,

б) .

Задание 5. Решите уравнение:

а) ;

б) .

Задание 6. Решите уравнение методом введения новой переменной:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 7. Решите уравнение:

а) ;

б) ;

в) .

Задание 8. Решите уравнение:

а) ;

б) .

Задание 9. Решите уравнение:

а) ;

б) .

Задание 10. Решите уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: