УЭ-4. Модуль действительного числа

Ваша цель:

четко знать определение модуля действительного числа;

понимать геометрическую интерпретацию модуля действительного числа и уметь применять ее при решении задач;

знать свойства модуля и уметь применять при решении задач;

уметь представление о расстоянии между двумя точками координатной прямой и уметь использовать его при решении задач.

Входная информация

Понятие модуля действительного числа. Модулем действительного числа называют само это число , если , и противоположны ему число , если < 0.

Модуль числа обозначают и записывают:

Геометрическая интерпретация модуля. Геометрически модуль действительного числа есть расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета.

Решение уравнений и неравенств с модулями на основе геометрического смысла модуля. Пользуясь понятием «расстояние между двумя точками координатной прямой» можно решать уравнения вида или неравенства вида , где вместо знака может стоять любой из знаков .

Пример. Решим уравнение .

Решение. Переформулируем задачу геометрически. Поскольку -это расстояние на координатной прямой между точками с координатами и , значит, требуется найти координаты таких точек, расстояние от которых до точек с координатой 1 равно 2.

Короче, на координатной прямой найти множество координат точек, расстояние от которых до точки с координатной 1 равно 2.

Решим эту задачу. Отметим на координатной прямой точку, координата которой равна 1 (рис. 6) На две единицы от этой точки удалены точки, координаты которых равны -1 и 3. Значит, искомое множество координат точек есть множество, состоящее из чисел -1 и 3.

Ответ: -1; 3.

Как найти расстояние между двумя точками координатной прямой. Число, выражающее расстояние между точками и , называют расстоянием между числами и .

Для любых двух точек и координатной прямой расстояние

.

Основные свойства модуля действительного числа:

1. 0;

2. ;

3. ;

4. , ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

При имеем:

11. тогда только тогда, когда или ;

12. тогда только тогда, когда ;

13. тогда только тогда, когда или ;

14. тогда только тогда, когда ;

11. тогда только тогда, когда .

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. Раскройте знак модуля:

а) |–5|; б) |5|; в) |0|; г) |p|.

2.Сравните между собой числа:

а) || и –; в) |0| и 0; д) – |–3| и –3; ж) –4|а| и 0;

б) |–p| и p; г) |–7,3| и –7,3; е) |а| и 0; з) 2|а| и |2а|.

3.Как при помощи знака модуля записать, что по крайней мере одно из чисел а, b или с отлично от нуля ?

4.Как при помощи знака равенства записать, что каждое из чисел а, b и с равно нулю ?

5. Найдите значение выражения:

а) |а| – а; б) а + |а|.

6. Решите уравнение:

а) |х| = 3; в) |х| = –2; д) |2х – 5| = 0;

б) |х| = 0; г) |х – 3| = 4; е) |3х – 7| = – 9.

7. Что можно сказать о числах х и у, если:

а) |х| = х; б) |х| = –х; в) |х| = |у|?

8. Решите уравнение:

а) |х – 2| = х – 2; в) |х – 3| =|7 – х|;

б) |х – 2| = 2 – х; г) |х – 5| =|х – 6|.

9.Что можно сказать о числе у, если имеет место равенство:

а) ïхï = у; б) ïхï = –у ?

10. Решите неравенство:

а) |х| > х; в) |х| > –х; д) |х| £ х;

б) |х| ³ х; г) |х| ³ –х; е) |х| £ –х.

11.Укажите все значения а, для которых имеет место равенство:

а) |а| = а; б) |а| = –а; в) а – |–а| =0; г) |а|а = –1; д) = 1.

12. Найдите все значения b, для которых имеет место неравенство:

а) |b| ³ 1; б) |b| < 1; в) |b| £ 0; г) |b| ³ 0; д) 1 < |b| < 2.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Исходя из определения модуля действительного числа, решите уравнение:

Задание 3. Укажите на координатной прямой множество таких точек, для которых справедливо соотношение:

Задание 4. Расстояние между точками, изображающими действительные числа α и β на координатной прямой, равно | α – β |. Пользуясь этим, решите уравнение:

Задание 5. Докажите, что

а) ; б) в) .

Задание 6. Докажите, что тогда и только тогда, когда .

Задание 7. Докажите, что:

а) ;

б) ;

в) .

Рубрика «Ваш помощник»

1. а) 5; б) 5; в) 0; г) –p.

2. а) || > –; б) |–p| = p; в) |0| = 0; г) |–7,3| > –7,3;

д) – |–3| = –3; е) если а = 0, то |а| = 0; если а ¹ 0, то |а| > 0.

3. |а| + |b|+ |с| ¹ 0 либо а² + b²+ с² ¹ 0.

4. |а| + |b|+ |с| = 0 либо а² + b²+ с² = 0.

5. а) Если а ³ 0, то |а| – а = 0; если а < 0, то |а| – а = –2а.

6. а) {–3; 3}; б) {0}; в) Æ; г) {–1; 7}; д) {2,5}; е) Æ.

7. а) х ³ 0; б) х £ 0; в) х = у или х = –у.

8. а) [2; +¥); б) (–¥; 2]; в) {5}; г) {5, 5}.

9. а) у ³ 0; б) у £ 0.

10. а) (–¥; 0); б) (–¥; ¥); в) (0; ¥); г) (–¥; ¥); д) [0; ¥); е) (–¥; 0].

11. а) а ³ 0; б) а £ 0; в) а ³ 0; г) а = –1; д) а > 0.

12. а) b £ –1 или b ³ 1; б) –1 < b < 1; в) b = 0; г) R;

д) –2 < b < –1 или 1 < b < 2.

К заданию 2. а) 1,5 ; б) 3,5; 4,5; в) 2.%; е) нет решений.

К заданию 3. а) -2,4; б) -1; 4; в) 6; г) -0,5; 0,5; д) 0; 2.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: