Не существует рационального числа, квадрат которого равен. 2.

Например: ; .

Правило 2. Правильная смешанная периодическая дробь равна обыкновенной, в числителе которой находится разность числа, стоящего до второго периода, и числа, стоящего до первого периода, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Задание 1. Продумайте ответы на следующие вопросы:

1. Какие числа составляют множество всех рациональных чисел? Как обозначается это множество? Приведите примеры рациональных чисел.

2. Существует ли взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел и множеством всех точек на координатной прямой?

3. Всегда ли выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления на множестве Q?

4. Что называется арифметическим квадратным корнем? Сколько существует арифметических квадратных корней из неотрицательного рационального числа а?

5. Всегда ли имеет уравнение рациональные корни при a > 0, a = 0, a < 0 и, если имеет, то сколько?

6. Могут ли быть равными: а) квадраты неравных чисел; б) арифметические квадратные корни из неравных чисел?

7. Назовите два рациональных числа, расположенных между числами – 0,13427 и 0.

Задание 2. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Представьте в виде отношения целого числа к натуральному следующие числа: а) 1; б) 0,4; в) –1; г) –17; д) 0.

2.Какие из чисел –80; –12,5; –2; –; 0; 6; 17; 20являются: а) натуральными; б) целыми; в) рациональными, но не натуральными; г) рациональными, но не целыми ?

3.Верно ли, что:

а) –4 Î N; –4 Î Z; –4 Î Q;

б) 3,6 Î N; 3,6 Î Z; 3,6 Î Q;

в) 14 Î N; 14 Î Z; 14 Î Q.

4.Пусть х Î Q, у Î Q. Какому из числовых множеств принадлежит х + у; х – у; ху; ?

5.Укажите два таких рациональных числа, чтобы их сумма, произведение, частное были равны между собой.

6.Укажите несколько рациональных чисел, заключенных между:

а) 6 и 6,1; б) –0,02 и 0; в) –201 и –200; г) и .

7.Укажите такие рациональные числа k и q, при которых имеет место соотношение:

а) = 0; в) = –1; д) < 1;

б) = 1; г) > 1; е) · > 1.

8.Могут ли два взаимно обратных числа иметь противоположные знаки ?

9. Вычислите:

+ + + … + + .

10. Решите уравнение:

а) х² = 25; б) х² = 2; в) х² = 3.

11.Докажите, что верно равенство:

а) = 11; б) = 20; в) = 0,5; г) = 0,3.

12.Какие из данных выражений имеют смысл:

а) , , –;

б) , , –, –.

13.Найдите значение корня:

а) ; г) ; ж) ;

б) ; д) ; з) ;

в) ; е) ; и) .

14.Почему уравнение не имеет корней:

а) = –3; в) –= 3;

б) + 2 = 0; г) 3= –12 ?

15.Докажите, что

а) число 7 есть арифметический квадратный корень из 49;

б) число 0,5 есть арифметический квадратный корень из 0,25;

в) число –1,3 не является арифметическим квадратным корнем из 1,69.

16.Докажите, что:

а) = 9; в) = 4,1;

б) = 2,2; г) = 0,18.

17.Вычислите арифметический квадратный корень из числа:

а) 25; б) 121; в) 0,36; г) 2,56; д) ; е) 6.

18.Найдите значение корня:

а) ; в) ; д) ; ж) ;

б) ; г) ; е) ; з) .

19. Даны дроби а) ; б) ; в) ; г) . Не пользуясь алгоритмом деления, выясните, какие из обыкновенных дробей обращаются в конечные десятичные дроби.

20.Представьте в виде бесконечной десятичной дроби рациональное число: ; ; ; .

21.Каково наименьшее рациональное число, большее числа 5,7 в бесконечную запись которого не входят цифры 0, 1, 2, 3 ?

22.Записать рациональное число в виде периодический дроби: ; ; .

23.Представьте в виде обыкновенной дроби: 0,(4); 0,(5); 0,(21); 1,(137).