УЭ-9. Метод промежутков при решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Ваша цель: уяснить сущность метода промежутков и уметь применять его к решению неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Входная информация

Сущность метода промежутков. Чтобы решить, например, неравенство

:

1) Находят область допустимых значений неравенства;

2) находят нули подмодульных выражений;

3) разбивают область допустимых значений нулями подмодульных выражений на промежутки;

4) на каждом из полученных промежутков неравенство записывают без знака модуля и решают с учетом знака неравенства, задающего этот промежуток;

Найденные множества решений объединяют и записывают ответ.

1) Û Û (x < –2).

Практическая часть

Задание 1.Решите неравенство:

Задание 2. Решите неравенство:

а) 2 |х + 1| > х + 4; в) 4 |х + 2| < 2х + 10;

б) 3 |х – 1| £ х + 3; г) 3 |х + 1| ³ х + 5.

Задание 3. Решите неравенство:

а) |х – 2| + |х + 3| > 5;

б) |2х + 5| – |3х – 4| £2х – 4;

в) |5 – 2х| + |3х – 4| ³ 2х + 3;

г) |х – 1| + 2 |2х + 3| – |2 – х| > 5 + |х|.

Задание 4. Решите неравенство |х + 1| + |х – 4| > 7, указав наименьшее целое положительноех, удовлетворяющее этому неравенству.

УЭ-10. Решение неравенств вида

( вместо знака < может стоять любой из знаков ).

Ваша цель: научиться решать неравенства данного вида

Входная информация

Метод промежутков является наиболее универсальным способом решения неравенств. Однако в некоторых случаях целесообразно использовать другие методы.

Метод равносильных переходов. Используют равносильные переходы, позволяющие избавиться от знака модуля. Приведем некоторые из них, применяемые при решении простейших неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

1. Если , то .

2. Если , то неравенство решений не имеет.

Учимся решать неравенства различными способами.

Пример 1. Решим неравенство:

|x – 1| < 3.

Решение.

1-й способ. Поскольку |x – 1| можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками х и 1, то по условию задачи нужно указать на координатной прямой все точки х, которые удалены от точки 1 меньше чем на 3 единицы (рис.8 ).

Отсюда находим множество решений неравенства: (–2; 4).

2-й способ. Поскольку

|x – 1| =

то заданное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Или

Из первой системы получаем, что 1 £ х < 4, а из второй – что –2<x<1. Объединив промежутки (–2; 1) и [1; 4), получаем (–2; 4) – решение заданного неравенства.

3-й способ. Данное неравенство |x – 1| < 3 равносильно двойному неравенству –3 < x – 1 < 3, т.е. –2 < x < 4.

Ответ: (–2; 4).

1. Если , то .

2. .

3. Если , то неравенство решений не имеет.

1. Если , то .

2. Множество решений неравенства совпадает с областью определения выражения , из которой исключены корни уравнения .

3. Если , то множество решений неравенства совпадает с областью определения выражения .

1. Если , то .

2. Если , то множество решений неравенства совпадает с областью определения выражения .

Рассмотрим некоторые из них на примере решения неравенств вида , где вместо знака < может стоять любой из знаков .

Пример 2. Решить неравенство

|2x + 5| ³ 6.

Решение. 1-й способ. Разделив обе части данного неравенства на положительное число 2, получим равносильное неравенство

|2x + 2,5| ³ 3.

Задачу можно переформулировать так: на координатной прямой найти все такие точки х, которые удалены от точки –2,5 на расстояние, большее или равное 3 (рис. 9.29). Получаем: x £ –5,5 либо х ³ 0,5, т.е. объединение числовых промежутков (–¥; –5,5] и [0,5; +¥) является решением данного неравенства.

2-й способ. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

Выполнив равносильные преобразования, получим: х ³ 0,5 либо x £ –5,5. Объединив решения полученных неравенств, получим ответ.

Ответ: (–¥; –5,5] U [0,5; +¥).

Задание. Решите неравенство |2x + 5| ³ 6 третьим способом, основанным на раскрытии знака модуля.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Решите неравенство:

а) ïхï > 2; г) ïхï £ –2; ж) ïхï ³ 0;

б) ïхï ³ 2; д) ïхï > –2; з) ³ 0;

в) ïхï £ 2; е) ïхï > 0; и) > –3.

2.Верно ли, что неравенство ïаï < 3 равносильно неравенствам:

а) а < –3 или а > 3; в) 0 < а < 3;

б) –3 < а < 3; г) а < 3 ?

3.Укажите множество решений неравенства:

а) ï4хï > 16; в) ïх – 4ï > –3;

б) ï4хï £ 9; г) ïх – 1ï > 0.

4.При каких значениях вернонеравенство:

а) £ ; в) |х^–1| > 0;

б) > ; г) |х|^–1 < 0?

5.Укажите множество решений неравенства:

а) 1 < ïхï < 2; б) 3 < ïхï £ 5.

6.Имеет ли решение неравенство 1 < ïхï < –7 ?

7. Известно, что:

а) неравенство имеет единственное решение. Чему равно ?

Б) решением неравенства является любое действительное число. Чему равно ?

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Используя координатную прямую, решите уравнение или неравенство:

а) ;г) ;ж) ;

б) ; д) з) ;

в) ; е) ;и) .

Задание 3. Решите неравенство:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

Задание 4. Решите неравенство:

а) ; в) ; д) 4

б) ; г) ; е) .

Задание 5, подберите числа и так, чтобы множеством решений неравенства был числовой отрезок: а) ; б) .

Задание 6. Решите систему неравенств:

а) б) в)

Задание 7. Решите неравенство:

а) ; б) .

Задание 8. При каких значениях x значения дроби

а) отрицательны? б) не больше нуля?

Задание 9. Решите неравенство:

а) ; б) .

Задание 10. Найдите множество решений неравенства

Задание 11. Найдите сумму всех целых решений неравенства

Задание 12. Решите неравенство:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

Рубрика “Ваш помощник”

К заданию 1. Ответы на устные упражнения

1. а) (–¥; –2) U (2; +¥); е) (–¥; 0) U (0; +¥);

б) (–¥; –2] U [2; +¥); ж) R;

в) [–2; 2]; з) R;

г) нет решений; и) R.

д) R;

2. а) неверно; б) верно; в) неверно; г) неверно.

3. а) (–¥; –4) U (4; +¥); б) [–; ]; в) R; г) (–¥; 1) U (1; +¥).

4. а) (–¥; –2] U [2; +¥); б) (–2; 2); в) (–¥; 0) U (0; +¥); г) х < 0.

5. а) (–2; –1) U (1; 2); б) [–5; 3) U (3; 5].

6. Не имеет.

К заданию 3. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

К заданию 4. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) нет решений; е) .

К заданию 5. а) ,т.е.

УЭ-14. Решение неравенств вида

( вместо знака < может стоять любой из знаков ).

Ваша цель: научиться решать неравенства вида , где вместо знака < может стоять любой из знаков .

Входная информация.

Решение неравенств вида , где и выражения вида и вместо знака < может стоять любой из знаков

Решение неравенств вида , где и выражения вида и вместо знака < может стоять любой из знаков

Решение неравенств вида , где и выражения вида и вместо знака < может стоять любой из знаков

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. Найдите множество решений неравенства:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. Решите неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Решите неравенство:

а) |х – 3| ³ 2х + 1; в) |х – 2| < ;

б) |3х + 1| ³ 7х – 5; г) |х – 1| < .

Задание 3.Решите неравенство:

а) 2 |х + 1| > х + 4; в) 4 |х + 2| < 2х + 10;

б) 3 |х – 1| £ х + 3; г) 3 |х + 1| ³ х + 5.

Задание 4. Решите неравенство:

а) |х – 1| > |х + 3|; в) |х| > |2 – х|;

б) |х – 3| > |х – 5|; г) |х – 5| ³ |х|.

Задание 5. Решите неравенство:

а) ; б) .

Рубрика “Ваш помощник”

К заданию 1. Ответы на устные упражнения

1. а){-3;3}; д) (- ;+ );

б) (- ;+ ); е) (- ;0) (0;+ );

в) (- ;0) (0;+ ); ж) (- ;0) (0;+ );

г) (- ;0) (0;+ ); з) (- ;+ ).

2. а) (- ;+ ); д) нет решений;

б) нет решений; е) [0;+ );

в) (- ;+ ); ж) нет решений;

г) нет решений; з) (- ;0].

К заданию 2. а) ; б) ; в) ; г) .

К заданию 3. а) ; б) ; в) ; г) .

К заданию 4. а) ; б) ; в) ; г) .

К заданию 5. а) ; б) .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: