УЭ- 6. Задачи на исследование знаков корней

Приведенного квадратного уравнения

Ваша цель: научиться решать задачи на исследование знаков корней приведенного квадратного уравнения.

Входная информация

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение и будем считать, что его дискриминант неотрицателен. Тогда возможны следующие случаи.

1) Пусть q > 0; так как q= , то оба корня имеют одинаковые знаки:

а) если р > 0, сумма отрицательна , значит, оба корня отрицательны;

б) если р < 0, сумма положительна , значит, оба корня положительны;

в) если р = 0, уравнение не имеет действительных корней и .

2) Пусть q < 0. В этом случае из равенства следует, что корни имеют противоположные знаки:

а) если р > 0, сумма отрицательна и, значит, больший по модулю корень отрицателен;

б) если р < 0, сумма положительна и, значит, больший по модулю корень положителен;

в) если р = 0, то .

3) Пусть q = 0; так как , то хотя бы один из корней уравнения равен нулю. Пусть , тогда и . Аналогично, если , то . Если же и р = 0, то уравнение имеет два равных корня

Полученные результаты исследования знаков корней приведенного квадратного уравнения показаны в таблице.

q	p	Знаки корней
q > 0	p > 0	оба корня отрицательны
p < 0	оба корня положительны
p = 0	корней нет
q < 0	p > 0	корни разных знаков; больший по модулю корень отрицателен
p < 0	корни разных знаков; больший по модулю корень положителен
p = 0
q = 0	p ≠ 0
p = 0

Если обе части квадратного уравнения (а ≠ 0) разделить на а, то получим приведенное квадратное уравнение

,

которое будет иметь те же корни, что и исходное. В этомслучае , поэтому исследование знаков корней, которое выполнено ранее, будет таким же и для уравнения .

Пример 1. Не решая уравнение , определим знаки его корней.

Находим дискриминант: , D > 0.

Корни действительны и различны между собой; так как их произведение и сумма положительны, то оба корня положительны.

Пример 2. Не решая уравнение , определим знаки его корней.

.

Корни действительны и различны между собой, так как их произведение отрицательно (корни разных знаков); отрицательный корень по модулю больше положительного.

Практическая часть

Задание 1. Продумайте ответы к устным упражнениям:

1. Известно, что дискриминант уравнения положителен. При каком условии корни данного уравнения будут иметь одинаковые знаки?

2. Приведите пример квадратного уравнения, у которого:

а) один корень равен нулю, а второй отличен от нуля;

б) оба корня равны нулю.

3. Докажите, что уравнение не может иметь корни одного знака.

4. Докажите, что уравнение имеет два различных корня и определите знаки этих корней:

а) ; б)

Задание 2.Не решая уравнения, определите знаки его корней:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ;ж) ;

г) ; з) .

Задание 3. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

а) ; б) .

Задание 4. Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

УЭ-7. Решение биквадратных уравнений

Ваша цель: научиться решать биквадратные уравнения

Входная информация

Понятие биквадратного уравнения.

Как найти корни биквадратного уравнения.

Пример 1. Решим уравнение .

Решение. Введя подстановку , получим уравнение: . Его дискриминант , D > 0. Следовательно,

.

Значит, . Так как y ≥ 0, то получим одно уравнение: . Откуда .

Ответ: -1 и 1.

Как найти корни любого уравнения .Данное уравнение подстановкой сводится к решению квадратного уравнения.

Пример 2. Решим уравнение .

Решение. Введя подстановку , получим уравнение:

.

, D > 0.

Тогда . Отсюда или . Решая полученные уравнения, находим: .

Ответ: -2; 3.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Решите уравнение:

а) х⁴ – 5х² = 0; б) х⁴ + 6х² = 0; в) 7х⁴ = 0; г) х⁴ + 3х² + 1 = 0.

1. а) 0; ; б) 0; в) 0; г) Æ.

2.Сколько различных корней имеет уравнение х⁴ – 16 = 0 ?

2.Два корня.

3.Решите уравнение:

а) х⁴ – х² + 2 = 0; б) х⁴ – 0,09х² = 0.

3. а) нет решений; б) 0; –0,3; 0,3.

4.Уравнение х⁴ + 4х² + 5 = 0 не имеет действительных корней. Почему этот вывод можно сделать не решая уравнения ?

4. х⁴ ³ 0, 4х² ³ 0 и 5 > 0.

5.Имеет ли корни биквадратное уравнение 2х⁴ – 5х² + 6 = 0 ?

5. Не имеет, поскольку Д = 25 – 4 × 2 × 6 < 0.

6.Почему биквадратное уравнение, имеющее корень, равный х₀, имеет второй корень, равный –х₀ ?

6. Поскольку = а(–х₀)⁴ + b(–х₀)² + с для любого х₀.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Решите уравнение:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

Задание 3. Докажите, что уравнение не имеет действительных корней.

Задание 4. Разложите на множители многочлен:

а) ; б) .

Задание 5.Сократите дробь:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 6. Решите уравнения:

.

Найдите сумму и произведение корней каждого из данных уравнений и отметьте свойства корней биквадратных уравнений.

Задание 7. Докажите, что если число α является корнем биквадратного уравнения , то корнем этого уравнения также является число – α.

Задание 8. Составьте биквадратное уравнение, если один из его корней равен , а другой .

Задание 9.Зная, что и –корни уравнения , составьте биквадратное уравнение, имеющее корни ., , и .

Задание 10. Докажите, что уравнение не имеет рациональных корней, если а – целое число и а ≠ 2 .

Задание 11. Решите уравнение:

а) ;

б) .

Рубрика «Ваш помощник»

1. а) 0; ; б) 0; в) 0; г) нет решений.

2.Два корня.

3. а) нет решений; б) 0; –0,3; 0,3.

4. х⁴ ³ 0, 4х² ³ 0 и 5 > 0.

5. Не имеет, поскольку Д = 25 – 4 × 2 × 6 < 0.

6. Поскольку = а(–х₀)⁴ + b(–х₀)² + с для любого х₀.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: