УЭ-2. Преобразование выражений,

Содержащих квадратные корни

Ваша цель: научиться выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

Входная информация

Вынесение из-под знака корня:

, если , .

Внесение под знак корня:

, если , .

, если , .

Учимся решать задачи. Рассмотрим некоторые задачи, связанные с понятием «арифметический квадратный корень» и некоторые способы преобразований числовых выражений, содержащих радикалы.

Пример 1. Вынесем в выражении множитель из-под знака корня.

Заметим, что если предложено выполнить преобразование и не сделано оговорок о значениях переменных, то будем предполагать, что входящие в выражение переменные принимают лишь те значения, при которых оно имеет смысл. Поэтому в данном примере , поскольку выражение имеет смысл лишь при неотрицательных значениях . Представим подкоренное выражение в виде произведения , в котором множитель является степенью с четным показателем. Тогда

.

Пример 2. Вынесем в выражении множитель из-под знака корня.

Данное выражение имеет смысл при любом , и, поскольку , имеем:

Задание. Обоснуйте выполнимость преобразований следующих выражений и укажите, какие значения могут принимать входящие в них переменные:

а) ;

б) ;

в) .

Пример 3. Внесем в выражении множитель под знак корня.

Отрицательный множитель –5 нельзя представить в виде арифметического квадратного корня, и поэтому множитель –5 нельзя внести под знак корня. Однако выражение можно преобразовать, внеся под знак корня положительный множитель 5:

.

Пример 4. В выражении внесем множитель под знак корня.

Множитель может быть любым действительным числом (отрицательным либо неотрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

если , то ;

если , то .

Итак,

Задание. Обоснуйте выполнимость преобразований выражения:

а) ;

б) .

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко всем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. При каких значениях переменной а имеет смысл выражение:

; ; ; ; ; ; ; .

2.Сократите дробь:

; ; ; ; ; .

3.Вынесите множитель из-под знака корня:

а) , x < 0; в) , x > 0, у > 0;

б) , x > 0; г) , x < 0, у > 0.

4. На примере выражений 2 и –2 покажите, как можно внести множитель под знак корня.

5. При каких значениях переменной х верно равенство: а) х = ; б) (х – 1) = ?

6. На примере выражений и покажите, как можно вынести множитель из-под знака корня.

7.При каких значениях переменной верно равенство а) = 2(х – 1)²; б) = (1 – х) ?

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из заданий вам необходимо выполнить. В случае трудностей обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) ; в) ; д) ; ж) ;

б) ; г) ; е) ; з) .

Задание 3. Выполните действия :

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 4.Вынесите множитель из-под знака корня :

а) ; в) ; д) ; ж) ;

б) ; г) ; е) ; з) .

Задание 5.Вынесите множитель из-под знака корня: .

Задание 6.Вынесите множитель за знак корня:

а) , если ; в) , если ;

б) , если ; г) , если .

Задание 7.Упростите выражение:

а) , при ;

б) , при ;

в) , при .

Задание 8. Вынесите множитель из-под знака корня :

а) ; б) ; в) .

Задание 9.Внесите множитель под знак корня:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 10. Внесите положительный множитель под знак корня:

а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 11.Внесите множитель под знак корня:

а)

б) .

Задание 12. Внесите множитель под знак корня:

а) ; б) .

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 1. Ответы к устным упражнениям:

1. и .

2. .

3. а) ; б) ; в) ; г) .

4. ; .

5.а) ; б)

6. ; .

7.а) при любом х; б) при .

К заданию 2.а) ;

б) ;

в) .

К заданию 3.а) , так как .

УЭ-3. Действия с квадратными корнями

Ваша цель: добиться того, чтобы ваши действия с квадратными корнями удовлетворяли таким требованиям, как правильность, осознанность, рациональность и прочность.

Входная информация

Учимся решать задачи.

Пример 1. Упростим сумму

.

Вынесем из-под знака корня в выражении множитель , а в выражении множитель . Получим:

.

Пример 2. Преобразуем произведение

.

Вынеся общий множитель (число 3) за скобки в первом множителе, получим:

.

Пример 3. Сократим дробь

.

Пользуясь равенством , которое выполняется при , любое неотрицательное число можно представить в виде квадрата некоторого числа, в частности . Значит, числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов двух выражений:

.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из заданий вам необходимо выполнить. В случае трудностей обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 1. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 2. Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 3. Упростите выражение:

а) , если ;

б) , если .

Задание 4.Выполните действия:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) .

Задание 5. Докажите, что значения выражений и –взаимно обратные числа.

Задание 6. Упростите:

а) ; б) .

Задание 7.Выполните деление:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Задание 8. Разложите на множители:

а) ; г) , если ;

б) ; д) , если ;

в) ; е) , если ; .

Задание 9. Сократите дробь:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

Задание 10.Упростите выражение:

а) ;

б) .

Задание 11.Докажите, что число а является корнем уравнения:

а) ;

б) .

Задание 12. Выполните действия:

а) ; в) ;

б) г) .

Задание 13.Выполните действия:

а) ;

б) ;

в)

г) ;

д) ;

е) .

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 1.а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

К заданию 2.Обозначив данное выражение через А, получим:

а) ;

б) ;

в)

г) ;

д) .

Ответы: а) 18; б) ; в) ; д) 2 .

К заданию 3. а) ; б) .

К заданию 4.а) ; б) ; в) ; д) 10; е) ; з) .

К заданию 5. Имеем: .

К заданию 6. а) 25; б) 21.

К заданию 7. а) 8; б) 24; в) ; г) 2.

К заданию 8. Обозначив данное выражение через А, получим:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

К заданию 10. а) ; б)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: