УЭ-2. Действительные числа

Ваша цель: углубление и расширение знаний о множестве действительных чисел.

Входная информация

Понятие действительного числа.Число, которое может быть представлено в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, называется иррациональным.

Примерами иррациональных чисел являются:

1) число 7,030033000333…

2) число , бесконечная непериодическая дробь

3,141592653689793…;

3) число 0,101001000100001…, у которого за каждой единицей идет группа нулей, содержащая на один больше, чем предыдущая группа.

Множество бесконечных непериодических дробей (положительных и отрицательных) образует множество иррациональных чисел.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел. Это множество обозначают буквой R.

Любое действительное число представляется в виде бесконечной десятичной дроби: , … …, где – целое число, , , , …, – цифры.

Соотношения между числовыми множествами N, Z, Q и R. Оно представлено на схеме :

Разбиение множества всех действительных чисел на непересекающиеся подмножества показано на схеме 2.

Понятие противоположных чисел. Два действительных числа называют противоположными, если их сумма равна 0.

Например, – 3 и 3; и – противоположные числа.

Число 0 противоположно самому себе.

Понятие взаимно обратных действительных чисел. Взаимно обратными числами называют два действительных числа, произведение которых равно 1.

Например, и ; и ; и – взаимно обратные числа.

Число 1 обратно самому себе. Для числа 0 обратного числа не существует.

Сравнение двух действительных чисел. Число больше числа , и пишут > , если разность – положительное число; если же разность – отрицательное число, то говорят, что число меньше числа , и пишут < ; число равно числу , если .

Для любых заданных действительных чисел и имеет место одно и только одно из соотношений: < , , > .

При сравнении двух бесконечных десятичных дробей (не имеющих периода 9) пользуются следующим правилом.

, … < , …,

если и < при всех < ( = 0, 1, 2, 3, …).

Заметим, что если целые части двух десятичных дробей разные, то та дробь больше, у которой целая часть больше. Если целые части одинаковы, то надо обратиться к наименьшему разряду, для которого цифры дробей различны: та из дробей больше, у которой цифра этого разряда больше.

Действия над действительными числами. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

При выполнении действий в практических задачах действительные числа заменяют их приближенными значениями. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения, получают более точное значение результата.

Свойства действий над действительными числами:

1. – переместительный закон сложения;

2. – сочетательный закон сложения;

3. ;

4. ;

5. – переместительный закон умножения;

6. – сочетательный закон умножения;

7. – распределительный закон умножения относительно сложения;

8. ;

9. , где ;

10. .

Понятия среднего арифметического и среднего геометрического действительных чисел. Средним арифметическим нескольких чисел называют число, которое получается при делении суммы этих чисел на число слагаемых.

Например, среднее арифметическое чисел 30, 70 и 95 есть число, равное числу , т.е. числу 65.

Средним геометрическим положительных чисел , , …, называют корень -ой степени из произведения этих чисел, т.е. .

Обобщенное неравенство Коши имеет вид:

.

Практическая часть

Задание 1. Продумайте ответы на следующие вопросы:

1. Какие числа называются иррациональными? Приведите примеры иррациональных чисел.

2. Может ли рациональное число быть равно иррациональному?

3. Назовите:

а) два иррациональных числа меньше 5;

б) два отрицательных иррациональных числа;

в) два иррациональных числа, расположенных между числами -2 и – 1.

Задание 2. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

1. Укажите среди данных чисел натуральные, рациональные, иррациональные: 0,5; –6,2; ; p; ; ; 2; 9; ; ; 0,22212(221); 2,01001(0001).

2.Представьте число в виде бесконечной десятичной дроби:

а) ; б) 0,(32); в) .

3.Сравните действительные числа:

а) 0,(21) и 0,21; б) и 1,375; в) p и 3,1416.

4.Назовите:

а) два иррациональных числа меньших 7;

б) два иррациональных числа, расположенных между числами – 3 и –1.

5. Может ли рациональное число быть равным иррациональному ?

6.Назовите десятичные приближения с недостатком и с избытком с точностью до 0,01 числа:

а) 14,372; б) 2,1264; в) 0,1751.

7.Какие из следующих чисел являются рациональными, какие – иррациональными:

а) ; в) 0; д) 0,444…;

б) ; г) –; е) 3,010010001… ?

8.Найдите множество чисел, состоящее из объединения (пересечения) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

9. Сравните числа 0,1845 и 0,184184…; p и 3.1415.

10.В числе 0,12345678910111213…30 вычеркнуть после запятой сорок семь цифр так, чтобы полученное число было наибольшим.

11.Каким из множеств принадлежит число 0,(3); R; Z; N; Q; Q I R₊; Q I R; R₊; R?

12.Расположите в порядке возрастания следующие числа: 0,466; ; 0,4636363…; 0,463736; 0,4656565… .

.

13.Объясните, с какой закономерностью идут цифры в бесконечной десятичной дроби:

а) 5,3287177177177…;

б) 0,1010010001000010…;

в) 1,252255222555222255…;

г) 0,410414104141410414…;

д) 0,14916221364964… .

14.Не выполняя деления, скажите, конечной или бесконечной десятичной дробью можно выразить данную обыкновенную дробь: ; ; ; ; ; .

15. При каких значениях a и b верны равенства a + b = 0, a – b = 0, a · b = 0, = 0 ?

16.Представьте число в виде бесконечной десятичной дроби:

а) ; в) –; д) 3; ж) 0,(66);

б) ; г) ; е) 0,(5); з) 1,(37).

17. Сравните действительные числа:

а) 3,5732218904 и 3,5723218904;

б) 7,2537(4) и 7,253745;

в) – и – .

18.Укажите число х, находящееся в интервале:

а) х Î N, < х < ;

б) х Î R, 1,45 < х < 1,46;

в) х Î R, < х < .

19.Приведите пример двух иррациональных чисел таких, что:

а) их сумма (разность) – иррациональное число;

б) их сумма (разность) – рациональное число;

в) их произведение (частное) – иррациональное число;

г) их произведение (частное) – рациональное число.

20.Может ли:

а) сумма двух рациональных чисел быть числом иррациональным;

б) сумма двух иррациональных чисел быть числом рациональным ?

в) сумма двух действительных чисел быть рациональным числом?

21.При каких действительных значениях х имеет место равенство х + ïхï = 0 ?

Задание 3. Докажите иррациональность числа:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Задание 4. Докажите, что числа 2,6 и 2,7 являются десятичными приближениями соответственно с недостатком и с избытком числа с точностью до 0,1.

Задание 5. Найдите три первых десятичных знака бесконечной десятичной дроби, выражающей результат действия:

а) ; в) ; д) ; ж) ;

б) ; г) : е) : з) .

Задание 6. Докажите, что сумма разность, произведение и частное двух действительных чисел, одно из которых рациональное число, отличное от нуля, а другое — иррациональное , являются иррациональными числами.

Задание 7. Может ли сумма рационального и иррационального чисел быть рациональным числом ?

Задание 8.Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом ?

Задание 9.Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух действительных чисел, одно из которых рациональное, а другое — иррациональное, является иррациональным числом.

Задение 10.Могут ли быть иррациональными числа а и b, если рациональны числа:

а) а + а и а – b; в) аb и ;

б) а – b и аb; г) а + b и

Задание 11.Докажите, что сумма, разность и произведение чисел вида , где a Q и b Q также могут быть представлены в таком же виде.

Задание 12.Число r— рациональное, число α – иррациональное. Рационально или иррационально число:

а) б) r +

Задание 13.а) Докажите, что – иррациональное чис­ло, если –иррациональное число (m N, n N).

б) Верно ли обратное утверждение ?

Задание 14.Числа а, b и – рациональны. Дока­жите, что и – рациональные числа.

Задание 15.Докажите иррациональность числа:

а) ; б) ; в) 1– ; г) 2 + .

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 2. Ответы на устные вопросы:

1. Числа 2; 9 и – натуральные; числа 0,5; –6,2; ; 2; 9; ; 0,22212(221) и 2,01001(0001) – рациональные; числа ; p; ; –- иррациональные.

2. а) 0,5000…; б) 0,3232…; в) 2,6666… .

3. а) 0,(21) > 0,21; б) > 1,375; в) p < 3,1416.

4. Например: а) p, 2p; б) –, –.

5. Не может.

6. а) недост. » 14,37, изб. » 14,38;

б) недост. » 2,12, изб. » 2,13;

в) недост. » 0,17, изб. » 0,18.

7. а) числа ; 0; 0,444… – рациональные, а остальные – иррациональные числа.

8. Объединение – R, пересечение – Æ.

9. 0,1845 > 0,184184…; p > 3.1415

10. 0,9993.

11. R; Q, Q I R₊; Q I R; R₊; R.

12. 0,4636363…; 0,463736; 0,4656565…; 0,466; .

13. а) 5,328(717); б) ;

в) 1,252255… .

14. Конечные: ; ; бесконечные: ; ; ; .

15. a = –b; a = b; a = 0 или b = 0; a = 0 и b ¹ 0.

16. а) 0,666…; б) 0,6000…; в) –0,714285714; г) 0,875000…;

д) 3,777…; е) 0,555…; ж) 0,6666…; з) 1,373737… .

17. а) 3,5732218904 > 3,5723218904; б) 7,2537(4) < 7,253745;

в) – > – .

18. а) 2; б) 1,454; в) .

19. а) p, 2p; б) p, p (разность); p, –p (сумма);

в) p, е; г) p, (произведение), p, 2p (частное).

20. а) Нет; б) да, например, + (3 – ) = 3;

в) да, например, + (–) = 0.

21. При х £ 0.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: