УЭ-5. Метод промежутков при решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Ваша цель: уяснить сущность метода промежутков и уметь применять его к решению уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Входная информация

Сущность метода промежутков. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, часто решают, используя метод промежутков. Сущность метода промежутков состоит в следующем:

1) находят нули подмодульных выражений;

2) разбивают координатную прямую нулями подмодульных выражений на промежутки;

3) на каждом полученном промежутке уравнение записывается без знака модуля и решается с учетом их;

4) найденные множества решений объединяются и записывают ответ.

Учимся решать уравнения с модулем методом промежутков. Рассмотрим пример.

Пример 1. Решим уравнение

|х – 1| + |х – 2| = x.

Решение. Выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль при х = 1 и х = 2. Заметим, что такие числа часто называют нулями подмодульных выражений. Они разбивают координатную прямую на промежутки.

В нашем случае первый промежуток включает в себя все точки, лежащие левее А; второй промежуток содержит в себе точки А и В, а также все точки, лежащие между ними; третий промежуток состоит из всех точек, лежащих правее В (рис.7 ).

Заметим, что концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков.

Будем искать решения данного уравнения на каждом из промежутков. Для этого решим три системы:

1) Û . Решений нет.

2) Û Û (x = 1).

3) Û Û (x = 3).

Ответ: 1; 3.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Раскройте знак модуля:

а) |–5|; б) |5|; в) |0|; г) |p|.

2.Как при помощи знака модуля записать, что по крайней мере одно из чисел а, b или с отлично от нуля ?

3.Как при помощи знака равенства записать, что каждое из чисел а, b и с равно нулю ?

4. Найдите значение выражения:

а) |а| – а; б) а + |а|.

9. Существуют ли такие значения переменной х, при которых имеет место равенство:

а) ïх – 5ï + ïх – 6ï = –7;

б) –2ï7 – хï – 3ï1 + хï = 8;

в) ïх – 2ï + ïх² – 4ï = 0 ?

10.Пусть а – любое действительное число. Укажите множество решений уравнения ïхï = а в зависимости от а.

12.При каких значениях х имеет место равенство:

а) ïхï = –х²; в) ïх – 1ï + ïх² – 1ï = 0;

б) ïхï = х²; г) ï5 + ï3 – хïï = 0.

С некоторыми видами следующих заданий вы могли встречаться на уроках математики. Самоопределитесь, какие из следующих заданий вам необходимо выполнить. В случае затруднений обращайтесь к рубрике «Ваш помощник», за консультацией к учителю или за помощью к товарищу.

Задание 2. Решите уравнение:

а) |x – 1| + |x – 2| = 3;

б) |x – 2| – 3|3 – x| + x = 0;

в) |x + 5| + |x – 3| + |x – 1| = 0;

г) |x + 2| + 3|1 – x| – 2|6x – 3| = –1;

д) |3 – 2x| – |x + 1| + |2 – x| = |3 – 9x| + x – 5.

Рубрика «Ваш помощник»

1. а) 5; б) 5; в) 0; г) –p.

2. |а| + |b|+ |с| ¹ 0 либо а² + b²+ с² ¹ 0.

3. |а| + |b|+ |с| = 0 либо а² + b²+ с² = 0.

4. а) Если а ³ 0, то |а| – а = 0; если а < 0, то |а| – а = –2а.

9.а) не существует; б) не существует; в) существует, х = 2.

10 а при а > 0, 0 при а = 0; нет решений при а < 0.

12. а) при х = 0; б) при х = 0, х = –1, х = 1; в) при х = 1; г) таких значении х не существует.

К заданию 2. а) 0; 3; б) ; ; в) нет решений; г) ; д) ; .

УЭ-6. Решение уравнений вида |ах + b| = c

Ваша цель: научиться решать уравнения |ах + b| = c, сводящиеся к совокупности уравнений.

Входная информация

Понятие о решении уравнений вида |ах + b| = c. При решении уравнений вида

|ах + b| = c, (1)

где а, b и с – любые действительные числа, следует различать случаи, когда с < 0, с = 0, с > 0.

1) Если с < 0, то уравнение (1) не имеет корней, так как выражение |ах + b| при любом действительном х принимает только неотрицательные значения.

2) Если с = 0, то уравнение (1) равносильно уравнению ах + b = 0.

3) Если с > 0, то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений:

т.е. (ах + b = c) Û , где с > 0.

Учимся решать уравнения с модулем.

Пример 1. Решить уравнение |3x – 1| = 8.

Решение. Имеем:

(|3x – 1| = 8) Û Û .

Ответ: .

Форма записи решения может быть и другой, т.е без использования знака равносильности.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Вычислите:

а) ; б) ; в) г) д) .

2. Решите уравнение:

а) |х| = 3; в) |х| = –2; д) |2х – 5| = 0;

б) |х| = 0; г) |х – 3| = 4; е) |3х – 7| = – 9.

Задание 2. Решите уравнение:

а) |x| = 1,3; г) |x – 1| = 3; ж) |3 – 4x| = 3;

б) |x| = 0; д) |2x + 7| = 5; з) |5 + |x|| = 3;

в) |x| = – 2,7; е) |4 – 5x| = 8; и) ||x| – 2| = 1.

Задание 3. Найдите корни уравнения:

а) ||x + 1| – 4| = 2; в) ||x– 1| – 1| = 1;

б) |3 – |x + 1|| = 5; г) |2 – |1 – |x = 1.

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 2.

5.а) –3; 3; б) нет решений ; в)нет решений; г) –1; 7; д) 2,5; е) нет решений.

К заданию 3. а) -1,3; 1,3; в) нет решений; г) -3; 3.

К заданию 4. а)-7; -3; 1; 5. б) -9; 7; в) -3; -1; 1: 3; г) -4; -2; 0; 2; 4.

УЭ-7. Решение уравнений вида |ах + b| = |cх + d|,

Ваша цель: научиться решать уравнения данного вида

Решение уравнений вида |ах + b| = |cх + d|. При решении уравнения данного вида можно воспользоваться равносильностями:

1. (|ах + b| = |cх + d|) Û .

Эта равносильность имеет место в силу свойства модуля: (|х| = |у|) Û .

2. (|ах + b| = |cх + d|) Û ((ах + b)² = (cх + d)²).

Эта равносильность имеет место в силу свойства модуля: (|х| = |у|) Û (х² = у²).

Пример 1. Решим уравнение

|2х – 1| = |х + 3|.

Решение.

1-й способ. Имеем:

(|2х – 1| = |х + 3|) Û Û .

2-й способ. Имеем:

(|2х – 1| = |х + 3|) Û ((2х – 1)² = (х + 3)²) Û ((2х – 1)² – (х + 3)² = 0) Û

Û ((2х – 1 – х – 3) (2х – 1 + х + 3) = 0) Û

Û ((x – 4) (3x + 2) = 0) Û .

Ответ: .

Решение уравнений вида |ах + b| = ах + b и |ах + b| = –(ах + b). При решении уравнений данного вида целесообразно использовать равносильность:

1) (|ах + b| = ах + b) Û (ах + b ³ 0);

2) (|ах + b| = –(ах + b)) Û (ах + b £ 0).

В самом деле, если а – любое действительное число, то равенство |а| = а справедливо тогда и только тогда, когда а ³ 0, а равенство |а| = –а – тогда и только тогда, когда а £ 0. Поэтому уравнение |f(x)| = f(x), где f(x) выражение с одной переменной, равносильно неравенству f(x) ³ 0, а уравнение |f(x)| = – f(x) равносильно неравенству f(x) £ 0.

Пример 2. Решить уравнение

|3х – 9| = 3х – 9.

Решение. Имеем:

(|3х – 9| = 3х – 9) Û (3х – 9 ³ 0) Û (х ³ 3).

Ответ: [3; + ¥).

Задание 2. Решите уравнение:

Задание 3. Найдите корни уравнения:

а) ; б) .

К заданию 1. Ответы к устным упражнениям:

1. а) х ³ 0; б) х £ 0; в) х = у или х = –у.

2. а) у ³ 0; б) у £ 0.

3. а) [2; +¥); б) (–¥; 2]; в) 5; г) 5, 5.

К заданию 3. а) -4; ; 2; 4.

Способы решения уравнений вида |ах + b| = cх + d . При решении уравнений вида |ах + b| = cх + d можно поступать так:

1) применять метод промежутков;

2) использовать равносильности:

(|ах + b| = cх + d) Û .

Пример 1. Решим уравнение

|2х – 1| = 5х – 10.

Решение.

1-й способ. Применим способ промежутков:

или

или

x= 3 Нет решений.

2-й способ. Имеем: (|2х – 1| = 5х – 10) Û Û

Û Û (х = 3).

Ответ: 3.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы ко в сем устным упражнениям, приведенным ниже.

Свои ответы сверьте с ответами или краткими указаниями, помещенными в конце учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

Решите уравнение:

а) ïхï = –3; д) ïх + 1ï = –1; и) ïх – 7ï = ïх – 9ï;

б) ïхï = 0; е) ïх – 1ï = 3; к) ïх – 3ï = х – 3;

в) ïхï = 3; ж) ïх – 1ï = 0; л) ïх – 3ï = 3 – х;

г) = 9; з) ïхï = ïх + 1ï; м) ï7хï – 7х = 0.

Задание 2 . Решите уравнение:

а) |x– 1| = 3x + 2; г) |x + 1| – 2x =5;

б) |x + 2| = 2x + 5; д) 3|x| – 5x = 2;

в) |x – 2| = + 2x = 3; е) + 2x = .

Задание 3. Найдите корни уравнения:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

Задание 4.Решите уравнение:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Рубрика «Ваш помощник»

К заданию 1.а) Нет решений; б) нет решений; в) –3; 3; г) –3; 3; д) нет решений; е) –2; 4; ж) 1; з) –0,5; и) 8; к) х ³ 3; л) х £ 3; м) х ³ 0.

К заданию 2. а) .

К заданию 3. а) ; в) .

К заданию 4. а) .

 

Предыдущая567891011121314151617181920Следующая

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.