Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Следствие. Если а и b– положительные числа и а < b, то > .

Свойство 5. Если а < b и c < d, то a + c < b + d.

Итак, если сложить почленно два верных неравенства одного знака и сохранить этот знак, то получится верное неравенство.

Свойство 6. Если а < b и c > d, то a – c < b – d.

Практическая часть

Задание 1. Возьмите чистый лист бумаги и на нем запишите ответы на все устные упражнения приведенные ниже. Затем свои ответы сверьте с ответами или краткими указания, помещенными в конце этого учебного элемента в рубрике «Ваш помощник».

Устные упражнения

1. Верно ли неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) ?

2. При каких значениях верно неравенство:

а) ;

б) ;

в) ?

3. Сравните действительные числа и , если равно:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4. Известно, что . Может ли разность выражаться числом: ?

5. Сравните и , если . Рассмотрите случаи:

а) ;

б) ;

в) .

6. Верно ли неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ?

7. Сравните числа и , если разность равна:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

8. Известно, что . Может ли разность выражаться числом:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ?

9. Как расположены на координатной прямой точки, изображающие и , если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

10. Объясните, почему можно утверждать, что неравенство верно при любых значениях переменной:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

11. При каких значениях переменной верно неравенство:

а) ;

б) ;

в) ?

12. Укажите наибольшее целое , удовлетворяющее неравенству:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

13. Укажите наименьшее целое , удовлетворяющее неравенству:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

14. Каким числом может быть , если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

15. Каковы знаки чисел и , если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

Задание 2. Сравните действительные числа и , если разность равна .

Задание 3. Известно, что . Может ли разность выражаться числами ?

Задание 4. Может ли разность , где и — действительные числа, быть:

д) больше суммы ;

е) меньше суммы ;

ж) равна сумме ;

з) больше ;

и) больше ;

к) равна ?

Задание 5. Известно, что , где и — действительные числа. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

л) к обеим частям неравенства прибавить действительное число ;

м) из обеих частей неравенства вычесть действительное число ;

н) обе части неравенства умножить на ;

о) обе части неравенства разделить на ;

п) обе части неравенства разделить на .

Задание 6. Известно, что , где и — действительные числа. Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 7 .Каков знак действительного числа , если известно, что:

р) ;

с) ;

т) ;

у) ?

Задание 8. Пусть — положительное число и . Докажите, что:

а) ;

б) .

Задание 9 .Верно ли, что:

а) если , то ;

б) если , то ;

в)если , то ;

г) если , то ?

Задание 10. Сложите почленно неравенства:

а) 21 > 3 и 13 > 4; в) 4 > –2 и –2 > –7;

б) –2 < 5 и –7 < 3; г) –5 < –3 и –7 < –1.

Задание 11.Вычтите почленно из первого неравенства второе:

а) 3 < 5 и 7 > 1; в) 14 > –3 и –3 < –2;

б) 11 > 4 и –2 < 5; г) –13 > –10 и –6 > –17.

Задание 12.Перемножьте почленно неравенства:

а) 7 < 8 и 2 < 3; в) 15 > 11 и 5 > 4;

б) 18 > 7 и 3 > 2; г) 2 < 21 и 3 < 5.

Задание 13. Пусть а > 2, b > 3, c > 1. Докажите, что:

а) а + b + c > 6; в) 2аb + 3 аbc > 30;

б) abc > 6; г) a² + b² + c² > 13.

Задание 14.Докажите, что:

а) если а > 2 и b > 5, то 5а + 2b > 20;

б) если а > 3, то a² + 6 ³ 15;

в) если а > b, то 1 – а < 2 – b.

Задание 15.Верно ли утверждение:

а) если одно действительное число больше другого, то и куб первого числа больше куба второго;

б) если модуль одного действительного числа больше модуля другого, то и квадрат первого числа больше квадрата второго?

Задание 16.Пусть а > b и числа а, b – отрицательные. Докажите, что:

а) аⁿ > bⁿ, если n – нечетное натуральное число;

б) аⁿ < bⁿ, если n – четное натуральное число.

Задание 17.Значение какого выражения больше:

а) + или + 3;

б) – или – ;

в) + + или + + ;

г) или ?

Задание 18.Пусть а – некоторое действительное число. Что больше: а) а или 3а; б) а или а²?

Задание 19.9 ручек стоят дороже, чем 11 карандашей. Что дороже – 15 ручек или 17 карандашей?

Задание 20. Пассажир сдает в багажное отделение рюкзак, чемодан, саквояж и корзинку. Чемодан тяжелее, чем рюкзак, саквояж и рюкзак тяжелее, чем корзинка и чемодан, а корзинка и саквояж вместе весят столько, сколько вместе весят чемодан и рюкзак. Какой из этих грузов самый тяжелый, а какой самый легкий?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: