ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ

РИСКОВАННЫХ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКИХ

РЕШЕНИЙ

Определение оптимального размера выборки для принятия ре­шения о назначении скидки с подписной цены журнала. Предпри­ниматель, занимающийся изданием глянцевых журналов, реша­ет вопрос об увеличении тиража журнала, поскольку это обещает дополнительную прибыль. Однако он понимает, что если спрос на журнал не увеличится, то дополнительный тираж — это чис­тые убытки. Для составления прогноза величины будущего дохо­да предприниматель может получить информацию о размере процента положительных ответов при помощи опроса не всех, а только некоторой части из бывших подписчиков журнала. Одна­ко возник вопрос, насколько такая информация может быть точ­ной. Мы достаточно хорошо понимаем, что вопрос о цене не от­делим от вопроса о качестве, причем чем выше качество инфор­мации, тем выше ее цена. Следовательно, необходимо было оптимизировать соотношение цены и качества.

Предприниматель решил произвести случайную выборку 50 имен из рассылочной ведомости, получить ответы от подписчи­ков и на основе полученных положительных ответов оценить будущее количество подписчиков. На основе опыта подобных действий в прошлом наш предприниматель сделал предположе­ние — выдвинул гипотезы — о проценте возможных положи­тельных ответов. Пусть, например, он считает, что процент отве­тов будет между 1 и 5, и при этом нет причин считать, что воз­можность получения какого-либо конкретного процента из представленных более вероятно, чем другого. При таком пред­положении каждому возможному (гипотетическому) проценту ответов соответствует одинаковая вероятность, равная, согласно классическому определению, 1/5.

Обозначим через Н\ Н₂, Я₃, Н₄, Я₅ гипотезы о том, что про­цент положительных ответов составит 1, 2, 3, 4 и 5 соответствен­но. Тогда в этих обозначениях априорные вероятности гипотез составят Р(Н\) = Р{Н₂) = Р(#з) = Р(^4) = P(Hs) = 0,2. После рас­сылки предложений клиентам число положительных ответов бу­дет дискретной случайной величиной, подчиняющейся закону

Глава 3. Управление стохастическими рисками

редких событий — распределению Пуассона. Напомним, что ве­роятностный ряд или ряд распределения Пуассона задается фор­мулой:

где а — математическое ожидание случайной величины у; к = 0, 1, 2, 3, ... — возможные значения, которые может прини­мать случайная величина у.

Случайное число у положительных ответов будет иметь сред­нее значение (математическое ожидание) а такой величины, ко­торая, как мы помним, определяется выражением а = пр, при­чем в нашем примере п — 50, а вероятность р успеха диктуется величиной предполагаемого процента успеха. А теперь примем во внимание, что одно и то же значение к рассматриваемая нами случайная величина может принять при разных значениях пара­метра а, то есть своего математического ожидания. Таким обра­зом, можно получить, например, три положительных ответа и в том случае, когда истинный процент желающих возобновить подписку на журнал по льготным условиям равен 1%, и в том случае, если этот процент будет равен 2, 3, 4 или 5. Только веро­ятности Р(^у"''_и) этих условных событий окажутся разными: чем ближе значение к возможного значения случайной величины к ее среднему значению а, тем, как правило, выше значение веро­ятности Р(?-%)и наоборот.

Для рассматриваемых нами гипотез Н\ Н₂, Н^, Н₄, Н₅ о про­центе положительных ответов величины вероятностей успеха со­ставят^, = 0,01,р₂- 0,02, р₃= 0,03,р₄ - 0,04 ир₅= 0,05 соответ­ственно. Следовательно, математическое ожидание случайной величины у числа положительных ответов для первой гипотезы Н_х составит величину а, = 50 • 0,01 = 0,5. Аналогично можно подчитать средние значения чисел положительных ответов для остальных гипотез: «2=1,0, а₃—1,5, й₄=2,0, а₅= 2,5.

Для вычислений вероятностей Р(у =у _к) рядараспределения Пуассона, как мы уже отмечали, удобно использовать функцию ПУАССОН(х; среднее; ...) пакета Microsoft Excel. С использова­нием этой компьютерной программы была вычислена зависи­мость между случайным числом подписавшихся (возможные ре­зультаты выборки) и гипотетическим процентом ответов. Услов-

Риск -менеджмент

ные вероятности Р(^у=%) возможных значений числа к полученных положительных ответов для различных гипотетиче­ских значений процентов истинных положительных ответов представлены в табл. 3.4.

Т а б л и ц а 3.4

Условные вероятности Р(^у=^к/„ ) возможных значений числа к полученных положительных ответов для различных гипотетиче­ских значений процентов истинных положительных ответов.

Проанализируем данные, например, четвертой строки табл. 3.4. Для удобства ее значения оттенены. Видно, что ровно три (зна­чение к=3) положительных ответа из 50 на предложение возоб­новить подписку на льготных условиях при истинности первой гипотезы (один процент положительных ответов) будут получе­ны с вероятностью 0,013; а при истинности других гипотез — Н₂,Н₂,Н₄,Н> — вероятность этого же числа успехов составит 0,061; 0,126; 0,180 и 0,214 соответственно.

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Но для целей принятия решения на рискованную операцию нашему предпринимателю нужно знать не те вероятности, кото­рые представлены в табл. 3.4, а другие — апостериорные вероят­ности Р("'у_=к) ИСТИННОСТИ гипотез при получении того или ино­го из возможных значений к случайной величины у. Их легко определить, воспользовавшись формулами условной и полной вероятности. Напомним эти формулы:

Р(А/В) = — -, Р(В) ф 0 - формула условной вероятности; Р(А) = "£^Р(^{А в}к) Р(^Вк— формула полной вероятности.

к

Следуя этим формулам, для вычисления вероятностей Р(^и'4=к) нужно вначале найти вероятности P(H_i(y=4i)) = Р(Н_/)-Р(>'=^к/_н)и Р(у -к), а затем уже вычислить требуемые вероятности по формулам:

Рассчитаем, например, апостериорные вероятности Р(^н у-^) для случая, когда на 50 разосланных предложений пришло ровно 3 ответа с намерением возобновить подписку по специальной цене. Вначале вычислим совместные вероятности Р(Я₁ • (у = 3)) = = Р(Н,.) • Р(*'^ъ_н) наступления каждого из гипотетических собы­тий — процентов ответов и события — результата, состоящего в том, что у = 3. Вспомним, что вероятности Р(Я,), Р(Н_г)Р(Н₃). Р( Я ДР( Я, гипотетических событий-процентов ответов рав­ны 0,2. Следовательно, например, искомая вероятность совмест­ного события Р(Я, • (у = 3)) составит величину Р(Н_[ • (у = 3)) = = Р(Я,) • Р(^³д) =0,2 • 0,013 = 0,0026. Аналогично получаем: Р(Н• (у = 3)) =0,2 • 0,061 = 0,0122; Р(Н₃ • (у = 3)) = 0,2 • 0,126 = = 0,0252; Р(Н• (у=3))=0,2 • 0,180 = 0,0361 и P(H_S • (у = 3)) = 0,2 • 0,214 = 0,0428. Сума полученных совместных вероятностей дает полную вероятность Р(у = 3), которая получается равной 0,1187. В результате чего апостериорные вероятности Р(^н'/~^) =

Р(Н„)Р(^ ) _{/Н ч}

=----------------- —— будут соответственно равны: Р( '/~^) ⁼

Р(у =3)

Риск-менеджмент

=0,0026/0,1187 = 0,021; />("' _Р.₃)= 0,0122/0,1187= 0,103; Р("< _f.₃) = = 0,0252/0,1187 = 0,211; /'("^=0,0361/0,1187 = 0,304 и P("^J = = 0,0428/0,1187 = 0,360. Таким образом, как это следует из рас­четов, вероятность увеличения числа подписчиков на журнал по специальной цене на 1% при условии, что из 50-ти разосланных предложений ровно 3 содержало положительный ответ, равна 0,021, хотя априорная вероятность этой гипотезы была 0,2. Со­ответствующие апостериорные вероятности увеличения числа подписчиков ровно на 2%, 3%, 4% и 5% по результатам прове­денных нами вероятностных расчетов составили 0,103, 0,211, 0,304 и 0,360 соответственно (в то время как априорные вероят­ности всех этих событий были одинаковыми и равнялись 0,2).

На рис. 3.8 представлено дерево возможных событий для слу­чая сравнения этой стратегии и стратегии предварительной рас­сылки 50 предложений продолжить подписку по специальной цене, причем на этом дереве в развернутом виде представлены события только для случая, когда получено 3 положительных от­вета из 50. Апостериорные вероятности гипотез для этого случая нами уже вычислены, а их значения проставлены возле стрелок, изображающих случайные исходы рассылки предложений под­писчикам.

Средняя величина ожидаемой прибыли при вычисленных значениях апостериорных вероятностей (для 3 положительных ответов из 50) составляет $5513. Чтобы получить это значение, потребовалось, как обычно, умножить значение апостериорной вероятности для каждой из гипотез на соответствующее этой ги­потезе значение дохода (положительного или отрицательного) и полученные значения всех произведений сложить. Для исхода «3 положительных ответа из 50» величина среднего дохода представ­лена на рис. 3.8 в вынесенном прямоугольнике. Как видим, если предприниматель решится на рассылку предложений подписчи­кам и получит ровно 3 положительных ответа, то ожидаемая при­быль почти в 2,8 раза превысит то ее значение, которое было вы­числено для случая, когда издатель хотел делать предложение о спеццене без предварительного сбора информации.

До проведения рассылки, конечно, нельзя предсказать ее ре­зультатов. Однако можно рассчитать ожидаемую выгодность для каждого возможного числа положительных ответов. Значения априорных вероятностей для всех возможных исходов рассылки

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Делать предложение о

спеццене без

гсоедварительного

сбора информации

Ожидаемая

выгода $5513 составляет

$2000

Рис. 3.8. Дерево возможных событий для сравнения стратегий

с предварительной рассылки 50 предложений продолжить подписку

по специальной цене (развернут исход для случая 3 положительных ответа из 50)

(в том числе и для к = 3) представлены в табл. 3.5. Рассмотрены только значения к от 0 до 7, поскольку вероятность получения значений, больших чем 7, очень мала. Далее обычным порядком используем полученные апостериорные вероятности, установ­ленные для каждого успешного результата к выборки, для того чтобы определить значение общей ожидаемой выгодности дей­ствия «Сделать выборку размером 50». Например, учитывая, что значение полной вероятности Р(у = 3) рассматриваемого нами исхода равно 0,1187 (на рис. 3.8 проставлено значение 0,119), то ожидаемая величина дохода при получении ровно трех положи­тельных ответов после рассылки 50 предложений составит $654,6.

Риск-менеджмент

Т а б л и ц а 3.5 Значения априорных вероятностей для возможных исходов рассылки предложений подписчикам

В табл. 3.6 представлены значения условных величин дохода для каждого из возможных исходов случайной выборки объемом 50 человек, полные вероятности для этих исходов и частные ве­личины полных ожидаемых доходов для них. Видно, что услов­ный (и, следовательно, частный полный) доход от выборки для нулевого исхода — ни один из опрошенных не ответил положи­тельно на предложение возобновить подписку по специальной цене — отрицательный. Но если есть хотя бы один положитель­ный ответ, это уже дает положительный эффект, степень кото­рого определяется величиной полной вероятности исхода. На­пример, исход к = 7 приносит самую большую условную величи­ну дохода, равную $8545, однако из-за того, что полная вероятность Р(у = 7) такого исхода составляет всего лишь 0,0028; частная величина полных ожидаемых доходов для него будет всего только $24,3.

Т а б л и ц а 3.6 Значения условных величин дохода для каждого из возможных исходов случайной выборки

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Продолжение табл. 3.6

В результате сложения величин этих частных ожидаемых вы­игрышей получается общая ожидаемая выгодность рассылки предложений 50 прежним подписчикам с последующим анали­зом полученных положительных ответов. Она составляет чуть больше $1990. Следовательно, ожидаемая ценность информа­ции, полученной в ходе рассылки предложений 50 прежним под­писчикам, будет равна разности между этим результатом и ожи­даемыми последствиями действия «Делать предложение». При тех исходных данных, которыми мы пользовались, эта ценность отрицательна $1990 — $ 2000= —$10, то есть собирать информа­цию при данных условиях получается невыгодно. При этом мы даже не учитывали дополнительные затраты на проведение са­мой случайной выборки респондентов для рассылки им предло­жений, а это всегда нужно делать, чтобы не исказить картину ис­хода.

Тем не менее склонный к риску предприниматель может пойти на решение сделать выборку, поскольку получение хотя бы одного положительного ответа может дать ценную информа­цию для получения более точного прогноза будущих доходов от подобной предпринимательской акции. К тому же необходимо иметь в виду, что значения вероятностей исходов существенно зависят от объема выборки. Поэтому представляется целесооб­разным подсчитать по предложенной' нами схеме ожидаемую полную выгоду от организации сбора информации для случай­ных выборок разного объема. После этого можно будет сопоста­вить полученные результаты и окончательно определить опти­мальный размер выборки, приносящий максимальный ожидае­мый суммарный доход.

Риск -менеджмент

Контроль качества продукции методом последовательного анализа (Вальда). На выходе производственной линии произво­дится контроль качества готовой продукции. С целью экономии затрат времени и средств на контроль изделия для контроля от­бирают из готовой партии случайным образом. После этого про­водится тщательный контроль изделия. По мере накопления ин­формации о результатах контроля формируется решение о каче­стве продукции во всей произведенной партии по методу последовательного анализа. Предприятие будет работать успеш­но и приносить прибыль только в том случае, если доля брака в партии выпущенной продукции не превышает 10% от общего числа изделий в каждой партии. Поэтому такое значение приня­то в качестве критерия оценки качества всей партии готовой продукции.

Одновременно принято решение считать, что партия «брако­ванная», если доля некондиционных изделий в ней не менее 20%. Учитывая возможность совершения ошибок первого и вто­рого рода при контроле, а также тяжести последствий от каждой из ошибок, были назначены предельные значения вероятностей указанных ошибок. Предельное значение вероятности а совер­шения ошибки, в результате которой бракуется кондиционная продукция, установлено равным 0,01, а вероятность р пропуска бракованного изделия при контроле (изделие ошибочно приня­то за кондиционное) ограничена величиной 0,1.

Контроль и выработка решения о состоянии всей партии го­товых изделий по методу последовательного анализа организу­ются на основе частных выводов после каждого очередного про­веденного испытания изделия. Предполагается, что после каж­дого очередного контроля возможны три основополагающих вывода: завершить контроль и принять всю партию, проконтро­лировать еще одно изделие из готовой партии, завершить кон­троль и забраковать всю партию. Оказывается, что обозначен­ные нами частные решения после каждого шага контроля будут адекватными, а вероятности ошибок первого и второго рода не выйдут за пределы установленных для них границ, если руководст­воваться критерием К, вида:

Р(у, /«Бракованная партия») Р{у, /«Кондиционная партия»)'

Глава 3. Управление стохастическими рисками

где у, - случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу /;

Р(у_г = /«/«Бракованная партия» — условная вероятность того, что случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу /, будет равно т при условии, что партия бракованная; Р(у, = т / « Кондиционная партия» — условная вероятность то­го, что случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу /, будет равно т при условии, что партия кондиционная.

Чтобы определить обозначенные условные вероятности, вхо­дящие в выражение для критерия К,, в количественной форме, необходимо учесть, что, согласно принятому предпринимателем решению, партия считается кондиционной, если доля р, брака не выше 0,1 (установлена в размере 10%), а в бракованной пар­тии доля/?₂брака не ниже 0,2 (то есть не менее 20%). Дискретная случайная величина у, при этом оказывается распределенной по биномиальному закону. Напомним, что основой биномиального распределения является следующая схема. В совершенно одина­ковых условиях — одна и та же доля р бракованных изделий в большой партии — проводится независимый контроль п одина­ковых изделий. Результат контроля случайный: с вероятностью^ под контроль подпадает именно бракованное изделие, а с веро­ятностью 1 —р бракованное изделие не попадает в число контро­лируемых.

Итак, поскольку партия готовых изделий достаточно большая, вероятность р от изделия к изделию не меняется. Фиксируется число т изделий, которые выявлены как бракованные. Это число будет одной из возможных реализаций случайной величины, ко­торая может принимать значения от 0 до п. Вероятность того, что дискретная случайная величина у примет значение, равное т, за-

п\

дается выражением вида Р(у=т)-------------- ^:------- р'"(1 - Р)" ^т или

т\{п - ту. кратко - Р(у = т) =С'У"(1 - /?)""',

где С"' =----------------------- число сочетаний из п по т.

т\{п - т)\ Таким образом, за t шагов (число проведенных испытаний) получаем:

Р(у, = т /«Бракованная партия») = С,'" • р'" • (1 -/>,)'"",

Р(у_п =//«Кондиционная партия») = С,'" • р"' • (1 - />,)'"".

Риск-менеджмент

После каждого очередного шага контроля формируются ос­новополагающие выводы по схеме:

' < К, <------

1 - а а

сделать еще одно измерение;

Р

1 -а

> К,

принять кондиционную партию;

л, >

а

забраковать всю партию.

Вероятности ошибок первого и второго рода соответственно равны: а = 0,01, 0 = 0,1.

Запишем выражение для критерия К, в наших условиях:

1еперь сформируем границы распознавания ситуации в за­висимости от достигнутого к шагу t результата т числа иденти­фицированных бракованных изделий. Запишем формальное вы­ражение для основополагающего вывода: «сделать еще одно из­мерение». Для наших исходных данных получаем:

Проведем допустимое преобразование (логарифмирование):

[/л0,1 -/«0,99] < [_т • lnl + (t - т) • (/«8 - 1пЩ < [М),9 - /«0,01]

или -2,293 < (0,693 + 0,118) • т -0,118 •/< 4,5.

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Из последнего неравенства получаем границы зависимости между т и t.

0,145 • t - 2,82 </и< 0,145 • t + 5,55.

Границы выполнения двух представленных в выражении не­равенств — это прямые линии в системе координат t и т.Если изобразить их графически, то удобно будет делать частные выво­ды и одновременно документировать результаты вынесения ре­шений.

На рис. 3.9 представлена система координат (t, m) и разде­ляющие границы областей для формирования частных выводов. По мере проведения измерений t и фиксации числа m выявлен­ных бракованных изделий результаты можно изображать графи­чески в виде траектории процесса контроля. Такая траектория изображена на рис. 3.9 последовательностью пунктирных стре­лок. Траектория процесса контроля начинается из точки (0; 0), что соответствует ситуации «ни одного изделия не проконтроли­ровано и, следовательно, ни одного бракованного не выявлено». Если проведено одно измерение и брак не обнаружен, траекто­рия процесса выходит в точку (1; 0).

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70

Числопроведенных испытаний

Рис. 3.9. Разделяющие границы областей для формирования частных выводов

Риск -менеджмент

Если проводить измерения и дальше и при этом не будут вы­явлены бракованные изделия, то траектория процесса будет про­должать развиваться вдоль оси t. Если на каком-то шаге процес­са контроля будет обнаружено первое бракованное изделие, на этом шаге траектория процесса контроля изменит угол движе­ния на 45 градусов. И так будет всякий раз, как только будет об­наруживаться брак. В результате траектория превращается в ло­маную линию, устремленную в общем случае вправо и вверх.

Скорость подъема траектории вверх зависит от частоты обна­ружения бракованных изделий среди проконтролированных. И ес­ли брак выявляется достаточно часто, то траектория процесса уст­ремляется в направлении северо-западной части системы коорди­нат (t, т). Эта часть ограничена снизу линией т = 0,145 • t + 5,55 и образует область значений числа t проведенных испытаний из числа т выявленных бракованных изделий, при попадании в ко­торую вся партия должна быть забракована.

Напротив, если число бракованных изделий в партии гото­вой продукции незначительное, траектория процесса редко бу­дет изламываться вверх. При этом, рано или поздно, она пересе­чет границу, задаваемую уравнением т =0,145 - / -2,82, которая отсекает юго-восточную часть области значений характеристик / и т, которая соответствует базовому решению: «Принять всю партию». Траектория процесса контроля, соответствующая именно такому случаю, и отображена на рис. 3.9. Несмотря на то, что все же возможно принятие ошибочного решения, вероят­ности аир ошибок первого и второго рода не выйдут за пределы установленных для них пороговых значений. Кроме того, как показывают исследования, для обеспечения подобного же каче­ства контроля по методу Неймана-Пирсона потребуется в сред­нем вдвое большая по объему выборка, чем та, которую придет­ся осуществить по методу последовательного анализа Вальда. И, следовательно, затраты на проведение контроля качества произ­веденной продукции будут в среднем вдвое ниже.

Предпринимательская деятельность по предоставлению услуг. Для коммерческой и иной подобной предпринимательской дея­тельности адекватными моделями оценки риска могут служить модели со случайными потоками событий. При этом события следует рассматривать как факты выполнения взаимных обяза­тельств между сторонами по объемам и по срокам. Наиболее

Глава 3. Управление стохастическими рисками

широко используют модели с так называемыми простейшими потоками событий. В простейшем потоке все наступающие со­бытия одинаковы, однако времена их появления — случайные, подчиняющиеся показательному закону распределения (свойст­во «без последействия»). При этом для простейшего потока ха­рактерно, что параметр показательного закона распределения — среднее время между событиями — постоянен во времени (свой­ство стационарности), а события появляются поодиночке (свой­ство ординарности).

Примером простейшего потока может служить поток авто­мобилей, прибывающих на автозаправочную станцию, поток те­лефонных звонков, поступающих в центр мобильной связи, и т.п. Для анализа разнообразных видов предпринимательской деятельности, в рамках которых циркулируют простейшие пото­ки событий, можно с успехом применять мощный математиче­ский аппарат анализа так называемых Марковских процессов. В рамках этого подхода, например, разработаны большинство моделей систем массового обслуживания (СМО).

Но не всегда потоки событий могут считаться простейшими. Например, как в предпринимательской деятельности, так и в быту, людям приходится совершать разнообразные платежи. Потоки платежей для банка и для потребителей часто оказыва­ются случайными в силу случайных моментов времени их осу­ществления и случайных величин платежей. Например, таковы­ми являются потоки платежей за предоставление коммунальных услуг, за тепло и электроэнергию — ведь редко кто платит за все эти услуги в строго определенный день. При этом размеры пла­тежей также могут быть случайными, в том числе и по причине их несоответствия объему и качеству предоставленных услуг: кое-кто не доплачивает, некоторые, по ошибке — переплачива­ют. Другой пример случайных платежей, с которым с недавних пор (после вступления в силу закона об обязательном страхова­нии автогражданской ответственности) приходится сталкивать­ся значительному числу людей, — это выплаты страховых сумм за повреждение личного или общественного автотранспорта.

Продажа бензина на автозаправочной станции (АЗС). Во вре­мена «начала перестройки» в России АЗС представляли собой достаточно громоздкие технические сооружения, как, впрочем, многие сооружения того времени. Считалось, что это позволяет экономить площади отводимых под них участков земли. Пока

Риск -менеджмент

автотранспорта в городе было сравнительно мало и он был, как правило, государственным, с этим можно было как-то мириться. Однако быстрый рост количества частных автомобилей в начале 90-х годов прошлого столетия, например в Москве, сделал си­туацию с автозаправками критической. Летом по пятницам, ко­гда в конце рабочего дня тысячи москвичей устремлялись на дачные участки, к АЗС выстраивались километровые очереди.

Решить эту проблему в короткие сроки, превратить заправку большого числа автомашин в событие подстать покупки газеты, можно было только создавая много малых АЗС, достаточно плотно размещенных по всей территории города. Ведь крупные АЗС просто не было возможности разместить в перенаселенном городе. Это еще одна причина, почему их и было крайне недос­таточно.

В настоящее время АЗС представляют собой небольшие пло­щадки с оборудованием, имеющим для розлива горюче-смазоч­ных материалов не более 3—5 колонок. При ожидании своей очереди для заправки прибывающие автомашины располагают­ся на небольших площадках вблизи АЗС, позволяющих размес­тить также небольшое число автомашин, как правило, — не бо­лее пяти. Если считать поток прибывающих на подобную АЗС автомашин случайным простейшим, то ее работу можно с успе­хом моделировать как случайный процесс функционирования ««-канальной СМО с ограниченной очередью». При моделиро­вании работы подобной СМО используем следующие обозначе­ния:

п — число заправочных колонок (число каналов обслужива­ния);

So, Sj, S₂, S₃, S₄, ..., S_n — число занятых колонок (возможные «состояния СМО»);

т — число мест для автомашин на площадке ожидания (чис­ло мест в очереди);

X — интенсивность потока прибывающих на АЗС автомашин (интенсивность входного потока заявок);

'оесл - среднее время заправки одного автомобиля (обслужи­вания одной заявки).

При таких обозначениях сразу вычисляют параметры работы подобной СМО:

ц = 1А_обС1 — интенсивность потока обслуживания;

Глава 3. Управление стохастическими рисками

X

р =------- «степень загруженности» канала;

И

р X

т| = — =-------- отношение величины р к числу каналов обслу-

п n\i живания («распределенная степень загруженности» СМО).

В качестве главных характеристик эффективности работы АЗС, как «n-канальной СМО с ограниченной очередью», были приняты:

А - абсолютная пропускная способность (среднее число ав­томобилей, обслуживаемое АЗС в единицу времени);

Q - относительная пропускная способность (вероятность заправки прибывшего автомобиля); очевидно, что Q = АД;

Р_отк — вероятность отказа в обслуживании, то есть вероят­ность того, что прибывший автомобиль не будет обслужен и по­кинет данную АЗС, поскольку все заправочные колонки и все места на площадке ожидания заняты; следовательно, Р_отк= 1 — Q;

к — среднее число занятых заправочных колонок (каналов обслуживания);

z — среднее число автомобилей, «связанных» с рассматривае­мой АЗС, то есть заправляющихся или находящихся в очереди;

г - среднее число автомобилей (заявок) в очереди;

to** - среднее время пребывания автомобиля на АЗС (в оче­реди или под обслуживанием);

t_т — среднее время ожидания заправки, если заняты все ко­лонки (среднее время пребывания заявки в очереди).

Эти характеристики вычисляют по следующим формулам:

Г, Р Р² Р"р^я+| 1-тгУ¹ *

р_п = 1 +— + - + ... + - +----------------- финальная веро-

^ 1! 2! п\ п • п\ [ -ц)

ятность P(S0) свободного состояния («простоя») СМО; если г| — 1, то в последнем слагаемом в скобках нужно в числителе дроби разложить (1 — r|^m) на произведение (1 — г|)(1 + ц + г\² + + г)³ + ... + г)^т|) и дробь сократить, после чего от нее останется просто сомножитель (1 + л + ц¹ + г|³+ ... + r|^m_l);

Р^к , ,

р_к = — • _£>„для I < к < п

к\

и

Риск-менеджмент

P

Pmr = —----- j ■ PO

P„M,r-\) -Ц ' /⁷ш</--1)>Д^ля l^^<w - ос-

тальные финальные вероятности;

A = X(l - p_n+m)'i Q = 1~Рп+т'уРотк⁼Рп+т —вероятность отказа в

обслуживании, то есть вероятность того, что в момент поступле­ния заявки все^-каналы обслуживания и все места в очереди заня-ты, -поэтому поступившая заявка не будет обслужена и покинет

V / р Т W

пп\ (1-л)

а для т) = 1 выражение для среднего числа заявок/- в очереди оп­ределяют на основании предельного перехода и получают выра­жение:

Рассчитаем указанные финальные вероятности и характери­стики эффективности АЗС для следующих исходных данных:

на АЗС имеются две заправочные колонки (п = 2);

на площадке ожидание могут располагаться четыре автома­шины (пг = 4);

поток автомашин, прибывающих на АЗС, имеет интенсив­ность \=1 автомашина/мин;

среднее время обслуживания автомашины t_o6cl = 2 мин.

На основании этих исходных данных вычисляем по пред­ставленным формулам:

У^ба

1/2 = 0,5 автомашина/мин; р = -=2;г| = ^=1.

ц п

финальная вероятность/?/ того, что на АЗС занята только од­на из двух имеющихся колонок равна

В = = ■$ =~² 1 =—'
1! 13 13'

остальные финальные вероятности р2, Рз, Р4, Ps и р₆ также

2 оказываются равными —.

Через полученные финальные вероятности находим характе­ристики эффективности работы АЗС:

Ротк P n+m =p₂+4 =Рб--------- это около 15% всех прибываю­
щих на АЗС автомобилей; они не будут заправлены на рассмат­
риваемой АЗС и будут искать другие пункты заправки;

относительная пропускная способность АЗС составляет, сле­довательно, величину Q = 1 - Р_отк= - или приблизительно 85%

всех прибивающих на АЗС автомобилей, что вполне удовлетво­рительно;

в абсолютном выражении (показатель абсолютной пропуск­ной способности) это составляет величину А = A.Q = - * 0,85 ма­шины/мин. Именно эти, обслуженные автомашины принесут

владельцу АЗС прибыль.

Кроме того, можно утверждать, что в среднем на данной АЗС

А 22 постоянно задействованы к = р(1 - р„) = - = - ~ 1,69 колонки

М 13 161

Риск -менеджмент

но находятся в среднем

ли! О-л) ^2!

■—----- -■—«1,54машины. Иными словами, емкость стоянки

2 13

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: