Сделай Сам Свою Работу на 5

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ

РИСКОВАННЫХ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКИХ

РЕШЕНИЙ

Определение оптимального размера выборки для принятия ре­шения о назначении скидки с подписной цены журнала. Предпри­ниматель, занимающийся изданием глянцевых журналов, реша­ет вопрос об увеличении тиража журнала, поскольку это обещает дополнительную прибыль. Однако он понимает, что если спрос на журнал не увеличится, то дополнительный тираж — это чис­тые убытки. Для составления прогноза величины будущего дохо­да предприниматель может получить информацию о размере процента положительных ответов при помощи опроса не всех, а только некоторой части из бывших подписчиков журнала. Одна­ко возник вопрос, насколько такая информация может быть точ­ной. Мы достаточно хорошо понимаем, что вопрос о цене не от­делим от вопроса о качестве, причем чем выше качество инфор­мации, тем выше ее цена. Следовательно, необходимо было оптимизировать соотношение цены и качества.

Предприниматель решил произвести случайную выборку 50 имен из рассылочной ведомости, получить ответы от подписчи­ков и на основе полученных положительных ответов оценить будущее количество подписчиков. На основе опыта подобных действий в прошлом наш предприниматель сделал предположе­ние — выдвинул гипотезы — о проценте возможных положи­тельных ответов. Пусть, например, он считает, что процент отве­тов будет между 1 и 5, и при этом нет причин считать, что воз­можность получения какого-либо конкретного процента из представленных более вероятно, чем другого. При таком пред­положении каждому возможному (гипотетическому) проценту ответов соответствует одинаковая вероятность, равная, согласно классическому определению, 1/5.

Обозначим через Н\ Н2, Я3, Н4, Я5 гипотезы о том, что про­цент положительных ответов составит 1, 2, 3, 4 и 5 соответствен­но. Тогда в этих обозначениях априорные вероятности гипотез составят Р(Н\) = Р{Н2) = Р(#з) = Р(^4) = P(Hs) = 0,2. После рас­сылки предложений клиентам число положительных ответов бу­дет дискретной случайной величиной, подчиняющейся закону




Глава 3. Управление стохастическими рисками

редких событий — распределению Пуассона. Напомним, что ве­роятностный ряд или ряд распределения Пуассона задается фор­мулой:

где а — математическое ожидание случайной величины у; к = 0, 1, 2, 3, ... — возможные значения, которые может прини­мать случайная величина у.

Случайное число у положительных ответов будет иметь сред­нее значение (математическое ожидание) а такой величины, ко­торая, как мы помним, определяется выражением а = пр, при­чем в нашем примере п — 50, а вероятность р успеха диктуется величиной предполагаемого процента успеха. А теперь примем во внимание, что одно и то же значение к рассматриваемая нами случайная величина может принять при разных значениях пара­метра а, то есть своего математического ожидания. Таким обра­зом, можно получить, например, три положительных ответа и в том случае, когда истинный процент желающих возобновить подписку на журнал по льготным условиям равен 1%, и в том случае, если этот процент будет равен 2, 3, 4 или 5. Только веро­ятности Р(у"''и) этих условных событий окажутся разными: чем ближе значение к возможного значения случайной величины к ее среднему значению а, тем, как правило, выше значение веро­ятности Р(?-%)и наоборот.

Для рассматриваемых нами гипотез Н\ Н2, Н^, Н4, Н5 о про­центе положительных ответов величины вероятностей успеха со­ставят^, = 0,01,р2- 0,02, р3= 0,03,р4 - 0,04 ир5= 0,05 соответ­ственно. Следовательно, математическое ожидание случайной величины у числа положительных ответов для первой гипотезы Нх составит величину а, = 50 • 0,01 = 0,5. Аналогично можно подчитать средние значения чисел положительных ответов для остальных гипотез: «2=1,0, а3—1,5, й4=2,0, а5= 2,5.

Для вычислений вероятностей Р(у =у к) рядараспределения Пуассона, как мы уже отмечали, удобно использовать функцию ПУАССОН(х; среднее; ...) пакета Microsoft Excel. С использова­нием этой компьютерной программы была вычислена зависи­мость между случайным числом подписавшихся (возможные ре­зультаты выборки) и гипотетическим процентом ответов. Услов-


Риск -менеджмент

ные вероятности Р(у=%) возможных значений числа к полученных положительных ответов для различных гипотетиче­ских значений процентов истинных положительных ответов представлены в табл. 3.4.

Т а б л и ц а 3.4

 

 

Возможные значения к числа новых подписчиков из 50 опрошенных Гипотетические значения процентов истинных положительных ответов
1% 2% 3% 4% 5%
0,607 0,368 0,223 0,135 0,082
0,303 0,368 0,335 0,271 0,205
0,076 0,184 0,251 0,271 0,257
0,013 0,061 0,126 0,180 0,214
0,002 0,015 0,047 0,090 0,134
0,000 0,003 0,014 0,036 0,067
0,000 0,001 0,004 0,012 0,028
  0,000 0,001 0,003 0,010
    0,000 0,001 0,003
    0,000 0,000 0,001
Суммы значений в столбцах (контроль­ное значение) 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Условные вероятности Р(у=к/„ ) возможных значений числа к полученных положительных ответов для различных гипотетиче­ских значений процентов истинных положительных ответов.

Проанализируем данные, например, четвертой строки табл. 3.4. Для удобства ее значения оттенены. Видно, что ровно три (зна­чение к=3) положительных ответа из 50 на предложение возоб­новить подписку на льготных условиях при истинности первой гипотезы (один процент положительных ответов) будут получе­ны с вероятностью 0,013; а при истинности других гипотез — Н224,Н> вероятность этого же числа успехов составит 0,061; 0,126; 0,180 и 0,214 соответственно.


Глава 3. Управление стохастическими рисками

Но для целей принятия решения на рискованную операцию нашему предпринимателю нужно знать не те вероятности, кото­рые представлены в табл. 3.4, а другие — апостериорные вероят­ности Р("'у) ИСТИННОСТИ гипотез при получении того или ино­го из возможных значений к случайной величины у. Их легко определить, воспользовавшись формулами условной и полной вероятности. Напомним эти формулы:

Р(А/В) = — -, Р(В) ф 0 - формула условной вероятности; Р(А) = "£Р(А вк) Р(Вк— формула полной вероятности.

к

Следуя этим формулам, для вычисления вероятностей Р(и'4=к) нужно вначале найти вероятности P(Hi(y=4i)) = Р(Н/)-Р(>'=к/н)и Р(у -к), а затем уже вычислить требуемые вероятности по формулам:

Рассчитаем, например, апостериорные вероятности Р(н у-^) для случая, когда на 50 разосланных предложений пришло ровно 3 ответа с намерением возобновить подписку по специальной цене. Вначале вычислим совместные вероятности Р(Я1 • (у = 3)) = = Р(Н,.) • Р(*'ън) наступления каждого из гипотетических собы­тий — процентов ответов и события — результата, состоящего в том, что у = 3. Вспомним, что вероятности Р(Я,), Р(Нг)Р(Н3). Р( Я ДР( Я, гипотетических событий-процентов ответов рав­ны 0,2. Следовательно, например, искомая вероятность совмест­ного события Р(Я, • (у = 3)) составит величину Р(Н[ • (у = 3)) = = Р(Я,) • Р(^3д) =0,2 • 0,013 = 0,0026. Аналогично получаем: Р(Н• (у = 3)) =0,2 • 0,061 = 0,0122; Р(Н3 • (у = 3)) = 0,2 • 0,126 = = 0,0252; Р(Н• (у=3))=0,2 • 0,180 = 0,0361 и P(HS • (у = 3)) = 0,2 • 0,214 = 0,0428. Сума полученных совместных вероятностей дает полную вероятность Р(у = 3), которая получается равной 0,1187. В результате чего апостериорные вероятности Р(н'/~^) =

Р(Н„)Р(^ ) ч

=----------------- —— будут соответственно равны: Р( '/~^) =

Р(у =3)


Риск-менеджмент

=0,0026/0,1187 = 0,021; />("' Р.3)= 0,0122/0,1187= 0,103; Р("< f.3) = = 0,0252/0,1187 = 0,211; /'("^=0,0361/0,1187 = 0,304 и P("^J = = 0,0428/0,1187 = 0,360. Таким образом, как это следует из рас­четов, вероятность увеличения числа подписчиков на журнал по специальной цене на 1% при условии, что из 50-ти разосланных предложений ровно 3 содержало положительный ответ, равна 0,021, хотя априорная вероятность этой гипотезы была 0,2. Со­ответствующие апостериорные вероятности увеличения числа подписчиков ровно на 2%, 3%, 4% и 5% по результатам прове­денных нами вероятностных расчетов составили 0,103, 0,211, 0,304 и 0,360 соответственно (в то время как априорные вероят­ности всех этих событий были одинаковыми и равнялись 0,2).

На рис. 3.8 представлено дерево возможных событий для слу­чая сравнения этой стратегии и стратегии предварительной рас­сылки 50 предложений продолжить подписку по специальной цене, причем на этом дереве в развернутом виде представлены события только для случая, когда получено 3 положительных от­вета из 50. Апостериорные вероятности гипотез для этого случая нами уже вычислены, а их значения проставлены возле стрелок, изображающих случайные исходы рассылки предложений под­писчикам.

Средняя величина ожидаемой прибыли при вычисленных значениях апостериорных вероятностей (для 3 положительных ответов из 50) составляет $5513. Чтобы получить это значение, потребовалось, как обычно, умножить значение апостериорной вероятности для каждой из гипотез на соответствующее этой ги­потезе значение дохода (положительного или отрицательного) и полученные значения всех произведений сложить. Для исхода «3 положительных ответа из 50» величина среднего дохода представ­лена на рис. 3.8 в вынесенном прямоугольнике. Как видим, если предприниматель решится на рассылку предложений подписчи­кам и получит ровно 3 положительных ответа, то ожидаемая при­быль почти в 2,8 раза превысит то ее значение, которое было вы­числено для случая, когда издатель хотел делать предложение о спеццене без предварительного сбора информации.

До проведения рассылки, конечно, нельзя предсказать ее ре­зультатов. Однако можно рассчитать ожидаемую выгодность для каждого возможного числа положительных ответов. Значения априорных вероятностей для всех возможных исходов рассылки


Глава 3. Управление стохастическими рисками


-$6000 2% -$2000

$2000

\М $6000 ,5% $10000

-$6000

2% 42000

$6000

составляет

$10000

Делать предложение о

спеццене без

гсоедварительного

сбора информации


Ожидаемая

выгода $5513 составляет


$2000


Рис. 3.8. Дерево возможных событий для сравнения стратегий

с предварительной рассылки 50 предложений продолжить подписку

по специальной цене (развернут исход для случая 3 положительных ответа из 50)

(в том числе и для к = 3) представлены в табл. 3.5. Рассмотрены только значения к от 0 до 7, поскольку вероятность получения значений, больших чем 7, очень мала. Далее обычным порядком используем полученные апостериорные вероятности, установ­ленные для каждого успешного результата к выборки, для того чтобы определить значение общей ожидаемой выгодности дей­ствия «Сделать выборку размером 50». Например, учитывая, что значение полной вероятности Р(у = 3) рассматриваемого нами исхода равно 0,1187 (на рис. 3.8 проставлено значение 0,119), то ожидаемая величина дохода при получении ровно трех положи­тельных ответов после рассылки 50 предложений составит $654,6.


Риск-менеджмент

Т а б л и ц а 3.5 Значения априорных вероятностей для возможных исходов рассылки предложений подписчикам

 

 

Апостериор­ные веро­ятности гипотез Возможные значения к числа новых подписчиков из 50 опрошенных
  0,429 0,205 0,073 0,021 0,005 0,001 0,000
pC'u) 0,260 0,248 0,177 0.103 0,053 0,025 0,012 0,005
PC'u) 0,158 0,226 0,242 0,211 0,164 0,117 0,080 0,053
Р("'-й) 0,096 0,183 0,261 0,304 0,313 0,300 0,274 0,242
P("<U) 0,058 0,138 0,247 0,360 0,464 0,556 0,634 0,700

В табл. 3.6 представлены значения условных величин дохода для каждого из возможных исходов случайной выборки объемом 50 человек, полные вероятности для этих исходов и частные ве­личины полных ожидаемых доходов для них. Видно, что услов­ный (и, следовательно, частный полный) доход от выборки для нулевого исхода — ни один из опрошенных не ответил положи­тельно на предложение возобновить подписку по специальной цене — отрицательный. Но если есть хотя бы один положитель­ный ответ, это уже дает положительный эффект, степень кото­рого определяется величиной полной вероятности исхода. На­пример, исход к = 7 приносит самую большую условную величи­ну дохода, равную $8545, однако из-за того, что полная вероятность Р(у = 7) такого исхода составляет всего лишь 0,0028; частная величина полных ожидаемых доходов для него будет всего только $24,3.

Т а б л и ц а 3.6 Значения условных величин дохода для каждого из возможных исходов случайной выборки

 

Возможные исходы к случайной выборки Условные величины дохода для исходов, $ Полные вероятности Р(У = к) исходов выборки Частные величины полных ожидаемых доходов, $
-1623 0,2830 -459,2
0,2963 358,0

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Продолжение табл. 3.6

 

0,2076 773,7
0,1187 654,6
0,0576 386,3
0,0240 181,1
0,0088 71,3
0,0028 24,3

В результате сложения величин этих частных ожидаемых вы­игрышей получается общая ожидаемая выгодность рассылки предложений 50 прежним подписчикам с последующим анали­зом полученных положительных ответов. Она составляет чуть больше $1990. Следовательно, ожидаемая ценность информа­ции, полученной в ходе рассылки предложений 50 прежним под­писчикам, будет равна разности между этим результатом и ожи­даемыми последствиями действия «Делать предложение». При тех исходных данных, которыми мы пользовались, эта ценность отрицательна $1990 — $ 2000= —$10, то есть собирать информа­цию при данных условиях получается невыгодно. При этом мы даже не учитывали дополнительные затраты на проведение са­мой случайной выборки респондентов для рассылки им предло­жений, а это всегда нужно делать, чтобы не исказить картину ис­хода.

Тем не менее склонный к риску предприниматель может пойти на решение сделать выборку, поскольку получение хотя бы одного положительного ответа может дать ценную информа­цию для получения более точного прогноза будущих доходов от подобной предпринимательской акции. К тому же необходимо иметь в виду, что значения вероятностей исходов существенно зависят от объема выборки. Поэтому представляется целесооб­разным подсчитать по предложенной' нами схеме ожидаемую полную выгоду от организации сбора информации для случай­ных выборок разного объема. После этого можно будет сопоста­вить полученные результаты и окончательно определить опти­мальный размер выборки, приносящий максимальный ожидае­мый суммарный доход.


Риск -менеджмент

Контроль качества продукции методом последовательного анализа (Вальда). На выходе производственной линии произво­дится контроль качества готовой продукции. С целью экономии затрат времени и средств на контроль изделия для контроля от­бирают из готовой партии случайным образом. После этого про­водится тщательный контроль изделия. По мере накопления ин­формации о результатах контроля формируется решение о каче­стве продукции во всей произведенной партии по методу последовательного анализа. Предприятие будет работать успеш­но и приносить прибыль только в том случае, если доля брака в партии выпущенной продукции не превышает 10% от общего числа изделий в каждой партии. Поэтому такое значение приня­то в качестве критерия оценки качества всей партии готовой продукции.

Одновременно принято решение считать, что партия «брако­ванная», если доля некондиционных изделий в ней не менее 20%. Учитывая возможность совершения ошибок первого и вто­рого рода при контроле, а также тяжести последствий от каждой из ошибок, были назначены предельные значения вероятностей указанных ошибок. Предельное значение вероятности а совер­шения ошибки, в результате которой бракуется кондиционная продукция, установлено равным 0,01, а вероятность р пропуска бракованного изделия при контроле (изделие ошибочно приня­то за кондиционное) ограничена величиной 0,1.

Контроль и выработка решения о состоянии всей партии го­товых изделий по методу последовательного анализа организу­ются на основе частных выводов после каждого очередного про­веденного испытания изделия. Предполагается, что после каж­дого очередного контроля возможны три основополагающих вывода: завершить контроль и принять всю партию, проконтро­лировать еще одно изделие из готовой партии, завершить кон­троль и забраковать всю партию. Оказывается, что обозначен­ные нами частные решения после каждого шага контроля будут адекватными, а вероятности ошибок первого и второго рода не выйдут за пределы установленных для них границ, если руководст­воваться критерием К, вида:

Р(у, /«Бракованная партия») Р{у, /«Кондиционная партия»)'


Глава 3. Управление стохастическими рисками

где у, - случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу /;

Р(уг = /«/«Бракованная партия» — условная вероятность того, что случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу /, будет равно т при условии, что партия бракованная; Р(у, = т / « Кондиционная партия» — условная вероятность то­го, что случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу /, будет равно т при условии, что партия кондиционная.

Чтобы определить обозначенные условные вероятности, вхо­дящие в выражение для критерия К,, в количественной форме, необходимо учесть, что, согласно принятому предпринимателем решению, партия считается кондиционной, если доля р, брака не выше 0,1 (установлена в размере 10%), а в бракованной пар­тии доля/?2брака не ниже 0,2 (то есть не менее 20%). Дискретная случайная величина у, при этом оказывается распределенной по биномиальному закону. Напомним, что основой биномиального распределения является следующая схема. В совершенно одина­ковых условиях — одна и та же доля р бракованных изделий в большой партии — проводится независимый контроль п одина­ковых изделий. Результат контроля случайный: с вероятностью^ под контроль подпадает именно бракованное изделие, а с веро­ятностью 1 —р бракованное изделие не попадает в число контро­лируемых.

Итак, поскольку партия готовых изделий достаточно большая, вероятность р от изделия к изделию не меняется. Фиксируется число т изделий, которые выявлены как бракованные. Это число будет одной из возможных реализаций случайной величины, ко­торая может принимать значения от 0 до п. Вероятность того, что дискретная случайная величина у примет значение, равное т, за-

п\

дается выражением вида Р(у=т)-------------- :------- р'"(1 - Р)" т или

т\{п - ту. кратко - Р(у = т) =С'У"(1 - /?)""',

где С"' =----------------------- число сочетаний из п по т.

т\{п - т)\ Таким образом, за t шагов (число проведенных испытаний) получаем:

Р(у, = т /«Бракованная партия») = С,'" • р'" • (1 -/>,)'"",

Р(уп =//«Кондиционная партия») = С,'" • р"' • (1 - />,)'"".


Риск-менеджмент

После каждого очередного шага контроля формируются ос­новополагающие выводы по схеме:


' < К, <------

1 - а а


сделать еще одно измерение;


 


Р

1 -а


> К,


принять кондиционную партию;


 


л, >


 

а


забраковать всю партию.


Вероятности ошибок первого и второго рода соответственно равны: а = 0,01, 0 = 0,1.

Запишем выражение для критерия К, в наших условиях:

1еперь сформируем границы распознавания ситуации в за­висимости от достигнутого к шагу t результата т числа иденти­фицированных бракованных изделий. Запишем формальное вы­ражение для основополагающего вывода: «сделать еще одно из­мерение». Для наших исходных данных получаем:

Проведем допустимое преобразование (логарифмирование):

[/л0,1 -/«0,99] < [т • lnl + (t - т) • (/«8 - 1пЩ < [М),9 - /«0,01]

или -2,293 < (0,693 + 0,118) • т -0,118 •/< 4,5.


Глава 3. Управление стохастическими рисками

Из последнего неравенства получаем границы зависимости между т и t.

0,145 • t - 2,82 << 0,145 • t + 5,55.

Границы выполнения двух представленных в выражении не­равенств — это прямые линии в системе координат t и т.Если изобразить их графически, то удобно будет делать частные выво­ды и одновременно документировать результаты вынесения ре­шений.

На рис. 3.9 представлена система координат (t, m) и разде­ляющие границы областей для формирования частных выводов. По мере проведения измерений t и фиксации числа m выявлен­ных бракованных изделий результаты можно изображать графи­чески в виде траектории процесса контроля. Такая траектория изображена на рис. 3.9 последовательностью пунктирных стре­лок. Траектория процесса контроля начинается из точки (0; 0), что соответствует ситуации «ни одного изделия не проконтроли­ровано и, следовательно, ни одного бракованного не выявлено». Если проведено одно измерение и брак не обнаружен, траекто­рия процесса выходит в точку (1; 0).


Забраковать всю партию

 

 
X
п  
X X
m  
о
ц  
га п
 
X 1 S
0) ё i я
Ь
   
т  
Е  
а  
m  
ь  
(1)  
   
s  
L-  
<>  
Щ  
  |)

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70

Числопроведенных испытаний

Рис. 3.9. Разделяющие границы областей для формирования частных выводов


Риск -менеджмент

Если проводить измерения и дальше и при этом не будут вы­явлены бракованные изделия, то траектория процесса будет про­должать развиваться вдоль оси t. Если на каком-то шаге процес­са контроля будет обнаружено первое бракованное изделие, на этом шаге траектория процесса контроля изменит угол движе­ния на 45 градусов. И так будет всякий раз, как только будет об­наруживаться брак. В результате траектория превращается в ло­маную линию, устремленную в общем случае вправо и вверх.

Скорость подъема траектории вверх зависит от частоты обна­ружения бракованных изделий среди проконтролированных. И ес­ли брак выявляется достаточно часто, то траектория процесса уст­ремляется в направлении северо-западной части системы коорди­нат (t, т). Эта часть ограничена снизу линией т = 0,145 • t + 5,55 и образует область значений числа t проведенных испытаний из числа т выявленных бракованных изделий, при попадании в ко­торую вся партия должна быть забракована.

Напротив, если число бракованных изделий в партии гото­вой продукции незначительное, траектория процесса редко бу­дет изламываться вверх. При этом, рано или поздно, она пересе­чет границу, задаваемую уравнением т =0,145 - / -2,82, которая отсекает юго-восточную часть области значений характеристик / и т, которая соответствует базовому решению: «Принять всю партию». Траектория процесса контроля, соответствующая именно такому случаю, и отображена на рис. 3.9. Несмотря на то, что все же возможно принятие ошибочного решения, вероят­ности аир ошибок первого и второго рода не выйдут за пределы установленных для них пороговых значений. Кроме того, как показывают исследования, для обеспечения подобного же каче­ства контроля по методу Неймана-Пирсона потребуется в сред­нем вдвое большая по объему выборка, чем та, которую придет­ся осуществить по методу последовательного анализа Вальда. И, следовательно, затраты на проведение контроля качества произ­веденной продукции будут в среднем вдвое ниже.

Предпринимательская деятельность по предоставлению услуг. Для коммерческой и иной подобной предпринимательской дея­тельности адекватными моделями оценки риска могут служить модели со случайными потоками событий. При этом события следует рассматривать как факты выполнения взаимных обяза­тельств между сторонами по объемам и по срокам. Наиболее


Глава 3. Управление стохастическими рисками

широко используют модели с так называемыми простейшими потоками событий. В простейшем потоке все наступающие со­бытия одинаковы, однако времена их появления — случайные, подчиняющиеся показательному закону распределения (свойст­во «без последействия»). При этом для простейшего потока ха­рактерно, что параметр показательного закона распределения — среднее время между событиями — постоянен во времени (свой­ство стационарности), а события появляются поодиночке (свой­ство ординарности).

Примером простейшего потока может служить поток авто­мобилей, прибывающих на автозаправочную станцию, поток те­лефонных звонков, поступающих в центр мобильной связи, и т.п. Для анализа разнообразных видов предпринимательской деятельности, в рамках которых циркулируют простейшие пото­ки событий, можно с успехом применять мощный математиче­ский аппарат анализа так называемых Марковских процессов. В рамках этого подхода, например, разработаны большинство моделей систем массового обслуживания (СМО).

Но не всегда потоки событий могут считаться простейшими. Например, как в предпринимательской деятельности, так и в быту, людям приходится совершать разнообразные платежи. Потоки платежей для банка и для потребителей часто оказыва­ются случайными в силу случайных моментов времени их осу­ществления и случайных величин платежей. Например, таковы­ми являются потоки платежей за предоставление коммунальных услуг, за тепло и электроэнергию — ведь редко кто платит за все эти услуги в строго определенный день. При этом размеры пла­тежей также могут быть случайными, в том числе и по причине их несоответствия объему и качеству предоставленных услуг: кое-кто не доплачивает, некоторые, по ошибке — переплачива­ют. Другой пример случайных платежей, с которым с недавних пор (после вступления в силу закона об обязательном страхова­нии автогражданской ответственности) приходится сталкивать­ся значительному числу людей, — это выплаты страховых сумм за повреждение личного или общественного автотранспорта.

Продажа бензина на автозаправочной станции (АЗС). Во вре­мена «начала перестройки» в России АЗС представляли собой достаточно громоздкие технические сооружения, как, впрочем, многие сооружения того времени. Считалось, что это позволяет экономить площади отводимых под них участков земли. Пока


Риск -менеджмент

автотранспорта в городе было сравнительно мало и он был, как правило, государственным, с этим можно было как-то мириться. Однако быстрый рост количества частных автомобилей в начале 90-х годов прошлого столетия, например в Москве, сделал си­туацию с автозаправками критической. Летом по пятницам, ко­гда в конце рабочего дня тысячи москвичей устремлялись на дачные участки, к АЗС выстраивались километровые очереди.

Решить эту проблему в короткие сроки, превратить заправку большого числа автомашин в событие подстать покупки газеты, можно было только создавая много малых АЗС, достаточно плотно размещенных по всей территории города. Ведь крупные АЗС просто не было возможности разместить в перенаселенном городе. Это еще одна причина, почему их и было крайне недос­таточно.

В настоящее время АЗС представляют собой небольшие пло­щадки с оборудованием, имеющим для розлива горюче-смазоч­ных материалов не более 3—5 колонок. При ожидании своей очереди для заправки прибывающие автомашины располагают­ся на небольших площадках вблизи АЗС, позволяющих размес­тить также небольшое число автомашин, как правило, — не бо­лее пяти. Если считать поток прибывающих на подобную АЗС автомашин случайным простейшим, то ее работу можно с успе­хом моделировать как случайный процесс функционирования ««-канальной СМО с ограниченной очередью». При моделиро­вании работы подобной СМО используем следующие обозначе­ния:

п — число заправочных колонок (число каналов обслужива­ния);

So, Sj, S2, S3, S4, ..., Snчисло занятых колонок (возможные «состояния СМО»);

т — число мест для автомашин на площадке ожидания (чис­ло мест в очереди);

X — интенсивность потока прибывающих на АЗС автомашин (интенсивность входного потока заявок);

'оесл - среднее время заправки одного автомобиля (обслужи­вания одной заявки).

При таких обозначениях сразу вычисляют параметры работы подобной СМО:

ц = 1АобС1 — интенсивность потока обслуживания;


Глава 3. Управление стохастическими рисками

X

р =------- «степень загруженности» канала;

И

р X

т| = — =-------- отношение величины р к числу каналов обслу-

п n\i живания («распределенная степень загруженности» СМО).

В качестве главных характеристик эффективности работы АЗС, как «n-канальной СМО с ограниченной очередью», были приняты:

А - абсолютная пропускная способность (среднее число ав­томобилей, обслуживаемое АЗС в единицу времени);

Q - относительная пропускная способность (вероятность заправки прибывшего автомобиля); очевидно, что Q = АД;

Ротквероятность отказа в обслуживании, то есть вероят­ность того, что прибывший автомобиль не будет обслужен и по­кинет данную АЗС, поскольку все заправочные колонки и все места на площадке ожидания заняты; следовательно, Ротк= 1 — Q;

к — среднее число занятых заправочных колонок (каналов обслуживания);

z — среднее число автомобилей, «связанных» с рассматривае­мой АЗС, то есть заправляющихся или находящихся в очереди;

г - среднее число автомобилей (заявок) в очереди;

to** - среднее время пребывания автомобиля на АЗС (в оче­реди или под обслуживанием);

tтсреднее время ожидания заправки, если заняты все ко­лонки (среднее время пребывания заявки в очереди).

Эти характеристики вычисляют по следующим формулам:

Г, Р Р2 Р"ря+| 1-тгУ1 *

рп = 1 +— + - + ... + - +----------------- финальная веро-

^ 1! 2! п\ п • п\ [ -ц)

ятность P(S0) свободного состояния («простоя») СМО; если г| 1, то в последнем слагаемом в скобках нужно в числителе дроби разложить (1 — r|m) на произведение (1 — г|)(1 + ц + г\2 + + г)3 + ... + г)т|) и дробь сократить, после чего от нее останется просто сомножитель (1 + л + ц1 + г|3+ ... + r|m_l);

Рк , ,

рк = — • _£>„для I < к < п

к\

и


Риск-менеджмент

P


Pmr = —----- j ■ PO


 


P„M,r-\) -Ц ' /7ш</--1)>Для l^^<w - ос-


тальные финальные вероятности;

A = X(l - pn+m)'i Q = 1~Рп+т'уРотк=Рп+т —вероятность отказа в

обслуживании, то есть вероятность того, что в момент поступле­ния заявки все-каналы обслуживания и все места в очереди заня-ты, -поэтому поступившая заявка не будет обслужена и покинет

Ц>

V / р Т W

г =---------- —--——-!—, ДЛЯ ЛЮбОГО г) < 1 ИЛИ г\ > 1,

пп\ (1-л)

а для т) = 1 выражение для среднего числа заявок/- в очереди оп­ределяют на основании предельного перехода и получают выра­жение:



 


Рассчитаем указанные финальные вероятности и характери­стики эффективности АЗС для следующих исходных данных:

на АЗС имеются две заправочные колонки (п = 2);

на площадке ожидание могут располагаться четыре автома­шины (пг = 4);

поток автомашин, прибывающих на АЗС, имеет интенсив­ность \=1 автомашина/мин;

среднее время обслуживания автомашины to6cl = 2 мин.

На основании этих исходных данных вычисляем по пред­ставленным формулам:


У^ба


 

1/2 = 0,5 автомашина/мин; р = -=2;г| = ^=1.

ц п


Глава 3. Управление стохастическими рисками

Далее находим финальные вероятности: финальная вероятность «простоя АЗС» (с учетом, что г\ = 1)

финальная вероятность/?/ того, что на АЗС занята только од­на из двух имеющихся колонок равна

В = = ■$ =~2 1 =—'
1! 13 13'

остальные финальные вероятности р2, Рз, Р4, Ps и р6 также

2 оказываются равными —.

Через полученные финальные вероятности находим характе­ристики эффективности работы АЗС:

Ротк P n+m =p2+4 =Рб--------- это около 15% всех прибываю­
щих на АЗС автомобилей; они не будут заправлены на рассмат­
риваемой АЗС и будут искать другие пункты заправки;

относительная пропускная способность АЗС составляет, сле­довательно, величину Q = 1 - Ротк= - или приблизительно 85%

всех прибивающих на АЗС автомобилей, что вполне удовлетво­рительно;

в абсолютном выражении (показатель абсолютной пропуск­ной способности) это составляет величину А = A.Q = - * 0,85 ма­шины/мин. Именно эти, обслуженные автомашины принесут

владельцу АЗС прибыль.

Кроме того, можно утверждать, что в среднем на данной АЗС

А 22 постоянно задействованы к = р(1 - р„) = - = - ~ 1,69 колонки

М 13 161


Риск -менеджмент


из имеющихся двух, а в очереди на стоянке ожидания постоян- Р"+' Wm + DrT+imT1 JL

но находятся в среднем

ли! О-л) 2!

■—----- -■—«1,54машины. Иными словами, емкость стоянки

2 13



©2015- 2019 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.