Примеры решения типовых задач

Задачи по математическому анализу,
линейной алгебре и методам оптимизации

Задача № 1

Описать свойства наиболее распространенных в экономике и управлении функций и построить их графики.

Задание А Параболическая функция .

Решение

Для построения графика функции найдем характерные точки. Вершина параболы имеет координаты

При и . Корни функции

	Основные свойства этой функции. 1.Область определения функции . 2.Область значений функции . 3.Функция убывает на интервале и возрастает на интервале . 4.Особые точки функции: корни (-1;0) и (3;0), минимум (-1;-4); пересечение с осью y (0;-3). 5. Функция непрерывна.
6. Функция симметрична относительно линии x=1. 7. Функция непериодическая. 8. Функция имеет производные: , и первообразную

Задание Б .Экспоненциальная функция .

Решение

Для построения графика функции составим таблицу.

Основные свойства этой функции. 1.Область определения . 2.Область значений . 3.Функция монотонно возрастает. 4. Особые точки функции: (0;-2) и и асимптота . 5.Функция непрерывна. 6.Функция общего вида. 7.Функция непериодическая. 8. Функция имеет производные , и первообразную .

Задание В. Тригонометрическая функция

Решение

Для построения графика функции составим таблицу.

	X
	Y	-1				-1
	Основные свойства функции. 1.Область определения . 2.Область значений . 3.Функция возрастает в интервале и убывает в интервале .
4.Особые точки функции: (0;1), максимум . минимум , а также корни функции, определяемые обратной тригонометрической функцией. 5.Функция непрерывна. 6.Функция нечетна относительно точки (0;1). 7.Функция периодическая, период . 8. Функция имеет производные , и первообразную .

Задача №2

Найти экстремумы и точки перегиба функции одной переменной , построить график функции.

Решение

Согласно выполнению необходимого условия существования экстремума найдем критические (стационарные) точки данной функции. Найдем первую производную функции и приравняем ее нулю:

, .

Решая квадратное уравнение, получаем две стационарные точки .

Согласно выполнению достаточного условия существования экстремума определяем характер поведения функции в стационарных точках.

Найдем вторую производную функции.

.

Проверим стационарную точку :

Так как , то в этой точке функция имеет экстремум, который является минимумом, потому что . Вычислим значение этого минимума:

Проверим стационарную точку :

,

Так как , то в этой точке функция имеет экстремум, который является максимумом, потому что . Вычислим значение этого максимума:

.

Для нахождения точек перегиба приравняем вторую производную нулю:

,

откуда .

График функции

Задача №3

Найти экстремумы функции двух переменных: .

Решение

Согласно выполнению необходимого условия экстремума найдем критические (стационарные) точки данной функции.

Найдем частные производные первого порядка:

,

.

Приравняем полученные производные нулю:

Решая систему уравнений, отыщем стационарные точки.

Таким образом, находим две точки и .

Согласно выполнению достаточного условия существования экстремума определим характер поведения функции в стационарных точках.

Найдем все частные производные второго порядка.

. (А)

, (В)

. (С)

Проверим стационарную точку :

.

Так как , то в точке функция экстремума не имеет.

Проверим стационарную точку

.

Так как , то в точке функция имеет экстремум, который является минимумом, потому что и .

Вычислим значение этого минимума.

Задача №4

Задание а). Проинтегрировать функцию

Решение

Применим способ замены переменной, для подстановки положим . Дифференцируя, получим и .

Поэтому .

Задание б). Проинтегрировать рациональную функцию .

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

.

Освобождаясь от знаменателя, получим:

Полагая последовательно , получим , откуда А=3; В=-1; С=-2.

Итак, тождественно , поэтому

Задание в). Вычислить определённый интеграл .

Применим способ интегрирования по частям. Обозначим . Тогда и Применяя формулу интегрирования по частям, получим

Задача 5

Дано уравнение гиперболы 16х²-9у²=144. Найти длины ее осей, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения директрис и асимптот гиперболы.

Решение.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду и определим как параметры гиперболы, так и расстояние с от начала координат до фокуса:

или ,

откуда а=3, b=4, , эксцентриситет e= .

Действительная ось 2а=6; мнимая ось 2b=8.

Уравнения директрис: .

Уравнения асимптот: .

Задача 6.

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, зная, что он проходит через точки М₁(2;3) и М₂ .

Решение.

Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, его каноническое уравнение будет иметь вид , и вместо текущих координат подставим в это уравнение сначала координаты точки М₁, а затем координаты точки М₂. Из получившейся системы уравнений

определим параметры эллипса а и b.

Обозначив

, ,

получим следующую систему уравнений:

.

Решая ее, получим, что:

,

откуда а²=16, b²=12.

Следовательно, искомое уравнение эллипса будет:

.

Задача 7.

Найти вершину, фокус, ось и директрису параболы

у = -2х² +16х-29.

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Отсюда .

Обозначив х`= х-4 и у`= у-3, перейдем к новой системе координат O`x`y`, начало которой находится в точке O`(4;3), а оси O`x` и O`y` сонаправлены с осями Ох и Оу. В результате получим простейшее уравнение данной параболы

.

Отсюда , т. е. . Итак, вершина параболы находится в точке O`(4;3); координаты фокуса

x_F = x_O` = 4;

т. е. F ; уравнение оси параболы x = x_O` = 4, т. е. х-4=0; уравнение директрисы , т. е. 8y-25=0.

Задача 8.

Уравнение эллипса привести в полярной системе координат к уравнению вида

.

Решение

Найдем из данного уравнения параметры a, b, c, затем найдем эксцентриситет и фокальный параметр эллипса :

а²=4, b²=3, c²=1, , .

Искомое уравнение будет иметь вид:

или .

Задача 9.

Данное уравнение кривой в полярных координатах

.

Привести его к каноническому уравнению в прямоугольных координатах.

Решение.

В данном уравнении , . Так как эксцентриситет e>1, то данное уравнение является уравнением гиперболы, у которой b²=c²-a². Таким образом, данные параметры могут быть записаны в виде системы двух уравнений

Из этой системы находим, что а=1, с=3, b²=8. Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид:

.

Задача 10.Написать уравнение прямой, проходящей через две известные точки А(2;3) и В(6;-2) и вычислить длину отрезка АВ.

Решение.Уравнение прямой, проходящей через две известные точки М₁(x₁,y₁) М₂(x₂,y₂), имеет вид:

,

поэтому уравнение прямой (АВ) примет вид:

.

Расстояние между точками М₁ и М₂ определяется по формуле

поэтому длина отрезка АВ:

.

Задача 11.Написать уравнение высоты (BN) и вычислить ее длину в треугольнике А(6;0), В(2;-3), С(-4;9).

Решение:Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М(x₀,y₀) имеет вид : y-y₀=k(x-x₀).

Угловой коэффициент прямой (BN) найдем из того условия, что (ВN)^(АС). Условие перпендикулярности двух прямых, имеющих угловые коэффициенты k₁, k₂:

.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М₁(x₁;y₁) и М₂(x₂;y₂) - ;

т.о.,

и уравнение (BN), следовательно, имеет вид:

.

Для вычисления высоты BN воспользуемся формулой, определяющей расстояние d точки М₀(x₀;y₀) до прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0:

.

Нам нужно определить расстояние точки В(2;-3) до прямой, идущей через точки А(6;0) и С(-4;9).

Уравнение (АС)

.

Задача 12.Вычислить в радианах величину внутреннего угла В в треугольнике А(4;-1), В(-4;-5), С(1;10).

Решение:Для определения угла В воспользуемся формулой тангенса

угла между двумя прямыми, имеющими угловые коэффициенты k1 и k2: , где k1 – угловой коэффициент той прямой, которая поворачивается до совмещения со второй против часовой стрелки.

В нашем случае такой прямой является (ВА) ( см.рисунок).

.

Задача 13.

Написать уравнение (ВК) биссектрисы внутреннего угла треугольника с вершинами А(4;-1), В(-4;-5), С(1;5).

Решение: Воспользуемся уравнениями биссектрис углов, образованных пересечением двух прямых, заданных уравнениями:

Уравнения таких биссектрис имеют вид:

Точка М(x;y), координаты которой удовлетворяют этому условию, равноудалена от двух данных прямых, так как в левой и правой части равенства записаны расстояния ее до этих прямых.

В нашем случае уравнения прямых (АВ) и (ВС) имеют вид:

(АВ): ,

(BC): .

Уравнения двух биссектрис угла В (внутреннего и внешнего) имеют вид:

, что равносильно уравнениям:

x-2y-6=2x-y+3 или y=-x-9 (1)

x-2y-6=-(2x-y+3) или x-y-1=0(2) и y=x-1 (2)

Из уравнений (1), (2) угловые коэффициенты этих биссектрис

k=-1, k=1

Искомый угловой коэффициент должен удовлетворять неравенству:

k_(BA)< k_(BK) <k_(BC) , (см. рисунок).

Так как

и уравнение биссектрисы (ВК) есть x-y-1=0.

Задача 14.Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое дальше от прямой y+2=0, чем от точки F(-3;1).

Решение:Пусть точка М(x,y) обладает указанными свойствами:

Рис. 1

, где d - расстояние точки М до заданной прямой(рис.1).

Координаты x, y точки М должны удовлетворять следующему уравнению:

После возведения в квадрат и соответствующих преобразований получим уравнение:

4x² + 24x + 3y² - 12y + 36=0 или

4(x² +6x +9 - 9) + 3(y² -4y +4 -4) - 36 = 0

----------- ------------

4(x + 3)² + 3(y-2)² - 48 + 36 = 0

Это уравнение эллипса с осями симметрии, параллельными координатным осям с центром в точке С(-3;2) и полуосями (рис. 2).

Рис. 2

Задача 15.Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси Ox, если уравнения ее асимптот , а расстояние между директрисами .

Решение: Уравнение такой гиперболы имеет вид и для его записи необходимо вычислить величины a и b. Так как уравнения асимптот гиперболы имеют вид , то имеем соотношение:

(1)

Так как расстояние между директрисами равно , где e - эксцентриситет, то :

(2)

Кроме того, поэтому условие (2) можно записать так:

Для a и b получим следующую систему:

a=8, b=6 и уравнение гиперболы

.

Задача 16 (линейное программирование).

Математическая постановка

x₁³0,

x₂³0,

a₁₁x₁+a₁₂x₂£b_1,

a₂₁x₁+a₂₂x₂£b_2,

F=c₁x₁+c₂x₂®max.

Графическое решение задачи линейного программирования.

Максимизировать функцию F=3x₁+5x₂ при ограничениях:

2x₁+4x₂£16

3x₁+x₂£9

a₁₁=2 a₁₂=4 b₁=16

a₂₁=3 a₂₂=1 b₂=9

c₁=3 c₂=5

Построим графики функций 2x₁+4x₂=16 и 3x₁+x₂=9, проходящие через точки (x₁=0, x₂=4; x₁=8, x₂=0) и (x₁=0, x₂=9; x₁=3, x₂=0) соответственно, а также x₁=0 и x₂=0 с областями определения x₁³0 и x₂³0 соответственно. В результате получим многоугольник ОABC, задающий область допустимых решений задачи.

Затем построим график функции 3x₁+5x₂=const., где const некоторое число, например, 15. Все точки (x₁, x₂) этой прямой придают целевой функции значение 15. Если теперь перемещать эту прямую параллельно самой себе, значение целевой функции будет меняться. Можно заметить, что максимальное значение из области допустимых решений целевая функция в данном случае принимает в точке пересечения прямых 2x₁+4x₂=16, 3x₁+x₂=9, задающих ограничения на область допустимых решений. Решением задачи является точка B с координатами x1=2, x2=3. Значение целевой функции в этой точке равно F=3×2+5×3=21.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: