Полярная система координат

Полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ,φ).

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта O (полюс) и луч Ox, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Координата ρ определяет расстояние от точки до полюса, координата φ — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Координата φ берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида (ρ,φ+2πn), которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ произвольный.

Иногда допускаются отрицательные значения ρ, в этом случае координаты (ρ,φ) и ( - ρ,φ + π) определяют одну и ту же точку плоскости.

Примеры использования.

Уравнение прямой на расстоянии D от полюса: ρ = D / cos(φ + α).

Уравнение окружности с центром в полюсе и радиуса R: ρ = R.

Уравнение окружности, проходящей через полюс, и радиуса R:
ρ = 2Rcos(φ + α).

Уравнение эллипса с фокусом в полюсе: .

Формулы перехода.

От полярной системы координат к декартовой:

От декартовой системы координат к полярной:

Скалярное произведение двух векторов

Определение скалярного произведения (СП)

Определение.СП двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать символом , угол между векторами - j.

По определению:

(1)

Можно сформулировать другое определение СП двух векторов, эквивалентное определению.

Из теоремы имеем:

(проекция вектора на ось вектора ).

Отсюда получаем

Определение:

или

(2)

Геометрические свойства СП

Теорема.Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство.1). Необходимость. Пусть векторы ортогональны, j- угол между ними. Тогда cosj=0 и, в силу формулы (1) , .

2). Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы ортогональны. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то он ортогонален любому вектору.

Если же векторы ненулевые, то , поэтому из равенства вытекает, что cosj=0, т.е. векторы ортогональны, ч.т.д.

Замечание.

Углом между двумя векторами считаем тот, который не превосходит p. (0 £ j £p)

Из формулы (1) следует

Теорема. Два ненулевых вектора составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их СП положительно(отрицательно).

Алгебраические свойства СП

1.

2.

3.

4. , если - ненулевой вектор, и

, если - нулевой вектор.

Свойство 1 следует из формулы (1).

Второе свойство получается из определения (формула 2) скалярного произведения:

.

Свойство 3 получаем из свойств линейности проекции вектора на ось и формулы (2) :

Четвертое свойство вытекает из формулы (1):

.

Выражение скалярного произведения (СП)
в декартовых прямоугольных координатах (ДПК)

Теорема.Если два вектора определены своими ДПК:

,

,

то СП этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Доказательство.По определению 1 ,

также .

, также

.

Используя алгебраические свойства СП, имеем

Следствие 1.Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является равенство

.

Следствие 2.Угол j между векторами определяется по формуле

.

Векторное произведение двух векторов

Правые и левые тройки векторов и системы координат

Определение.Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из них является первым, какой- вторым и какой- третьим.

Т.е. запись означает, что первым элементом является вектор , вторым- , третьим- .

Определение.Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами , откуда кратчайший поворот от виден совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Правая тройка Левая тройка

Определение.Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: