Исследование формы эллипса

Приступим к изучению формы эллипса. В уравнении эллипса содержатся только члены с четными степенями текущих координат. Отсюда следует важная геометрическая особенность: эллипс, определяемый уравнением

,

симметричен как относительно оси Ox, так и относительно оси Oy. Другими словами, если точка М₀(x₀;y₀) лежит на эллипсе, то точки М₁(x₀;-y₀), M₃(-x₀;y₀), M₄(-x₀;-y₀), симметричные точке М₀ соответственно относительно оси Ox, оси Oy и начала О, также лежат на эллипсе. Это позволяет при изучении формы и построении эллипса ограничиться первым квадрантом, а затем получившуюся кривую с помощью зеркального отражения построить во всех четырех квадрантах. В случае канонического задания эллипса координатные оси являются осями симметрии эллипса. Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса.

Из канонического уравнения эллипса выразим y через х:

.

Так как изучение формы эллипса достаточно провести в первом квадранте, то в этом равенстве надо взять лишь знак плюс, то есть

,

и полагать, что х ³ 0.

Рис.2

1) При х=0 имеем y=b. Следовательно, точка B1(0;b) лежит на эллипсе. 2) При возрастании х от 0 до а у убывает. 3) При х=а имеем y=0. Следовательно, точка А1(а;0) лежит на эллипсе. 4) При x>a получаем мнимые значения y. Следовательно, точек эллипса, у которых х>a, не существует.

Дадим переменной х несколько значений, 0<x<a, и, получив соответствующие значения y, b>y>0, построим ряд точек, принадлежащих эллипсу. Учитывая высказанные ранее соображения и соединив найденные точки эллипса плавной линией, получим дугу эллипса В₁А₁ в первом квадранте. Произведя зеркальное отображение дуги В₁А₁ относительно координатных осей, получим весь эллипс. Отсюда следует, что эллипс представляет собой замкнутую кривую с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии.

Отрезок А₂А₁ и его длина 2а называется большой осью эллипса, отрезок ОА₁ и его длина а называется большой полуосью эллипса. Отрезок В₂В₁ и его длина 2b называется малой осью эллипса; отрезок ОВ₁ и его длина b называется малой полуосью эллипса. Длина отрезка F₂F₁, т.е. число 2с, называется фокусным расстоянием. Точки пересечения эллипса с его осями А₁, А₂, В₁, В₂ называются вершинами эллипса, а точка пересечения его осей называется центром эллипса.

Примечание. Если a=b, то уравнение эллипса имеет вид или x²+y²=a². Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным а. Можно сказать, что окружность является частным случаем эллипса.

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси эллипса; обозначив эксцентриситет буквой e, получим:

e = .

Так как с<a, то e<1, т.е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Учитывая, что с² = а² - b²; -

e ;

отсюда

e .

Cледовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1 - e², тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. Наоборот, чем больше отношение , тем меньше эксцентриситет и эллипс является менее вытянутым. В предельном случае, когда b = a, т.е. когда эллипс обращается в окружность, его эксцентриситет обращается в нуль.

В заключение отметим: из определения эллипса непосредственно вытекает способ построения его при помощи нити: если концы нерастяжимой нити длиной 2а закрепить в фокусах F₁ и F₂ и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия оно будет вычерчивать эллипс с фокусами F₁ и F₂ и суммой фокальных радиусов 2а.

Гипербола

Определение гиперболы
и вывод ее канонического уравнения

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная; указанная разность берется по абсолютному значению. Кроме того, требуется, чтобы разность была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы обозначим через F₁ и F₂, а расстояние между ними - через 2с.

Рис. 3

Для вывода уравнения гиперболы возьмем систему координат XOY так, чтобы фокусы гиперболы F1 и F2 лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F1F2 (F1F2=2c) пополам. Тогда координаты фокуса F1 будут (с;0), а фокуса F2 – числа (-с;0)(рис.3).

Возьмем точку M(x;y), лежащую на гиперболе, и проведем отрезки MF₁ и MF₂. Длину отрезка MF₁ обозначим r₁, а длину отрезка MF₂ – через r₂:

MF₁ = r₁; MF₂ = r_2.

Числа r₁ и r₂ называются фокальными радиусами точки М гиперболы. Обозначив разность фокальных радиусов через 2а, имеем 2а<2c, или а<c.

На основании определения гиперболы как геометрического места точек на плоскости, можно утверждать, что для всех точек гиперболы, и только для них, должно выполняться равенство:

r₁ - r₂ = ± 2a. (6)

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Подставляя найденные значения r₁ и r₂ в уравнение (6), получим:

(7)

Уравнение (7) является уравнением гиперболы. Приведя уравнение (7) к более удобному виду, получим:

(8)

Уравнению (8) будут удовлетворять координаты каждой точки, лежащей на гиперболе. Можно показать, что координаты точек, не принадлежащих гиперболе, уравнению (8) не удовлетворяют. Следовательно, уравнение (8) является уравнением рассматриваемой гиперболы. Уравнение (8) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследование формы гиперболы

Займемся исследованием гиперболы, определяемой уравнением

.

Прежде всего заметим, что в уравнение гиперболы обе координаты входят только в четных степенях. Следовательно, если некоторая точка М₀(х₀;у₀) лежит на гиперболе, то на гиперболе будут лежать также точки М₁(х₀;-у₀); М₂(-х₀;у₀); М₃(-х₀;-у₀). Отсюда следует, что гипербола является кривой, симметричной относительно обеих координатных осей и начала координат. Это позволяет изучение формы гиперболы ограничить первым квадрантом, а затем получившуюся кривую с помощью зеркального отображения построить во всех четырех квадрантах.

В случае канонического задания гиперболы координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Таким образом, гипербола, как и эллипс, - центральная кривая.

От начала координат на оси абсцисс вправо и влево отложим отрезок, длина которого равна а, и построим точки A₁(a;0) и
А₂(-а;0), а на оси ординат вверх и вниз отложим отрезок длиной b и построим точки В₁(0;b) и B₂(0;-b). Затем через точки А₁, А₂, В₁, В₂ проведем прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения и таким образом построим прямоугольник (рис. 6), который назовем основным прямоугольником гиперболы.

Рис. 4

Раствором циркуля, равным расстоянию А₁В₁, из начала координат как из центра, сделаем засечки на оси абсцисс. При этом мы найдем точки F₁ и F₂. Действительно, из прямоугольного треугольника ОА₁В₁: ОА₁=а, ОВ₁=b. Следовательно, на основании равенства

a² + b² = c², т.е. В₁А₁=с.

Определим теперь у из канонического уравнения гиперболы :

(9)

Так как исследование гиперболы будет вестись в первом квадранте, то в этом равенстве надо перед корнем взять знак плюс:

(10)

и рассматривать х ³ 0.

1) Если 0 £ х<a, то у получает мнимые значения. Следовательно, точек гиперболы с абсциссами х, 0 £ х<a не существует.

2) Если х=а, то у=0. Следовательно, точка А₁(а;0) принадлежит гиперболе.

3) Если х>а, то у>0, причем при возрастании х возрастает и у.

Когда х неограниченно возрастает, у также неограниченно возрастает. Следовательно, при неограниченном возрастании х ветвь гиперболы уходит в бесконечность.

Отсюда следует, что гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух бесконечных ветвей (для правой ветви r₁ - r₂ = -2a, для левой r₁ - r₂ = + 2a) с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, причем ни одной точки гиперболы не находится внутри основного прямоугольника.

Отрезок А₂А₁ и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, отрезок ОА₁ и его длина а называются действительной полуосьюгиперболы. Отрезок В₂В₁ и его длина 2b называются мнимой осью гиперболы; отрезок ОВ₁ и его длина b называются мнимой полуосьюгиперболы. Длина 2с отрезка F₂F₁ называется фокусным расстоянием. Точки пересечения гиперболы с действительной осью А₁ и А₂ называются вершинами гиперболы.

Асимптоты гиперболы

Пусть Г – какая-нибудь линия, М – переменная точка на ней, A – некоторая прямая. Если возможно такое движение точки М по линии Г, что:

1) точка М уходит в бесконечность;

2) при этом расстояние от точки М до прямой A стремится
к нулю, – то говорят, что линия Г асимптотически приближается
к прямой A. Прямая A в таком случае называется асимптотой линии Г.

Асимптотами гиперболы называются прямые, имеющие уравнения:

и (11)

Эти прямые являются диагоналями основного прямоугольника. Построим гиперболу и рассмотрим какую-нибудь точку М(х;у), лежащую на гиперболе в первом квадранте.

Выясним, как в первом квадранте по мере возрастания х будет изменяться расстояние от точки М гиперболы до асимптоты . Обозначим через N точку асимптоты с абсциссой х: N(x;Y), где Y= . Тогда

(12)

Так как а £ х, то в скобках первое слагаемое всегда больше второго, следовательно, Y-y>0, а это означает, что при одной и той же абсциссе точка гиперболы лежит под соответствующей точкой асимптоты.

Преобразуя неравенство (12):

, (13)

убеждаемся, что длина отрезка MN по мере возрастания х уменьшается, и когда х неограниченно растет, то MN стремится к нулю. Так как MN больше расстояния МК от точки M до асимптоты, то при этом МК и подавно стремится к нулю.

Аналогичное рассуждение можно провести в любом квадранте.

Итак, прямые в смысле определения являются асимптотами гиперболы

.

При построении гиперболы обычно строят основной прямоугольник и проводят асимптоты, так как они позволяют точнее вычерчивать гиперболу.

Равнобочная гипербола

Возьмем каноническое уравнение гиперболы

.

В случае, когда а=b, уравнение гиперболы имеет вид

или

х² - у² = а² (14)

Гипербола, у которой полуоси а и b равны, называется равнобочной гиперболой. Уравнение (14) называется уравнением равнобочной гиперболы. Так как основной прямоугольник этой гиперболы является квадратом, то асимптоты равнобочной гиперболы будут перпендикулярны друг другу (рис. 5)

Рис. 5

Сопряженная гипербола

Рассмотрим уравнение

. (15)

Представим уравнение (15) в следующем виде:

. (16)

Очевидно, что уравнение (16) представляет собой уравнение гиперболы, у которой действительной осью является ось ординат, а мнимой – ось абсцисс.

Построим основной прямоугольник, проведем асимптоты и построим гиперболу (15). Далее в той же системе координат построим (пунктиром) (рис. 6) гиперболу

Рис. 6

Очевидно, что гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Выведем теперь уравнение гиперболы, асимптотами которой служат оси координат.

Уравнение равнобочной гиперболы, для которой координатные оси ОХ и OY являются асимптотами, будет иметь вид:

ху = с

или

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: