Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

(2)

Определитель |A| матрицы А называется определителем системы (1).

Теорема Крамера. Если определитель |A| системы (1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.

(3)

Из формулы (2) следует, что если система (1) совместна, то она обладает единственным решением.

Формулы (2) называются формулами Крамера.

Непосредственной подстановкой значений , во все уравнения системы убедимся в том, что они образуют ее решение:

.

При , при , .

Таким образом, получим

.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Вычислим определитель :

,

,

,

откуда

Решение системы линейных уравнений с определителем |A|, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (1) в виде матричного уравнения

где .

Решение матричного уравнения (4) имеет вид

(5)

Пример. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Решение. Вычислим для матрицы

ее обратную матрицу

.

Определим неизвестную матрицу-столбец Х:

,

откуда

Формулы Крамера (3) могут быть получены из выражения (5). Действительно, запишем матричное равенство
в развернутом виде:

.

Из полученного выражения непосредственно следуют формулы Крамера:

.

Методы решения системы m линейных уравнений
с n неизвестными. Метод Гаусса

Рассмотрим решение системы m линейных уравнений с n переменными в общем виде:

(6)

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Предположим, что в системе (6) коэффициент при первой переменной x₁ в первом уравнении a₁₁≠0 ( если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что a₁₁≠0).

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на -a₂₁/a₁₁, - a₃₁/a₁₁,…., -a_m1/a₁₁) и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,….., m –му уравнению системы (1), исключим переменную x₁ из всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим:

(7)

Где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2. Предположим, что a⁽¹⁾₂₂≠0 ( если это не так, то соответствующей перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров добьемся того, чтобы a⁽¹⁾₂₂≠0).

Умножая второе уравнение на подходящие числа (-a⁽¹⁾₃₂/a⁽¹⁾₂₂, -a⁽¹⁾₄₂/a⁽¹⁾₂₂,…, -a⁽¹⁾_m2/a⁽¹⁾₂₂) и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,….., m- му уравнению системы, исключим переменную x₂ из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных x₃,x₄,…,x_r-1, после (r-1) –го шага получим систему

(8)

Число нуль в последних m-r уравнениях означает, что их левые части имеют вид 0*x₁+0*x₂+….+0*x_n. Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (6) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа в системе (8) равны нулю. В этом случае последние m-r уравнений в системе (8) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (6). Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы равно числу переменных, т.е. r=n (в этом случае система (8) имеет треугольный вид); б) r<n ( в этом случае система (8) имеет ступенчатый вид).

Переход системы (6) к равносильной ей системе (8) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (8) – обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу

, (9)

называемую расширенной матрицей системы (6) , ибо в нее, кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

Пример.

Решить систему уравнений:

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Шаг 1. Так как a₁₁≠0, то, умножая первую строку на число (-2) и прибавляя соответственно ко второй и третьей, четвертой строкам, исключим переменную x₁ из всех строк, начиная со второй. Заметив, что в новой матрице , поменяем местами вторую и третью строки:

.

Шаг 2. Так как теперь , то, умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную x₂ из всех строк, начиная с третьей:

Шаг 3. Учитывая, что , умножаем третью строку на 13,5/8=27/16 и, прибавляя полученную строку к четвертой, исключим из нее переменную x₃. Получим систему уравнений:

Откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x₄=-2; из третьего ; из второго и из первого уравнения

x₁=6+2x₄-3x₃-2x₂=6+2(-2)-3(-1)-2*2=1, т.е. решение системы (1;2;-1;2).

Пример2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы

.

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=-1, следовательно данная система несовместна.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: