Уравнение плоскости в отрезках

Пусть в уравнении плоскости Аx+Вy+Сz+D=0 ни один из коэффициентов A, B, C, D не равен нулю. Сделав следующие преобразования:

Аx+Вy+Сz=-D;

и вводя обозначения ; ; , получим

Это специальный вид уравнения плоскости, называемый уравнением плоскости "в отрезках". Здесь числа a, b, c имеют простой геометрический смысл, а именно a, b, c - это величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения плоскости с координатными осями. Точка пересечения плоскости с осью Ox определяется из уравнения этой плоскости при условии y=z=0. Отсюда х=а. Таким образом, величина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox, действительно равна а. Аналогично, отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Oy и Oz, имеют величины, равные соответственно b и c.

Пример. Составить уравнение плоскости, зная, что она отсекает на координатных осях отрезки a=3; b=-4; c=2.

Решение. На основании предыдущего получаем искомое уравнение сразу:

или 4x-3y+6z-12=0.

Нормальное уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости

Возьмем в пространстве XYZ некоторую плоскость П. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную плоскости П. Назовем эту прямую нормалью, - и отметим буквой Р точку пересечения нормали с плоскостью П. На нормали введем положительное направление от начала координат О к точке Р. Если точка Р совпадает с О, т.е. данная плоскость проходит через начало координат, то положительное направление нормали выберем произвольно. Обозначим через a, b, g углы, которые составляет направленная нормаль с осями координат, через р - длину отрезка ОР.

Мы выведем уравнение данной плоскости П, считая известными числа cos a, cos b, cos g и р. С этой целью возьмем на плоскости П произвольную точку М и обозначим через x, y, z ее координаты. Очевидно, проекция вектора на нормаль равна ОР, а так как направление отрезка положительное, то величина этого отрезка выражается положительным числом р:

пр_n =p (4)

Заметим, что ={x; y; z}, отсюда пр_n =xcosa + ycosb + zcosg (5)

Из равенств (4) и (5) следует, что x cosa + ycosb + zcosg = р или

x cosa + ycosb + zcosg - р=0. (6)

Это уравнение плоскости, оно носит специальное название: нормальное уравнение плоскости; в этом уравнении cosa, cosb, cosg суть направляющие косинусы нормали, р - расстояние плоскости от начала координат.

Пусть, как и ранее. n нормаль к произвольной плоскости П, М*- произвольная точка пространства, d- ее расстояние от данной плоскости (см. рис. 1).

Условимся называть отклонением точки М* от данной плоскости число +d, если М* лежит по ту сторону от плоскости, куда идет положительное направление нормали, -d, если М* лежит с другой стороны от данной плоскости. Отклонение точки от плоскости обозначим буквой d; таким образом, d=± d, причем полезно заметить, что d=+d, когда точка М* и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и d=-d, когда точка М* и начало координат лежат по одну сторону от плоскости (для точек, лежащих на плоскости, d=0).

Теорема. Если точка М* имеет координаты (x*; y*; z*), а плоскость задана нормальным уравнением x cosa + ycosb + zcosg - р=0, то отклонение точки М* от этой плоскости задается формулой

d= x* cosa + y*cosb + z*cosg - р. (7)

Доказательство. Спроектируем точку М* на нормаль; пусть Q - ее проекция (рис. 14); тогда

d=PQ=OQ - OP,

где PQ, OQ, OP - это величины направленных отрезков нормали: , и . Но OQ= , ОР=р; следовательно

d= - р (8)

Из ранее доказанного

=x* cosa + y*cosb + z*cosg (9)

Из равенств (8) и (9) получаем:

d=x* cosa + y*cosb + z*cosg - р.

Теорема доказана.

Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду. Пусть

Аx+Вy+Сz+D=0 (10)

- общее уравнение некоторой плоскости, а

x cosa + ycosb + zcosg - р=0

- ее нормальное уравнение. Так как уравнения (10) и (6) определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т.е.

mА=cosa, mВ=cosb, mС=cosg, mD= -р. (11)

Чтобы найти множитель m, возведем первые три из этих равенств в квадрат и сложим. Получим:

m²(А²+В²+С²)= cos²a + cos²b + cos²g.

Так как cos²a + cos²b + cos²g=1, то .

Число m называется нормирующим множителем. Для определения знака нормирующего множителя используем последнее из равенств (11): mD= -р. Следовательно, знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Если D=0, то знак нормирующего множителя можно выбирать по желанию.

Пример. Даны плоскость 12х-4y+3z+14=0 и точка М(1; 3; 4). Найти отклонение точки М от данной плоскости.

Решение. Приведем данное уравнение к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель: . Умножая данное уравнение на m, получим исходное нормальное уравнение плоскости: . Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М, имеем: . Итак, точка М имеет отрицательное отклонение от данной плоскости и удалена от нее на расстояние d=2.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: