Линейное уравнение первого порядка

Линейным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется уравнение вида

y' + p(x)y = f(x), (1)

которое при f(x)=0 называется однородным, а при f(x) ≠0 – неоднородным.

Для однородного линейного уравнения y′+ р(х)у=0 переменные разделяются, и, поделив это уравнение на у, мы можем при у≠0 переписать его в виде

. (2)

Интегрирование уравнения (2) приводит к равенству

, (3)

в котором С₁ обозначает произвольную положительную постоянную. Равенство (3) в свою очередь можно переписать в виде двух равенств

,

.

Из этих двух равенств вытекает, что

, (4)

, (5)

где С₁, как и выше, принимает любые положительные значения.

Равенства (4) и (5) можно объединить и записать в виде одного равенства

, (6)

в котором постоянная С≠ 0 принимает любые строго положительные и любые строго отрицательные значения. Функция (6)
с такой постоянной С является при у≠0 решением дифференциального уравнения (2), а потому и решением однородного линейного уравнения.

Остается заметить, что при получении уравнения (2) из указанного однородного линейного уравнения мы производили деление на у и вследствие этого потеряли решение у=0.

Учитывая, что потерянное решение у = 0 может быть включено в найденное нами семейство решений (6), если допустить, что постоянная С может быть равна нулю, мы окончательно получим, что общее решение однородного линейного уравнения
у' + p(x)y=0 определяется равенством (6), в котором С является совершенно произвольной постоянной.

Для отыскания решения неоднородного линейного уравнения (1) применим так называемый метод вариации постоянной, заключающийся в том, что решение неоднородного уравнения (1) ищется в том же виде (6), что и решение однородного уравнения, но при условии, что С является не постоянной величиной, а искомой функцией С(х). Фактически мы переходим в неоднородном уравнении (1) от искомой функции у(х) к новой искомой функции С(х) с помощью равенства

. (7)

Дифференцируя равенство (7), получим, что

, (8)

Подставляя у и у', определяемые равенствами (7) и (8), в уравнение (1), мы получим следующее уравнение:

для определения искомой функции С(х). Из этого уравнения заключаем, что

, (9)

где С — произвольная постоянная.

Подставляя найденное значение (9) функции С(х) в равенство (7), мы получим, что общее решение неоднородного уравнения (1) определяется равенством

, (10)

в котором С обозначает произвольную постоянную.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения (6) соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

,

получающегося из (10) при С = 0.

В качестве примера проинтегрируем неоднородное линейное уравнение .Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения , являющегося однородным линейным уравнением у'+р(х)у=0 с функцией . Общее решение этого уравнения, определяемое равенством (6), приводится к виду у = Сх, где С— произвольная постоянная. Теперь варьируем постоянную С и ищем решение неоднородного уравнения в виде у=С(x)x. Подставляя это значение у и значение производной у'=С'(х)х+С(x) в неоднородное уравнение, получим, что С'(х)х=х², откуда следует, что и потому , где С – произвольная постоянная.

Векторная алгебра

4.1. Понятие вектора и линейные операции
над векторами

Понятие вектора

Вектором будем называть направленный отрезок.

Обозначать вектор будем либо как направленный отрезок символом , где точки A и B обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо символом .

Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать символом модуля: или .

Вектор называется нулевым,если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Точка приложения вектора может быть выбрана производно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: