Определение скорости точки
при естественном способе задания ее движения
Пусть движение точки А по заданной траектории происходит со-
гласно уравнению S , требуется определить скорость точки в
момент времени t (рис. 6.8).
Рис. 6.8. Дуговая координата движения точки:
t положение точки А;
t t положение точки А1;
За время точка
За промежуток времени
t проходит путь L S S1 S.
точка прошла путь L ,
значение средней скорости на этом пути
,
но оно отличается от значения скорости в момент времени t. Ско- рость в заданный момент t
,
т. е. значение скорости точки, движение которой задано естествен- ным способом, в любой момент времени равно первой производной от расстояния (дуговой координаты) по времени.
Направление скорости, как отмечалось выше, известно заранее.
Определение ускорения точки
при естественном способе задания ее движения
Вектор a – ускорение точки в данный момент (рис. 6.9, а) – есть
геометрическая сумма касательного a и нормального an
ускорений:
Рис. 6.9. Нормальное (а) и касательное (б) ускорения точки
Вектор a в любой момент времени направлен по касательной (рис. 6.9, б), поэтому вектор a называется касательным, или тан- генциальным ускорением. Модуль касательного ускорения
a d f
dt
(t) ,
равный производной от скорости в данный момент по времени или, иначе, второй производной от расстояния по времени, характеризу- ет быстроту изменения значения скорости.
Доказано, что вектор an
в любой момент времени перпендикуля-
рен касательной, поэтому он называется нормальным ускорением:
an .
Значит, модуль нормального ускорения пропорционален второй степени модуля скорости в данный момент, обратно пропорциона- лен радиусу кривизны траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения направления скорости.
Модуль ускорения
a ,
а направление a (угол ) находим с помощью тригономет-
рических функций по одной из следующих формул:
sin
a
cos
a
tg
at
Если векторы и a направлены в одну и ту же сторону, то движение точки называется ускоренным. При этом значения и
a имеют одинаковые знаки (
или
). Если
же векторы и a направлены в противоположные стороны, то движение точки называется замедленным. В этом случае знаки и
a разные ( или ).
Частные случаи движения точки
1. Прямолинейное движение. Если an
, то точка движется
прямолинейно, так как при an
неизменным.
направление скорости остается
2. Равномерное движение.При a
равномерного движения
0, const
уравнение
S .
При начальном расстоянии S0
, т. е. точка в момент начала
движения находится в начале отсчета расстояний, уравнение рав- номерного движения упрощается: S t .
Если a
0 и an
0 , то движение точки называется равномер-
ным прямолинейным. Если a
0 и an
, то точка движется рав-
номерно по криволинейной траектории.
Равномерное движение точки по окружности
При таком движении (рис. 6.10) a
0 и an
, так
как при равномерном движении const , а при движении по
окружности ρ
. Из формулы
S S0
t скорость рав-
номерного движения по окружности
.
Рис. 6.10. Равномерное движение точки по окружности
Если принять t = Т – периоду, т. е. времени одного обхода точ-
кой окружности, то S и
или ,
T T
где d – диаметр окружности.
3. Равнопеременное движение. Если a
d const , то дви-
dt
жение точки называется равнопеременным.
Уравнение равнопеременного движения точки
S .
an и a
– скорость в любой момент времени.
.
А. При равнопеременном прямолинейном движении, если не из- вестно время t, получим первую вспомогательную формулу
S
Если не известно a :
S ,
где
движении.
– средняя скорость точки при ее равномерном
Б. Если равноускоренное движение точки начинается из начала
отсчета траектории (S0 = 0) и без начальной скорости ( предыдущие формулы приобретают более простой вид:
), то
a t2
S ;
S
Примерами такого движения могут служить движение автомоби- ля при трогании с места или движение самолета на взлетной полосе, а также известное из физики свободное падение тел.
В. При свободном падении
A a g
9,81 м с2 . В этом слу-
чае, если в формулах из пункта (Б) S заменить высотой падения Н, то формулы примут вид
gt 2
H ;
2
H
H t.
Предпоследняя из этих формул, представленная в виде
, называется формулой Галилея.
ГЛАВА 7. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Поступательное движение
Движение твердого тела, при котором любой выбранный в теле отрезок прямой перемещается, оставаясь параллельным своему пер- воначальному положению, называется поступательным.
Рассмотрим две точки А и В, соединенные отрезком АВ
(рис. 7.1). Очевидно, что при перемещении отрезка АВ параллельно
первоначальному положению ( AB || A1B1 || A2 B2 ) точки A и В дви-
жутся по одинаковым траекториям, т. е. если траекторию
BB1B2
совместить с траекторией
AA1 A2 , то они совпадут. Если вместе с
точкой A рассмотреть движение точки C, то при движении тела от- резок АС также остается параллельным своему первоначальному положению ( AC || A1C1 || A2C2 ) и траектория точки C (кривая
CC1C2 ) одинакова с траекториями AA1 A2 и BB1B2 :
, или , или ;
aA , или aA1 , или aA2 .
Рис. 7.1. К анализу поступательного движения твердого тела
Как видим, поступательное движение твердого тела полностью харак- теризуется движением любой его точки. Обычно поступательное движе- ние тела задается движением его центра тяжести, иначе говоря, при по- ступательном движении тело можно считать материальной точкой.
Примерами поступательного движения тел могут служить какой- либо ползун 1, движущийся в прямолинейных направляющих 2 (рис. 7.2, а), или прямолинейно движущийся автомобиль (вернее, не
весь автомобиль, а его шасси с кузовом). Иногда криволинейное дви- жение на поворотах дорог автомобилей или поездов условно прини- мают за поступательное. В подобных случаях говорят, что автомобиль или поезд движутся с такой-то скоростью или с таким-то ускорением.
Примерами криволинейного поступательного движения служат движение вагончика (люльки) подвесной канатной дороги (рис. 7.2, б) или движение спарника (рис. 7.2, в), соединяющего два параллельных кривошипа. В последнем случае каждая точка спар- ника движется по окружности.
Рис. 7.2. Примеры поступательного движения тел:
а – прямолинейного; б, в – криволинейного
7.2. Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение
Движение твердого тела, при котором все его точки перемеща- ются по окружности, центры которой расположены на перпендику- лярной этим окружностям неподвижной прямой, называется вра- щательным. Неподвижная прямая, на которой лежат центры кру- говых траекторий точек тела, называется его осью вращения. Для образования оси вращения достаточно закрепить какие-либо две точки тела. В качестве примеров вращательного движения тел мож- но привести движение дверей или створок окон при их открывании или закрывании.
Представим себе тело в виде цилиндра, ось AB которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).
Рис. 7.3. К анализу вращательного движения твердого тела
Движением одной какой-либо точки однозначно определить вращательное движение тела нельзя.
Для установления закона вращательного движения тела, по кото- рому можно определять его положение в данный момент, проведем через ось вращения тела связанную только с нею неподвижную по- луплоскость НП, а внутри тела отметим подвижную полуплоскость, которая вращается около оси вместе с телом, теперь угол φ, образу- емый в каждый данный момент времени полуплоскостями НП и ПП, точно определяет положение тела в пространстве (см. рис. 7.3). Угол φ называется углом поворота и выражается в радианах. Чтобы определять положение тела в пространстве в любой момент време- ни, необходимо знать зависимость между углом поворота φ и вре- менем t, т. е. знать закон вращательного движения тела:
φ
Быстрота изменения угла поворота во времени характеризуется величиной, которая называется угловой скоростью.
Представим, что в некоторый момент времени t положение вра- щающегося тела определяется углом поворота φ, а в момент t + Δt – углом поворота φ + Δ φ. Следовательно, за время Δt тело поверну- лось на угол Δ φ, и величина
ωср
называется средней угловой скоростью.
ω
Единицей угловой скорости является 1 рад/с. Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение,
обозначаемое ε . Среднее ускорение εср ;
ε .
Единица углового ускорения 1 рад/с2.
Условимся угол поворота, отсчитываемый против хода часовой стрелки, считать положительным, а отсчитываемый по ходу часо- вой стрелки – отрицательным.
Рис. 7.4. К определению вида вращательного движения
Векторы ω и ε – это скользящие векторы, которые направлены по оси вращения, чтобы, глядя из конца вектора ω (или ε ), видеть вращение, происходящее против часовой стрелки.
Если векторы ω и ε направлены в одну сторону (рис. 7.4, а), то
вращательное движение тела ускоренное – угловая скорость возрас- тает. Если векторы ω и ε направлены в противоположные сторо- ны, то вращение тела замедленное – угловая скорость уменьшается (рис. 7.4, б).
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|