Лекция 42. Линии второго порядка на проективной плоскости. Проективная классификация второго порядка.

Линией второго порядка на проективной плоскости называется геометрическое место точек проективной плоскости, однородные координаты которых удовлетворяют однородному уравнению второй степени
. (1)
Так как при переходе к другой системе старые координаты точки выражаются через новые координаты той же точки линейными однородными соотношениями с определителем из коэффициентов, отличным от нуля, то уравнение (1)
преобразуется снова в однородное уравнение второй степени.
Координаты собственных точек линии (1) удовлетворяют уравнению

, (2)
которое получается из уравнения (1) делением всех его членов на .
Множество всех собственных точек линии второго порядка на проективной плоскости в случае, если хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, есть множество всех точек одной из линий второго порядка (эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые и т.д.). Если , то хотя бы одно из чисел или не равно нулю, то множество собственных точек линии (1) состоит из точек прямой
.
Наконец, если в уравнении (1) все коэффициенты, кроме , равны нулю, то на линии (1) нет ни одной собственной точки; линия (1) в этом случае состоит из пары прямых, совпадающих с несобственной прямой.
Что касается несобственных точек, принадлежащих линии второго порядка, заданной уравнением (1), то для них , а координаты и этих точек определяются из уравнения
,
которое мы получим из уравнения (1), положив в нем . Но этому же уравнению удовлетворяют координаты векторов, имеющих асимптотическое направление относительно линии (2) (мы сейчас предполагаем, что хотя бы одно из чисел не равно нулю). Следовательно несобственные точки
линии второго порядка являются в то же время и несобственными точками тех прямых, которые имеют асимптотическое направление по отношению к данной линии (2). В частности, если совокупность собственных точек линии (1) второго порядка есть гипербола, то несобственные точки этой линии являются несобственными точками ее асимптот, а сами асимптоты касаются линии в этих несобственных точках.
Тип линии (1) определяется по типу линии (2). Таким образом, линию (1) мы будем называть линией эллиптического, гиперболического или параболического типа, если множество всех ее собственных точек является соответственно линией эллиптического, гиперболического или параболического типа, т.е. если уравнение (2) эллиптического, гиперболического или параболического типа.
Линии эллиптического типа, т.е. эллипс, мнимый эллипс, две мнимые пересекающиеся прямые, не имеют несобственных точек; линии гиперболического типа, т.е. гипербола, две пересекающиеся прямые, пересекаются с несобственной прямой в двух различных точках.
Линии параболического типа, т.е. парабола, пара параллельных прямых (действительных и мнимых), сдвоенная прямая, имеют только одну несобственную точку и в случае параболы линия касается в этой точке несобственной прямой.
На проективной плоскости, полученной из евклидовой плоскости пополнением несобственными элементами, линия второго порядка является одной из следующих линий.
1) Эллипс; у этой линии нет действительных несобственных точек.
2) Гипербола, дополненная двумя несобственными точками ее асимптот.
3) Парабола, дополненная несобственной точкой ее диаметров (имеющих асимптотическое направление).
4) Две пересекающиеся в собственной точке прямые, дополненные их несобственными точками.
5) Мнимый эллипс.
6) Две мнимые прямые, пересекающиеся в собственной точке.
7) Две параллельные прямые, дополненные их несобственной точкой.
8) Две мнимые параллельные прямые, дополненные общей действительной несобственной точкой.
9) Две совпадающие прямые, дополненные их несобственной точкой.
10) Две прямые, из которых одна собственная, а другая несобственная.
11) Дважды взятая несобственная прямая.

Проективная классификация линий второго порядка

Разобьем множество всех линий второго порядка, лежащих на проективной плоскости, на следующие пять классов.
I. Линии второго порядка, которые не распадаются на две прямые и содержат бесконечное множество действительных точек.
II. Линии второго порядка, не имеющие ни одной действительной точки.
III. Линии второго порядка, распадающиеся на две различные действительные прямые.
IV. Линии второго порядка, содержащие только одну действительную точку (две мнимые пересекающиеся прямые).
V. Линии второго порядка, вырождающиеся в сдвоенные прямые.
Определение. Две линии второго порядка принадлежат к одному и тому же
проективному классу, если существует проективное преобразование, переводящее одну из этих линий в другую. Если же не существует проективного преобразования, которое одну из линий переводит в другую, то эти линии второго порядка принадлежат к различным проективным классам.
Докажем, что указанное разделение линий второго порядка на пять классов и дает проективную классификацию этих линий.
Теорема. На проективной плоскости все линии второго порядка разделяются на пять проективных классов.
Следующие уравнения
, (I)
, (II)
, (III)
, (IV)
(V)
являются простейшими уравнениями линий второго порядка, принадлежащими соответственно к этим пяти проективным классам.
Доказательство. Как известно из высшей алгебры, квадратичную форму

невырожденным линейным преобразованием

можно привести к каноническому виду
,
где равны или .
Геометрически это и означает, что существует проективное преобразование, которое любую линию второго порядка, заданную уравнением
,
переводит в одну из следующих пяти линий:
, (I)
, (II)
, (III)
, (IV)
. (V)
Линия (I) является нераспадающейся действительной линией второго порядка, имеющей бесконечное множество действительных точек (овальная линия).
Линия (II) не содержит ни одной действительной точки.
Линия (III) распадается на две прямые:
.
Линия (IV) распадается на две мнимые прямые:
.
На этой линии имеется только одна действительная точка (0 : 0 : 1).
Линия (V) является двойной прямой.
Таким образом, линии (I) – (V) являются представителями указанных пяти классов.
Указанные в начале пункта признаки линий второго порядка, по которым мы провели их классификацию, таковы, что они различны и инвариантны по отношению к проективным преобразованиям. Значит, никаким проективным преобразованием линию, принадлежащую одному из этих классов, нельзя преобразовать в линию другого класса.
С другой стороны, так как всякую линию второго порядка можно проективно преобразовать в одну из линий (I) – (V), то две любые линии, входящие в один класс, могут быть преобразованы одна в другую некоторым проективным преобразованием. В самом деле, возьмём, например, две овальные линии и . Существует проективное преобразование , которое линию преобразует в линию (I), и существует проективное преобразование , которое линию преобразует в линию (I). Проективное преобразование линию преобразует в линию .
Аналогично доказывается, что две любые линии, принадлежащие к одному и тому же из остальных классов, также проективно эквивалентны.
Овальные линии, действительные и мнимые, называются невырождающимися или нераспадающимися. Все остальные линии распадаются на две прямые (действительные различные или мнимые, или совпадающие) и называются вырождающимися или распадающимися.
Для того чтобы линия второго порядка, заданная общим уравнением
,
распадалась, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратичной формы, входящий в левую часть уравнения этой линии, был равен нулю:
.
В самом деле, в этом и только в этом случае ранг матрицы квадратич-
ной формы равен 2 или 1, а значит, эта форма разлагается в произведение двух линейных форм.
Впрочем, условие сразу проверяется на простейших уравнениях (III), (IV), (V) распадающихся линий. При проективном преобразовании определитель получает множитель, равный квадрату определителя преобразования, и, значит, условия и (для линий (I) и (II) класса) инвариантны относительно проективного преобразования.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: