Лекция 26. Эллиптический параболоид, гиперболический параболоид и его прямолинейные образующие.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет
вид
, где . (1)
Будем считать, что . Если , то эллиптический параболоид (1) –
это параболоид вращения, так как получается вращением параболы
вокруг оси , являющейся осью параболы.
Ось является осью симметрии эллиптического параболоида (1) (она называется осью параболоида), а плоскости и – плоскостями симметрии (главные плоскости). Начало координат для эллиптического параболоида
(1) является точкой пересечения этой поверхности с ее осью и называется вершиной.
Плоскость пересекает эллиптический параболоид (1) по линии
, или . (2)
Если , то то первое уравнение не имеет действительных решений; это
означает, что плоскость при не пересекает эллиптический параболоид (1). Если , то , т.е. плоскость имеет с эллиптическим
параболоидом только одну общую точку – вершину . Если , то переписав уравнения (2) в виде , видим, что сече-
нием является эллипс с центром в точке и полуосями и
.
Плоскость пересекает эллиптический параболоид (1) по параболе
, а плоскость – по параболе .
Таким образом, числа и – параметры парабол, получающихся в сечении параболоида его плоскостями симметрии (рис.4).
Рассмотрим сечения эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости , т.е. плоскостями, выражаемыми уравнением .
Уравнения линии сечения: , или ,

или .

Рис. 4

Эти уравнения выражают параболу вершиной , ось которой выражается уравнениями и одинаково направлена с осью . Параметр
параболы равен , т.е. параметру главного сечения
эллиптического параболоида плоскостью .
Аналогичная картина получается и для сечений эллиптического параболоида
(1) плоскостями, параллельными плоскости .

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид
, где и . (3)
Для гиперболического параболоида плоскости и
являются плоскостями симметрии, а ось – осью симметрии.
Ось симметрии гиперболического параболоида называется просто его осью.
Точка, в которой ось гиперболического параболоида пересекает эту поверхность, называется вершиной. Гиперболический параболоид (3) имеет вершину в начале координат.
Плоскости и , являющиеся для гиперболического параболоида (3) плоскостями симметрии, называются главными плоскостями гиперболического параболоида.
Гиперболический параболоид в случае имеет только одну ось симметрии (ось ), если же , то параболоид имеет еще две оси
симметрии: и .
Плоскость пересекает гиперболический параболоид по двум прямым: , или и
.
Плоскость , параллельная плоскости , пересекает гиперболичес-
кий параболоид по параболе : .
Если , то эти уравнения можно переписать в виде , это гипербола, расположенная в плоскости с центром в точке , действительная ось которой параллельна оси
, а мнимая – параллельная оси .
Если , то уравнения линии сечения можно представить в виде
, это гипербола , расположенная в плоскости с центром в точке , действительная ось которой параллель
на оси , а мнимая – оси . Асимптоты всех гипербол, получающихся при пересечении гиперболического параболоида (3) плоскостями , параллельны прямым, по которым этот параболоид пересекается с плоскостью .
Плоскость пересекает гиперболический параболоид (1) по параболе : , а плоскость – по параболе .
Мы видим, что числа и являются параметрами парабол, получающихся
в сечении гиперболического параболоида (1) его главными плоскостями.
Рассмотрим сечения гиперболического параболоида (1) плоскостями, параллельными плоскости , т.е. плоскостями, выражаемыми уравнением .
Уравнения линии сечения имеют вид , или
. Эти уравнения выражают параболу с вершиной в
точке , ось которой выражается уравнениями , а направ-ление оси совпадает с положительным направлением оси . Параметр параболы равен , т.е. параметру главного сечения гиперболического параболоида плоскостью .
Аналогичная картина получается и для сечений гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости (рис. 5).

Рис. 5

Таким образом, гиперболический параболоид может быть образован параллельным переносом параболы , при котором вершина параболы перемещается по параболе ; плоскость параболы перпендикулярна плоскости параболы , а оси этих парабол параллельны и противоположно направлены
(рис.6).

Рис. 6

Теорема 1. Через каждую точку гиперболического параболоида , где и , проходят две и только две его прямолинейные образующие.
Множество образующих определяется уравнениями: и , где
и произвольные точки гиперболического параболоида.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: