Лекция 25. Однополостный гиперболоид и его прямолинейные образующие. Двуполостный гиперболоид.

Введение

Аналитическая геометрия, наряду с математическим анализом и алгеброй, - курс, с изучения которого начинается математическое образование студентов
математиков и механиков. Эти дисциплины составляют фундамент, на котором строится здание математической науки.

Курс аналитической геометрии рассчитан на два семестра. Его назначение - овладение студентами методом геометрических исследований, широко приме-

няемом в других областях естествознания.
Настоящий конспект содержит лекции второго семестра. В нем изложены
теория поверхностей второго порядка, включая их классификацию; линейные и аффинные преобразования; основы проективной геометрии.

Лекция 24. Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид
. (1)
Для эллипсоида (1) начало координат является его центром симметрии и называется центром эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и называются главными осями; плоскости координат являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями.
Вершинами трехосного эллипсоида называются точки пересечения эллипсоида с его главными осями. Трехосный эллипсоид имеет шесть вершин
.
Из уравнения (1) следует, что . Это означает, что эллипсоид (1) лежит внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами
. Каждая грань этого параллелепипеда имеет с эллипсоидом (1)
только одну общую точку – его вершину.
Плоскость пересекает эллипсоид (1) по линии, выраженной уравнениями , или эквивалентной системой
. (2)
Аналогично плоскость пересекает эллипсоид (1) по линии, уравнения которой
, (3)
а плоскость по линии
. (4)
Линии (2), (3), (4) суть эллипсы. Эти эллипсы, т.е. сечения эллипсоида (1)
его главными плоскостями, называются главными сечениями.
Рассмотрим сечения эллипсоида (1) плоскостями, параллельными какой-ни-
будь координатной плоскости, например плоскостями, параллельными плоскости , т.е. плоскостями, выражаемыми уравнением , где – произвольное действительное число.
Уравнения линии сечения имеют вид
, , или , ,
или , . (5)
Если , то первому уравнению этой системы не удовлетворяет ни одна
пара действительных чисел , т.е. система (5) не имеет действительных решений . Это означает, что плоскость при не пересекает эллипсоид (1).
При первое уравнение системы (5) имеет вид , откуда
. Наконец, если , то систему уравнений, выражающих линию сечения, можно переписать так:
.
Эти уравнения являются уравнениями эллипса, лежащего в плоскости сече-
ния ; центр этого эллипса – точка , оси симметрии параллельны осям и , а полуоси равны .

Рис. 1

Рассмотренные сечения дают представление о форме эллипсоида. Отметим, что эллипсоид (1) может быть получен из сферы , если произвести три равномерных сжатия:

к трем попарно перпендикулярным плоскостям и , проходящим через центр этой сферы.

Лекция 25. Однополостный гиперболоид и его прямолинейные образующие. Двуполостный гиперболоид.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид
.(1)
Для однополостного гиперболоида (1) начало координат является центром симметрии (центр), оси координат – осями симметрии (главные оси), а координатные плоскости – плоскостями симметрии (главные плоскости).
Если в уравнении (1) , то однополостный гиперболоид (1) называется однополостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.
Вершинами однополостного гиперболоида называются точки пересечения гиперболоида с его главными осями Гиперболоид (1) в случае имеет четыре вершины .
Плоскость пересекает однополосный гиперболоид (1) по эллипсу, выражаемому уравнениями , называемому горловым эллипсом однополостного гиперболоида (1). Плоскость пересекает однополостный гиперболоид (1) по гиперболе, выражаемой уравнениями , а
плоскость – по гиперболе, выражаемой уравнениями .
Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида (1) плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. плоскостями .
Уравнения линии сечения будут , ; эта система уравнений эквивалентна следующей: .
Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями
(2)
с центром на оси в точке и осями, параллельными соответственно
осям и . Из выражения (2) следует, что , т.е. горловой эллипс является наименьшим из всех эллипсов, по которым однополостный гиперболоид (1) рассекается плоскостями, параллельными плоскости .
Плоскость , параллельная плоскости , пересекает однополостный
гиперболоид (1) по линии, выражаемой уравнениями .
Если , то этими уравнениями определяется гипербола с центром в точке , лежащая в плоскости , действительная ось которой парал-
лельна оси , а мнимая – оси . Полуоси этой гиперболы:
( действительная полуось), (мнимая полуось).
Если , то уравнения линии сечения имеют вид .
Уравнения являются уравнениями двух пересекающихся прямых и :
– прямая ;
– прямая .
Аналогично, уравнения являются уравнениями двух
прямых:
и .
Если , то в сечении получается гипербола, уравнение которой
.

Действительная ось этой гиперболы параллельна оси , мнимая – оси ;
центр лежит в точке .
Асимптоты всех гипербол, получающихся при пересечении однополостного гиперболоида (1) плоскостями , параллельны прямым, получающимся при пересечении гиперболоида плоскостями .
Сечения плоскостями , параллельными плоскости , аналогичны
рассмотренным.
Все эти сечения дают представление о форме поверхности однополостного
гиперболоида (рис. 2).

Рис. 2

Определение. Прямая, все точки которой лежат на поверхности второго
порядка, называется прямолинейной образующей этой поверхности.
Теорема 1. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят
две и только две его прямолинейные образующие.
Множество образующих определяется уравнениями:
и ,
где – координаты точки горлового эллипса.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат имеет вид
. (3)
Начало координат является центром симметрии (центр) двуполостного гиперболоида, оси координат – осями симметрии (главные оси), координатные плоскости – плоскостями симметрии (главные плоскости).
Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки его пересечения с главной осью . Двуполостный гиперболоид (1) имеет две вершины .
Плоскости и пересекают двуполостный гиперболоид (3) по гиперболам и .
Сечение двуполостного гиперболоида плоскостью выражается уравнениями .
Если , то первое уравнение не имеет действительных решений – плоскость не пересекает поверхности.
Если , то , откуда , плоскости встречают поверхность двуполостного гиперболоида в его вершинах . Если
, то уравнения линии сечения можно переписать в виде
.
Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями , с центром в точке и осями, соответственно параллельными осям и .
Плоскость пересекает поверхность двуполостного гиперболоида по

линии, выражаемой уравнениями , или
,
т.е. по гиперболе с центром в точке , лежащей в плоскости . Действительная ось этой гиперболы параллельна оси , мнимая – оси .
Аналогично исследуются сечения поверхности плоскостями (рис.3).

Рис. 3

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: