Лекция 38. Проективная плоскость : Пополненная плоскость и связка.

Проективная плоскость

1. П е р в а я м о д е л ь п р о е к т и в н о й п л о с к о с т и.

Пусть дана плоскость и принадлежащая ей прямая. Присоединим к множеству точек прямой новый элемент. Получим новое множество, состоящее из точек рассматриваемой прямой и вновь присоединенного элемента. Это новое множество называется п р о е к т и в н о й п р я м о й , соответствующей взятой обыкновенной прямой. Элемент, вновь присоединенный к множеству точек обыкновенной прямой, называется н е с о б с т в е н н о й, или бесконечно удаленной, точкой проективной прямой.
Условимся в следующем: 1) если на плоскости взять две пересекающиеся прямые, то соответствующие им проективные прямые имеют различные несобственные точки; 2) если прямые параллельны, то условимся, что соответствующие проективные прямые имеют одну и ту же несобственную точку.
Совокупность всех несобственных точек, т.е. совокупность всех вновь присоединенных элементов, назовем несобственной, или бесконечно удаленной, проективной прямой.
Множество, состоящее из всех точек рассматриваемой евклидовой плоскости и всех несобственных точек, называется проективной плоскостью.
Точки и прямые евклидовой плоскости и самою евклидову плоскость будем называть обыкновенными точками, обыкновенными прямыми и обыкновенной
плоскостью. Обыкновенные точки, рассматриваемые как элементы множества, являющегося проективной прямой, или проективной плоскостью, будем называть собственными точками.
Все прямые проективной плоскости, кроме несобственной, будем называть собственными прямыми проективной плоскости. Будем говорить, что точка (как собственная, так и несобственная), которая принадлежит множеству, составляющему проективную прямую, лежит на этой прямой, или что проективная прямая проходит через эту точку.
Утверждение 1. Через любые две точки проективной плоскости проходит и притом только одна прямая.
Доказательство. 1) Если эти точки собственные, то существует и притом только одна обыкновенная прямая, проходящая через эти точки, которой соответствует вполне определенная проективная прямая, проходящая (по принятой нами терминалогии ) через две эти точки.
2) Если одна из точек собственная, а другая – несобственная, то из пучка обыкновенных параллельных прямых, к каждой из которых присоединена эта несобственная точка, нужно выбрать ту, которая проходит через данную собственную точку. Проективная прямая, которую мы получим, присоединив к ней данную несобственную точку, и будет той единственной собственной прямой,
которая проходит через две данные две точки.
3) Если, наконец, обе данные точки несобственные, то они, то они по определению лежат на единственной несобственной прямой.
Утверждение 2. Любые две различные прямые проективной плоскости имеют и притом только одну общую точку.
Доказательство. 1) Если обе прямые собственные, то они соответствуют двум различным обыкновенным прямым; если эти прямые пересекаются, то
данные проективные прямые имеют различные несобственные точки, значит, указанная выше обыкновенная точка пересечения является единственной точкой, общей для двух данных проективных прямых.
2) Если же обыкновенные прямые, которым соответствуют данные проективные прямые, параллельны, то данные проективные прямые по определению имеют общую им обеим несобственную точку, и эта точка является единственной точкой, общей для данных прямых.
3) Если одна из данных проективных прямых несобственная, а другая собственная, то единственной их общей точкой является несобственная точка данной собственной прямой.

2. В т о р а я м о д е л ь п р о е к т и в н о й п л о с к о с т и

Назовем проективной плоскостью собственную связку прямых и плоскостей трехмерного пространства с центром в точке . Каждую прямую связки будем называть “точкой” проективной плоскости, а каждую плоскость связки “прямой” проективной плоскости.
Ясно, что 1) через две любые “точки” проективной плоскости проходит и притом только одна “прямая” (это означает, что через две любые различные прямые связки проходит и притом только одна плоскость этой связки) и 2) две любые “прямые” проективной плоскости всегда пересекаются в одной “точке”
( т.е. две любые различные плоскости связки имеют и притом только одну общую прямую).
Между двумя построенными моделями проективных плоскостей можно установить взаимно однозначное соответствие, притом такое, что трем любым точкам одной модели, лежащим на одной прямой, будут во второй модели соответствовать три точки, лежащие также на одной прямой.
В самом деле, пусть – евклидова плоскость, пополнением которой несобственными точками получена проективная плоскость II (первая модель). Расположим плоскость так, чтобы она не проходила через центр связки прямых и плоскостей, и поставим в соответствие каждой прямой связки точку плоскости , в которой эта прямая пересекает плоскость , а каждой плоскости связки поставим в соответствие прямую, по которой эта плоскость пересекает плоскость .
Далее, прямой связки, параллельной плоскости , поставим в соответствие ту несобственную точку, которая присоединена к прямым плоскости , парал–
лельным рассматриваемой прямой связки и, наконец, плоскости связки, которая параллельна плоскости , поставим в соответствие несобственную прямую

плоскости II. Это соответствие удовлетворяет высказанным выше требованиям.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: