Лекция 41. Проективные преобразования плоскости. Группа аффинных преобразований плоскости как подгруппа группы проективных преобразований.

Проективным отображением проективной плоскости на проективную плоскость называется взаимно однозначное отображение плоскости
на плоскость , при котором три любые точки плоскости , принадлежащие одной прямой, переходят в три точки плоскости , также принадлежащие одной прямой.
Проективное отображение проективной плоскости на себя называется проективным преобразованием проективной плоскости.
Таким образом, определение проективного отображения плоскости наплоскость и определение проективного преобразования плоскости точно такие же, как и определения аффинного отображения и аффинного преобразования. Следует, однако, иметь в виду, что эти определения относятся к разным объектам: определение аффинного отображения и аффинного преобразования дается для евклидовой плоскости, а определение проективного отображения и проективного преобразования – для проективной плоскости. Этим и объясняется глубокое различие свойств аффинных и проективных отображений и преобразований.
Рассмотрим множество всех проективных преобразований проективной плоскости . Пусть и – два любых проективных преобразования плоскости . Произведение является взаимно однозначным преобразованием и переводит три любые точки плоскости , принадлежащие одной прямой, в три точки плоскости , также принадлежащие одной прямой.
Следовательно, – проективное преобразование. Преобразование , обратное преобразованию , – взаимно однозначно. Преобразование три любые точки плоскости , принадлежащие одной прямой, переводит в точки также принадлежащие одной прямой. В самом деле, предполагая, что точки принадлежат одной прямой и допуская, что их прообразы при преобразовании не лежат на одной прямой,
докажем, что при преобразовании все точки плоскости отображаются в точки прямой , а значит, – невзаимно однозначное преобразование.
Итак, – проективное преобразование. Таким образом, множество всех проективных преобразований проективной плоскости образует группу, называемую группой проективных преобразований проективной плоскости.
При проективном отображении проективной плоскости на проективную плоскость ( и при проективном преобразовании плоскости ) множество всех точек прямой отображается и притом взаимно однозначно на множество всех точек некоторой прямой (это следует из того, что – также проективное отображение плоскости на плоскость ).
Прямая называется образом прямой , а прямая прообразом прямой при преобразовании .
Множество всех проективных преобразований плоскости, каждое из которых отображает на себя какую-нибудь фиксированную прямую, образует подгруппу группы проективных преобразований. В самом деле, произведение
проективных преобразований, каждое из которых отображает прямую на себя, будет также отображать прямую на себя. Преобразование будет отображать прямую на себя, если преобразование отображает на себя.
В частности, если проективная плоскость задана в виде первой модели, то множество всех проективных преобразований плоскости, отображающих на себя несобственную прямую, будет подгруппой группы проективных преобразований плоскости.
Каждое из проективных преобразований подгруппы переводит собственные точки плоскости в собственные точки плоскости . В самом деле, если
бы какая-нибудь собственная точка плоскости каким-нибудь проективным преобразованием из переводилась в несобственную, то три точки и любые две несобственные точки переводились бы в три несобственные точки, а значит, при преобразовании, обратном рассматриваемому (также проективном),
три несобственные точки переходили бы в две несобственные и в одну собственную. Это невозможно, ибо три несобственные точки принадлежат одной прямой, а две несобственные и одна собственная не принадлежат одной прямой.
Из сказанного следует, что любое преобразование из порождает в плоскости , пополнением которой получается плоскость , аффинное преобразование. Группе всех проективных преобразований плоскости соответствует в указанном смысле группа всех аффинных преобразований плоскости .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: