Лекция 33. Аффинные преобразования плоскости и пространства; определение и основные свойства.

Линейное точечное преобразование пространства ( плоскости или прямой) называется аффинным, если оно взаимно однозначно.
Линейное точечное отображение плоскости на плоскость или прямой на прямую называется аффинным, если оно взаимно однозначно.
Линейное преобразование пространства будет взаимно однозначным, т.е. аффинным тогда и только тогда, когда при этом преобразовании какие-нибудь три некомпланарных вектора переходят снова в некомпланарные векторы.
Замечание. Если преобразование пространства аффинное, то оно любую тройку некомпланарных векторов переводит в некомпланарную тройку.
Аффинное отображение плоскости на плоскость ( и аффинное преобразование пространства) можно определить как такое взаимно однозначное отображение плоскости на плоскость , при котором три любые точки плоскости , принадлежащие одной прямой, отображаются в три точки плоскости , также принадлежащие одной прямой.
Теорема 1. При аффинном отображении плоскости на плоскость
множество всех точек произвольной прямой , лежащей на плоскость ,
отображается и притом взаимно однозначно на множество всех точек некоторой прямой , лежащей на плоскости .
Прямая называется образом прямой , а прямая – прообразом прямой
при аффинном отображении .
Теорема 2.При аффинном отображении плоскости на плоскость образы и параллельных прямых и суть параллельные прямые, а образы и пересекающихся прямых и суть пересекающиеся прямые; при этом точка пересечения прямых и является образом точки пересечения прямых и .
Теорема 3. При аффинном отображении плоскости на плоскость
середина произвольного отрезка переходит в середину отрезка
( и – образы точек и при отображении ).
Теорема 4. Если разделить отрезок на равных частей

то
где – образы точек при аффинном отображении плоскости на плоскость .
Из этой теоремы следует, что если точка делит направленный отрезок
в рациональном отношении , то образ точки при аффинном отображении плоскости на плоскость делит отрезок в том же отношении .
Теорема 5. (Дарбу)Рассмотрим аффинное отображение плоскости
на плоскость . Пусть – произвольный отрезок, лежащий на плоскости , а – какая-нибудь точка прямой . Тогда образ точки при отображении является внешней точкой для отрезка , где и –
образы точек и при отображении .
Теорема 6. При аффинном отображении плоскости на плоскость сохраняется простое отношение трех точек, принадлежащих одной прямой.
Таким образом, аффинное отображение является линейным.

Свойства аффинных преобразований и отображений

Теорема 7.Произведение двух аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование.
Доказательство. Пусть и – два аффинных преобразования. Рассмотрим три произвольные точки и , принадлежащие одной прямой, и пусть
– образы точек при аффинном преобразовании .
Так как точки принадлежат одной прямой, то существует такое число , что , но тогда в силу линейности отображения
, значит (в силу того, что также линейное преобразование)
. Таким образом, произведение есть линейное преобразование. К тому же оно и взаимно однозначно (ибо произведение двух любых взаимно однозначных преобразований есть взаимно однозначное преобразование), следовательно, – аффинное преобразование.
Теорема 8.Преобразование , обратное к аффинному преобразованию, также является аффинным.
Доказательство. Пусть – три произвольные точки, принадлежащие одной прямой и связанные соотношением ; докажем, что
тем же соотношением будут связаны их прообразы при аффинном преобразовании .
В самом деле, пусть и – прообразы точек и . Построим точку ,
такую, что . Пусть – образ точки при аффинном преобразовании . Тогда . Значит, , т.е. точка совпадает с точкой , поэтому – прообраз . Кроме того, ясно, что взаимно однозначное преобразование (так как преобразование, обратное любому взаимно однозначному преобразованию, снова взаимно однозначно).
Следствие. Из теорем 7 и 8 следует, что множество всех аффинных преобразований пространства образует группу.
Точно так же доказывается, что множество всех аффинных преобразований плоскости образует группу так же, как и множество всех аффинных преобразо

ваний прямой образует группу.
Теорема 9. При аффинном преобразовании пространства
1) две параллельные плоскости переходят в две параллельные плоскости:
2) две пересекающиеся плоскости и переходят в две пересекающиеся плоскости и ; образом прямой , по которой пересекаются плоскости и , является прямая пересечения плоскостей и ; при этом отображение прямой на прямую – аффинное;
3) две параллельные прямые переходят в две параллельные прямые;
4) две пересекающиеся прямые и переходят в две пересекающиеся прямые и , причем образом точки пересечения прямых и является точка пересечения прямых и ;
5) две скрещивающиеся прямые переходят в две скрещивающиеся прямые;
6) если прямая параллельна плоскости , то и прямая , являющаяся образом прямой , параллельна плоскости , в которую переходит плоскость
при данном аффинном преобразовании;
7) если прямая и плоскость пересекаются, то пересекаются прямая и плоскость , являющиеся их образами, причем точка пересечения является образом точки пересечения прямой и плоскости .
Теорема 10.Существует и притом только одно аффинное преобразование пространства, которое любые четыре точки , не лежащие в одной плоскости, переводит в произвольные четыре точки , также не лежащие в одной плоскости.
Следствие. Аффинное преобразование пространства, которое оставляет неподвижными четыре точки, не лежащие в одной плоскости, есть тождественное преобразование.
Замечание. Аффинное отображение плоскости на плоскость или аффинное преобразование плоскости определяется и притом однозначно соответствием двух неколлинеарных троек точек.
Аффинное отображение прямой на прямую или аффинное преобразование прямой определяется и притом однозначно заданием двух пар соответственных точек.
Аффинные преобразования в координатах

Пусть даны два аффинных преобразования пространства и относительно общей декартовой системы координат:
( )

и
. ( )
Преобразование переводит точку в точку , определяемую формулами ( ), а преобразование точку переводит в точку с координатами

Значит, мы получим преобразование в координатах, если в последние формулы вместо подставим их выражения из формул ; сделав это, получим

Отметим, что матрица преобразования равна произведению матрицы преобразования на матрицу преобразования : .
Отсюда , и так как и , то и . Мы еще раз доказали теорему о том, что произведение двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование.
Заменяя в соотношениях соответственно на , а
соответственно на и разрешая затем полученные соотношения относительно , получим формулы, дающие в координатах преобразование , обратное :
(1)
Матрица этого линейного преобразования есть матрица, обратная

для матрицы аффинного преобразования и поэтому .
Следовательно, формулами (1) дается аффинное преобразование.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: