Методы решения задач многокритериальной оценки эффективности деятельности дорожных организаций

Как показал анализ литературных источников [8, 13, 14, 17, 18, 23, 29, 30], для решения многокритериальных задач могут использо-ваться различные методы, которые достаточно подробно описаны в экономической литературе [23]. Несмотря на ряд отличительных осо-бенностей все они предполагают сведение многокритериальных задач математического программирования к однокритериальным, т.е. прин-ципиально не меняют методологию решения оптимизационных задач. Наиболее часто применяемые в экономической практике методы мно-гокритериального решения задач сведены в табл. 5.

Метод ведущего критерия. Реализация метода ведущегокритерия осуществляется по следующему алгоритму.

1. Осуществляется решение задачи линейного программирова-ния по каждому критерию в отдельности, в ходе которого в зависимо-сти от вида критерия устанавливается максимальное или минималь-ное его значение, а также возможные варианты решений.

2. Производится выбор наиболее важного критерия для оценки деятельности предприятия с точки зрения лица, принимающего реше-ние (ЛПР).

3. Осуществляется трансформация всех остальных критериев в целевые ограничения, в ходе которой устанавливаются предельно допустимые по условию решения задач нижние границы для критери-ев, максимизирующих целевую функцию, и предельно допустимые верхние границы для критериев, ее минимизирующих.

4. Производится решение задачи линейного программирования с одним главным критерием и системой ограничений, включающей в себя наряду с ресурсными и целевые ограничения.

Для количественной иллюстрации вычислительной процедуры данного метода (также как и всех последующих) рассмотрим следую-щий конкретный пример.

Допустим, некоторая мосторемонтная организация может полу-чить контракты на выполнение двух видов мостовых работ: по со-держанию и ремонту искусственных сооружений. Дефицитными ре-сурсами для этой организации являются только квалифицированные специалисты и специальные машины и оборудование для обследо-вания и ремонта мостов. Эффективность деятельности данной орга-

низации оценивается ее администрацией по трем критериям: прибы-ли F₁, уровню накладных расходов F₃ и уровню снижения себестои-мости работ F₂.

Требуется определить, при каких соотношениях в объемах работ по содержанию и ремонту мостовых сооружений прибыль предпри-ятия и уровень снижения себестоимости выполняемых им работ будут максимальными, а показатели накладных расходов будут иметь наи-меньшие значения.

Исходные данные для решения задач приведены в табл. 6. Таблица 6

Граничные условия для неизвестных:

V1max≥ Х1≥ V1min, V2max≥ Х2≥ V2min, (3.6)

где Х₁ – искомый объем работ по содержанию мостов; Х₂ – искомый объем работ по ремонту мостов; П₁, П₂ – удельная рентабельность работ по содержанию и ремонту мостов; ₁, ₂ – удельное снижение себестоимости работ по содержанию и ремонту мостов; n₁, n₂ – удельные накладные расходы на единицу измерения работ по содер-жанию и ремонту мостов; l₁, l₂ – удельная потребность в трудовых ре-сурсах для выполнения работ соответственно по содержанию и ре-монту мостов; m₁, m₂ – удельная потребность в машинах и механиз-мах для выполнения работ по содержанию и ремонту мостов; L, M – наличие соответственно дефицитных трудовых ресурсов, а также ма-шин и оборудования, которые могут быть использованы при произ-водстве работ по содержанию и ремонту мостов; V_1min, V_2min – мини-мальные объемы работ по содержанию и ремонту мостов, которые дорожной организации целесообразно выполнять по экономическим соображениям; V_1max, V_2max – максимальные объемы работ по содер-

жанию и ремонту мостов, которые дорожной организации целесооб-разно выполнять по экономическим соображениям.

В соответствии с вышеописанным алгоритмом сначала решаем задачу оптимизации выполняемых объемов работ для каждого крите-рия в отдельности. В результате решения с помощью подпрограммы «Поиск решения» в Microsoft Excel получаем следующие результаты:

Далее, предположим, что для руководства дорожной организа-ции наиболее важным критерием деятельности является величина получаемой прибыли. Это означает, что второй и третий критерии по данному методу расчета многокритериальной задачи должны быть переведены в ограничения. Для этого, в первую очередь, необходимо установить допустимые границы снижения себестоимости, а также уровень накладных расходов выполняемых работ по содержанию и ремонту мостов.

Допустим, что эти границы по заключению аналитического отде-ла предприятия приняты в следующих пределах: F₂ = 9, F₃ = 30.

Тогда, решая однокритериальную задачу линейного программи-рования с критерием F₁ и дополнительно введенными целевыми ог-раничениями:

F₂=₁Х₁+₂Х₂≥ 9, F₃= n₁Х₁+ n₂Х₂≤ 30,

получаем следующие окончательные результаты:

Х₁= 8,4; Х₂= 2,3; F_1max= 59.

Метод последовательных уступок. В этом методе предпо-

лагается предварительное определение степени значимости рас-сматриваемых критериев многоцелевой задачи. При этом с учетом то-го, что критерии могут иметь различную направленность достижения цели (максимизацию или минимизацию желаемого результата), все они приводятся либо к максимизации, либо к минимизации целевой функции. Для этого используются следующие их трансформации:

maxF = –min(–F) или minF = –max(–F).

После этого предусматривается следующая вычислительная процедура.

1. Все критерии ранжируются по степени значимости, начиная с самого важного: F₁ → F₂ → … → F_k, где k – количество рассматривае-мых критериев.

2. Решается однокритериальная задача оптимизации по первому (наиболее значимому) критерию и устанавливаются значения искомых

переменных без учета всех остальных критериев. При этом находится его максимальное значение F_1max.

3. Лицо, принимающее решение, устанавливает возможное (по условиям реализации поставленной задачи) снижение (увеличение)

F₁полученного значения первого критерия F_1max,которое принято на-

зывать «величиной допустимой уступки», и переводит данный крите-рий в целевое ограничение: F₁ ≥ F_1max – F₁.

Осуществляется решение однокритериальной оптимизационной задачи по второму по значимости критерию с учетом прежних ресурс-ных ограничений и целевого ограничения, трансформированного из первого критерия.

4. Устанавливается допустимая величина уступки по второму критерию, а затем с учетом его перевода в целевое ограничение ре-шается задача оптимизации по следующему критерию.

Описанная выше процедура используется таким же образом и для всех оставшихся критериев в многоцелевой задаче.

Рассмотрим применение этого метода в условиях нашего примера. Предположим, что на основе данных аналитического отдела ру-ководитель дорожной организации принял решение, что принятые критерии оценки эффективности деятельности дорожной организации F₁, F₂и F₃должны быть расположены по степени значимости в таком

порядке: F₁ → F₂ → F₃.

С учетом данного решения экономико-математическая модель задачи оптимизации деятельности предприятия по первому критерию будет иметь следующий вид:

Целевая функция

F₁=П₁Х₁+П₂Х₂→max.

Ограничения по ресурсам:

3,0Х₁ + 2,5Х₂ ≤ 31, 1,8Х₁ + 3,3Х₂ ≤ 30.

Граничные условия для неизвестных:

Х₁≥ 3,2; Х₂≥ 2,1.

Реализация этой модели, как уже известно из ранее выполнен-ных расчетов, дает следующие значения искомых переменных: Х₁ = = 5,1; Х₂ = 6,3; F_1max = 65.

Теперь допустим, что руководство дорожной организации счита-ет возможным сделать уступку по данному критерию, равную F₁ = 5. Тогда для решения задачи оптимизации по второму критерию

F₂=₁Х₁+₂Х₂→max

мы должны в состав экономико-математической модели ввести до-полнительно следующее целевое ограничение:

П₁Х₁ + П₂Х₂ ≥ F_1max – F₁ = 60.

В результате реализации данной модели получаем следующие значения минимальной величины второго критерия и искомых пере-

менных: Х₁ = 7,7; Х₂ = 3,1; F_1max = 10.

Далее принимается решение о величине уступки по второму критерию в размере F₂ = 3. Переводя этот критерий в ограничение

₁Х₁+₂Х₂≥ F_2max– F₁= 7,

решаем оптимизационную задачу относительно третьего критерия

F₃= n₁Х₁+ n₂Х₂→min.

В результате получаем: Х₁ = 7,7; Х₂ = 3,1; F_3min = 32.

Метод минимакса. Этот метод предусматривает следующую по-следовательность расчетов по нахождению компромиссного решения:

1) сначала поставленная задача решается методами линейного программирования по каждому критерию оптимальности в отдельно-сти с целью нахождения их экстремальных значений F_jext (j = 1, 2, 3) (максимального для критериев F₁ и F₂ и минимального для критерия F₃)и определения искомых значений переменных Х_i (i = 1, 2);

2) далее для поиска компромиссного решения Х*_i вводится до-полнительная переменная Y_j, характеризующая величину относитель-ного отклонения каждого критерия оптимальности F*_j (в компромисс-ном решении) от его соответствующего экстремального значения:

3) затем на основании поиска минимального значения среди максимальных относительных отклонений критериев оптимальности от их оптимальных значений устанавливается компромиссное реше-ние. Для его определения формируется новая экономико-математи-ческая модель задачи, которая содержит требование минимизации переменной Y (Y = max {Y₁, Y₂, Y₃}. Эта модель записывается сле-дующим образом

Целевая функция

Апробируем рассмотренный метод в условиях нашего примера. Решая данную задачу по каждому критерию в отдельности, как и

при использовании первого метода, получаем следующие результаты (табл. 7).

Таблица 7 Результаты решения задачи по альтернативным критериям

Для поиска компромиссного решения используем модель мини-макса, которая имеет следующий вид:

Минимизировать Y при ограничениях:

5,3Х₁ + 6,1Х₂ + Y65 ≥ 65,

0,9Х₁ + 0,85Х₂ + Y10 ≥ 10,

2,4Х₁ + 4,3Х₂ – Y17 ≤ 17, 3,0Х₁ + 2,5Х₂ ≤ 31, 1,8Х₁ + 3,3Х₂ ≤ 30,

Х₁≥ 3,2; Х₂≥2,1.

Реализуя эту однокритериальную модель, получаем следующее компромиссное решение: Х*₁ = 5,8; Х*₂ = 2,1; при этом минимальное значение максимального относительного отклонения Y составляет 0,344. В найденном решении оценки принятых критериев оптимально-сти составляют следующие значения: F₁* = 65,0; F₂* = 10,4; F₃* = 17.

Метод свертывания критериев. Данный метод предусмат-

ривает сведение всего множества критериев оценки эффективности деятельности предприятия к одному глобальному, что в свою очередь предполагает их суммирование с учетом коэффициентов значимости (веса), которые устанавливаются лицом, принимающим решение.

Обычно коэффициент значимости критерия _i устанавливается в

пределах от 0 до 1. При этом сумма всех коэффициентов значимости

должна обязательно равняться единице:

₁ + ₂ + … + _i + … + (3.10)

где n – количество рассматриваемых критериев, i – порядковый номер критерия.

Поскольку разные критерии могут иметь и разную размерность (например, одни из них имеют физические единицы измерения, а дру-гие – стоимостные), то при определении степени их относительной важности необходимо приведение всех критериев к сопоставимому виду. Для этого производится нормирование критериев, которое осу-ществляется в следующем порядке. Сначала определяются макси-мальное (F_imax) и минимальное (F_imin) значение каждого критерия на области допустимых значений. Далее в зависимости от того, какое на-правление к цели определяет глобальный критерий, устанавливается нормированное значение каждого частного критерия F_i^*. Если гло-бальный критерий предусматривает максимизацию выражающего

цель результата, то для нормирования частных критериев использу-ется формула

В случае, если глобальный критерий предусматривает миними-зацию выражающего цель результата, то для их нормирования ис-пользуется формула

После выполнения процедуры нормирования глобальный крите-рий трансформируется в следующий вид:

Рассмотрим описанный метод свертки критериев применительно к нашему примеру.

Предположим, что руководители дорожной организации при-своили рассматриваемым трем критериям следующие веса: ₁ = 0,5; ₂ = 0,3; ₃ = 0,2. Таким образом, условие (3.10) выполняется, так как

₁ + ₂ + ₃ = 1.

Далее произведем нормирование критериев оптимальности. Для этого сначала определим максимальные и минимальные их значения, решая три следующие однокритериальные задачи линейного про-граммирования:

F₁= 5,3Х₁+ 6,1Х₂→max (min), F₂= 0,90Х₁+ 0,85Х₂→max (min), F₃= 2,4Х₁+ 4,3Х₂→min (max).

Результаты решения этих задач представлены в табл. 8. Таблица 8

Максимальные и минимальные значения критериев многоцелевой задачи

На основе представленных данных осуществляем нормирова-ние критериев:

После этого с учетом условия (3.13) производим свертку частных критериев в один глобальный критерий:

Используя этот критерий, записываем однокритериальную мо-дель оптимизации деятельности предприятия:

F^*= 0,486Х₁+ 0,116Х₂–0,768→max,3,0Х₁ + 2,5Х₂ ≤ 31, 1,8Х₁ + 3,3Х₂ ≤ 30,

Х₁≥ 3,2; Х₂≥ 2,1,

и в результате ее реализации в системе электронных таблиц Microsoft Excel получаем следующее решение задачи:

Х₁= 8,6; Х₂= 2,1; F^*= 3,65.

Полученное оптимальное решение задачи линейного програм-мирования с глобальным нормированным критерием является также и компромиссным решением исходной многокритериальной задачи. Значения частных критериев в найденном компромиссном решении составляют:

F₁= 5,3·8,6 + 6,1·2,1 = 58,4;

F₂= 0,9·8,6 + 0,85·2,1 = 9,5;

F₃= 2,4·8,6 + 4,3·2,1 = 29,7.

Контрольные вопросы

1. Дайте характеристику управленческому анализу деятельности дорожной организации.

2. Опишите систему показателей комплексной оценки эффек-тивности деятельности дорожных организаций.

3. Опишите принципиальную схему определения оптимальной стратегии повышения эффективности деятельности дорожной орга-низации.

4. Какие имеются предпосылки для многокритериальной оценки эффективности деятельности дорожных организаций в рыночной сис-теме хозяйствования?

5. Какие могут быть постановки задач многокритериальной оцен-ки эффективности деятельности дорожных организаций?

6. Дайте краткую характеристику возможным методам решения задач многокритериальной оценки деятельности дорожных организаций.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: