Тема: вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
¾случай регулярной прецессии
Конус 1 с углом 2a при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2b при вершине в направлении, указанном стрелкой. Высота конуса OC = h. вращательное ускорение центра С основания конуса.
Определить: 1. Угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость .
2. Угловое ускорение конуса .
3. Скорости точек А и В¾ , .
4. Ускорения точек А, В, С¾ , , (найти осе стремительное ¾ и вращательное ¾ ускорения точки С).
Решение:Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.
1. Угол нутации:
2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, ¾ окружность, плоскость которой перпендикулярна оси ОY ¾ оси прецессии и центр которой лежит на этой оси.
Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку
,
где ¾ кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси
м, то
1/с = const.
Учитывая заданное направление вектора , , отложим от точки О вдоль мгновенной оси = ОА вектор так, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой оси ¾ в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки.
С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то
,
где ¾ кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY равно
м.
3.Отсюда находим модуль угловой скорости прецессии :
[ 1/с]
Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае ¾ против часовой стрелки, поэтому ¯OY ¾ оси прецессии.
Рис.4.4
4.Векторное равенство , где линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно: ( ); линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора OY является ось прецессии OY, линией действия вектора является ось ротации Oy. Таким образом, модуль угловой скорости ротации равен
1/с = const.
5. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор OZ, так какс конца оси OZ поворот вектора к вектору кажется против хода часовой стрелки; модуль углового ускорения определяется как
1/с2 .
6. Скорости точек конуса 1:
Скорость точки А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1.
Скорость точки В
, где м,
м/с и вектор .
7. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.
Для точки А конуса 1
Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону .
Таким образом, м/с2.
Для точки В конуса1
Вектор направлен от точки B к мгновенной оси вращения конуса 1.
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB против .
Вектор направлен от точки B к мгновенной оси вращения конуса 1.
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону .
Полное ускорение точки B найдем через его проекции на оси дополнительной системы координат Bx1y1 , лежащей в плоскости (BOA), как :
м/с2.
Для точки С конуса1
а)
Направление вектора указано в условии (лежит в плоскости (ВОА), перпендикулярен ОС, направлен в сторону ).
Вектор направлен из точки С к оси .
Значение результирующего вектора получим при помощи теоремы косинусов:
Ответ:
1. Угол нутации q=p/2; угловая скорость нутации =0;
прецессии = 1/с; ротации рад/с; мгновенная угловая скорость = рад/с
2. Угловое ускорение конуса рад/с2
3. Скорости точек А и В¾ = 0; =4[м/с].
4. Ускорения точек А, В, С¾ = 11,56 [м/с2 ];
= 35,44 [м/с2 ];
= 15,33 [м/с2 ].
5. Осестремительное ускорение точки С¾ = 11,6 м/с2 .
6. Вращательное ускорение точки С ¾ = 5,78 м/с2 .
Г л а в а 5
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 2 - ТЕМА:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|