Число степеней свободы механической системы

Таким образом, обобщенные координаты q₁, q₂,…,q_i ,…,q_s

обладают следующими свойствами: они

1) вещественны, т.е. не могут принимать комплексных значений;

2) независимы друг от друга;

3) имеют самостоятельный геометрический смысл – это значит, что эти переменные определяют положение системы, т.е. значения декартовых координат ее точек до написания (и тем более до интегрирования) уравнений движения.

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями.

На практике при выборе обобщенных координат q_i, как правило, нет необходимости в выписывании явных выражений для функций q_k (t, X_j).

Например, если точка находится на поверхности сферы с радиусом

r = r (t), то в качестве обобщенных координат q_i ( i = 1,2,3), можно принять углы Эйлера: y- угол прецессии, q - угол нутации, j - угол ротации (или собственного вращения) сферической системы координат.

Обобщенные координаты могут быть выбраны удачно – решение конкретной задачи благодаря такому выбору может быть получено проще и форма его может быть более наглядной. В иных случаях выбор координат q_i не будет таким удачным. Общего правила, как выбирать обобщенные координаты, не существует. Можно высказать лишь некоторые наводящие соображения, связанные со структурой системы и с характером силовых полей. Главное здесь – это личный опыт, приобретаемый при решении задач.

В качестве обобщенных координат могут приниматься не только линейные (отрезки прямых), но и угловые (дуги, углы) перемещения, а также любые другие параметры, удовлетворяющие определению обобщенных координат. Отметим, что для одной и той же механической системы может быть несколько вариантов обобщенных координат. Конкретный выбор обобщенных координат определяется поставленной задачей.

Пример 2.8, Все декартовы координаты точек выразить через обобщенные координаты. Так, положение кривошипно-ползунного механизма, показанного на рис.2.6, определяется двумя его точками А и В. Из четырех декартовых координат

Рис.2.6( x_А ,y_А , x_В , y_В) независимой будет только одна, так как число h голономных удерживающих связей равно трем (h = 3):

¾длина кривошипа ОА = l₁= const,

¾длина шатуна АВ = l₂ = const,

¾ координата y_B =0.

Если за независимую декартову координату принять x_А, а за обобщенную ¾ угол j (q = j) поворота кривошипа (1) против часовой стрелки, то x_А= l₁ cosj. Другие декартовы координаты точек системы определим с помощью уравнений связей. Из уравнения

x_А ² + y_А ² – l₁ ² = 0 находим y_А = l₁ sin j. Ордината y_B =0.

Из условия (x_В -x_А ) ² + y_А² - l₂ ² = 0 получаем

x_В ²=2 l₁ x_В cosj + l₂ ²– l₁². Если l₂= l₁, то x_В=2 l₁ cosj.

Таким образом, все декартовы координаты точек системы выражены через угол j, принятый за обобщенную координату q =j.

Пример 2.9. Выразить виртуальные перемещения точек А и В стержня (рис.2.7) через его обобщенную координату.

Решение. Положение стержня в плоскости xOy определяется четырьмя декартовыми координатами точек А и В.Уравнения голономных стационарных удерживающих связей, наложенных на стержень, имеют вид x_В=0; ,y_А=0; x_А ² + y_В² – l ² = 0,

Рис. 2.7 где l = АВ.

Число степеней свободы s = 1, и в качестве обобщенной

координаты можно выбрать угол q = j, который стержень образует с осью Ox.

Радиус-вектор точки А равен Так как x_А= l cos j, то

Аналогично радиус-вектор точки В равен y_А= l sinj, то

Примеры определения числа степеней свободы

В различных случаях

1.Система, состоящая из двух материальных точек, соединенных между собой стержнем, имеет пять степеней свободы. Как известно, положение двух точек определяется шестью координатами ( x₁, y₁, z₁), ( x₂, y₂, z₂), между которыми существует одно соотношение – уравнение связи

( x_{1 -} x₂ )² + ( y_{1 -} y₂ )² + ( z_{1 -} z₂ )² = L² ,

выражающее условие постоянства квадрата расстояния между ними. Следовательно, здесь

n = 2, h = 1 и по формуле s = 3n – h = 3 · 2 – 1 = 5.

Для материальной точки, движущейся по поверхности, s = 2, а материальная точка, движущаяся по линии, имеет одну степень свободы. Действительно, линия в пространстве описывается двумя уравнениями, т.е. h = 2 и s = 3n – h = 3 · 1 – 2 = 1.

3. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, ибо оно обладает независимыми друг от друга возможными поступательными перемещениями по трем взаимно перпендикулярным осям и тремя независимыми друг от друга возможными поворотами вокруг трех взаимно перпендикулярных осей.

4. Твердое тело, имеющее одну закрепленную точку, обладает тремя степенями свободы.

Твердое тело с двумя неподвижными точками имеет одно возможное перемещение – поворот вокруг оси, проходящей через эти точки, т.е. одну степень свободы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: