Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы

В тех случаях, когда угловая скорость вращения в одном направлении значительно больше угловых скоростей вращения в двух других направлениях ( генераторы, моторы, турбины, гироскопы), для определения положения тела в качестве трех независимых параметра выбирают три угла Эйлера: угол прецессии ¾y,угол нутации ¾ q, иугол ротации ( собственного вращения) ¾j. Название этих углов заимствованы из астрономии.

Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О. Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат 0XYZ, относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат 0xyz, которая движется относительно первой (рис.3.5). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее начало O, а углы, образуемые осями 0xyz с осями 0XYZ, изменяются, т.е. система 0XYZ

поворачивается вместе с твердым телом вокруг неподвижной точки 0 (рис.3.5).

На рис.3.5 видно, что плоскость 0XY (изображена в виде заштрихованного овала) пересекает плоскость 0xy (изображена белым овалом) по некоторой прямой 0z⁽¹⁾ =0z⁽²⁾ = OE, образующей угол y с неподвижной осью 0Z и угол j с подвижной осью 0z, которая называется линией узлов 0Е с единичным ортом . Кроме того, плоскость 0xy образует с плоскостью 0XY угол q, равный углу между осями 0Y и 0y.

Рис.3.5,а

Неподвижная ось ОY, вокруг которойповорачивается твердое тело на угол прецессииy, называется осью прецессии с единичным ортом ¾ .

Изменение угла нутацииq сопровождается вращением твердого тела вокруг линии узлов 0z⁽¹⁾ =0z⁽²⁾ = OE, называемой осью нутации.

Наконец, угол ротации (собственного вращения)¾ j характеризует вращение тела вокруг оси Oy=Oy⁽²⁾, называемой осью ротации (собственного вращения) с единичным ортом .

Рис. 3.5,б

На рис 3.5,а-3.5,б показаны все углы положительными, т.е. против хода часовой стрелки, если смотреть на поворот тела с положительных направлений осей вращения OY, OE и Oy соответственно.

Если заданы уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки О, а именно: угол прецессии¾ = ,уголнутации¾ = иуголротации (собственного вращения )¾ = ,тоположение твердого тела полностью определяется положением подвижной связанной с твердым телом системы координат 0xyz относительно неподвижной системы координат 0XYZ для любого момента времени..

Формулы преобразования координат.

Поворотные матрицы

Для любой точки М тела с координатами x, y, z ¾в подвижной системе координат Оxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y ,Z ¾в неподвижной системе координат 0XYZ в соответствии с (3.10), взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат [X]_Н и [x]_П имеет вид:

(3.14)

или в матричном виде

или (3.15)

где = , = ,

= ¾ углы Эйлера ;

Рис.3.6 ¾ матрица,

транспонированная к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом [X]_Н )к осям подвижной системы Оxyz (с базисом [x]_П), неизменно связанной с телом. Транспонированная матрица получается путем замены в матрице

Рис.3.7

строк на столбцы. Выражение получается в результате рассмотрения формул преобразований координат при переходе от одной системы к другой: [X]_Н)® [x]⁽¹⁾®[x]⁽²⁾ ®[x]_П , из которых две системы [x] ⁽¹⁾ и [x] ^{(2) -}¾ промежуточные.

1. Переход от осей системы[X]_Н к осям системы [x] ⁽¹⁾ осуществляется поворотом на угол прецессии вокруг неподвижной оси OY ¾ прецессии системы [X]_Н (рис.3.6 -3.8,а).

2. Переход от осей системы[x] ⁽¹⁾ к осям системы[x] ⁽²⁾ осуществляется поворотом на уголнутации вокруг оси системы [x] ⁽¹⁾ (рис.3.6-3.8,б).

3. Переход от осей системы [x] ⁽²⁾к осям системы[x]_П ^-¾ поворотом на уголротации (собственного вращения ) вокруг оси системы[x] ⁽²⁾.

Рис.3.8

Рассмотрев переход от системы ОXYZ ([X]_Н) к системе Оxyz ([x]_П ), выполненный с помощью трех поворотов, получаем следующие формулы для преобразования координат:

1) поворот системы ОXYZ вокруг второй из координатных осей ОY на угол прецессии, т.е. [X]_Н®[x]¹⁾, ОXYZ ® , причем (рис.3.6 -3.8,а).

Координаты систем координат 0XYZ и 0x⁽¹⁾ y⁽¹⁾ z⁽¹⁾, как видно на рис.3.8,a , связаны соотношениями

X= x⁽¹⁾ cos y + 0 + z⁽¹⁾ sin y ,

Y = 0 + y⁽¹⁾ + 0 ,

Z = - x⁽¹⁾ sin y + 0 + z⁽¹⁾ cos y ,

или в матричной форме:

[X] ={a_2y} ^т [x⁽¹⁾], (3.16)

где матрица {a_2y} ^т = . (3.17)

описывает поворот вокруг второй оси 0Y на угол прецессии .

2) поворот системы вокруг третьей из координатных осей на уголнутации , т.е. [x]¹⁾ ®[x]⁽²⁾ , ® , при этом (рис.3.6-3.8,б).

Формулы преобразования координат, как видно на рис.3.8,.б, при этом таковы:

x⁽¹⁾ = x⁽²⁾ cos q - y ⁽²⁾ sin q + 0 ,

 

y⁽¹⁾ = x⁽²⁾ sin q + y ⁽²⁾ cos q + 0 ,

 

z ⁽¹⁾ = 0 + 0 + z ⁽¹⁾,

 

или в матричной форме:

[x⁽¹⁾] = {a_3q } ^т [x⁽²⁾], (3.18)

где матрица {a_3q } ^т = . (3.19)

описывает поворот вокруг оси 0z⁽¹⁾ на угол нутации q.

3) поворот системы вокруг второй из координатных осей на уголротации (собственного вращения ) ,т.е..[x]⁽²⁾ ®[x]_П ,(рис.3.6 -3.8,а) ®Cxyz, поэтому формулы преобразования координат, как видно из рис.3.8,а, имеют вид:

 

x⁽²⁾ = x cos j + 0 + z sin j ,

 

y⁽²⁾ = 0 +y + 0 ,

 

z⁽²⁾ = - x sin j + 0 + z cos j ,

 

или в матричной форме:

 

[x⁽²⁾ ] = { a_2j }^т [x], (3.20)

поворотная матрица { a_2j }^т имеет вид матрицы (4.17) ¾{a_2y} ^т,

 

{a_2j} ^т = . (3.21)

Подставляя в соотношение (3.16) ¾ [X] ={a_2y} ^т [x⁽¹⁾] соотношение (3.18) ¾ [x⁽¹⁾] = = {a_3q } ^т [x⁽²⁾], получаем промежуточные соотношения, которые могут понадобиться в дальнейшем, а именно:

 

[X] ={a_2y} ^т {a_3q} ^т [x⁽²⁾] или (3.22)

 

Промежуточная поворотная матрица {a_2y,3q }^т находится как произведение двух матриц поворота, а именно:

 

{ a_2y,3q }^т = { a_2y}^т {a_3q } ^т = (3.23

 

= =

 

Подставляя в соотношение (3.16) ¾ [X] ={a_2y} ^т [x⁽¹⁾] соотношение (3.18) ¾ [x⁽¹⁾] = = {a_3q } ^т [x⁽²⁾], в котором [x⁽²⁾ ] представлено в виде (3.20) ¾ [x⁽²⁾ ]= { a_2j }^т [x], получаем

 

[X] ={a_2y} ^т {a_3q} ^т {a_2j }^т [x]. (3.24)

 

Сравнивая выражения (3.15) ¾ и (3.24), находим, что искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (3.17), (3.19), (3.21), а именно:

{ a_y,q,j } ^т = = { a_2y} ^т { a_3q } ^т { a_2j } ^т =

 

= =

 

(3.25)

При заданном законе сферического движения выражения (3.15) и (3.25) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки тела.

 

 

Предыдущая123456789101112131415Следующая

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.