Виртуальная работа силы. Идеальные связи
Виртуальной работой силы называется работа силы на любом виртуальном перемещении точки ее приложения:
¾ 1*)dА( ) = . (2.17)
Для вычисления виртуальной работы можно применять известные формулы для элементарной работы силы, подставляя вместо элементарного возможного виртуальное перемещение точки.
При использовании декартовых координат
¾ 1**)dА( ) =Fx dx + Fy dy + Fz dz. (2.18)
Например, виртуальная работа горизонтальной силы , приложенной к стержню АВ (рис.2.7) в точке С, равна dА( ) = Fx d xс . Так как
Fx = - F, xс = BC cosj и dxс= - BC sinj ×dj, то
dА( ) = F BC sinj ×dj .
Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси l =Oz приложена сила , момент которой относительно этой оси равен Мl=Oz, то
¾ 2*) dА( ) =Мl=Oz dj , (2.19)
где dj ¾ виртуальный угол поворота тела вокруг оси l =Oz .
¾ 3*)dА( ) = Ft ds, (2.20)
. где Ft - проекция силы на направление касательной, ds – вариация траекторной координаты точки приложения силы при траекторном способе задания ее движения.
¾4*)dА ( ) = Fv dS, (2.21)
, где Fv - проекция силы на направление скорости точки приложения силы, dS – вариация перемещения точки приложения силы.
Виртуальная работа потенциальных сил изохронной вариации силового потенциала dА = dU или со знаком минус вариации потенциальной энергии системы dА = - dП.
Установив понятие виртуальной работы силы , можно расширить классификацию связей, разделяя их на идеальные и неидеальные.
Связи называются идеальными , если равна нулю сумма виртуальных работ реакций этих связей на любом виртуальном перемещении системы ( из занимаемого в данный момент времени положения).
Для идеальных связей (2.22)
или
Полагая связи идеальными, можно решить задачу динамики несвободной системы. Эта задача состоит в том, что для данной системы с заданными активными силами и начальными условиями нужно найти уравнения движения и реакции связей.
Например, если материальная точка движется по гладкой поверхности, уравнение которой f (x, y, z) = 0 , то нормальная реакция
f , где l ¾ неопределенный множитель Лагранжа [ ].
Уравнения связи совместно с дифференциальными уравнениями движения точки образуют замкнутую систему уравнений. Эта система уравнений позволяет определить как уравнения движения точки, так и множитель Лагранжа, а значит, и нормальную реакцию связи
(2.23)
Примеры идеальных связей
1. Гладкая поверхность (плоскость)для материальной точки. В этом случае dА ( )= × = | | × | |cos ( , ) = 0 ,
так как вектор расположен вдоль нормали к поверхности и, следовательно ортогонален вектору виртуального перемещения точки.
2. Нерастяжимая нить. Реакция нити ¾ сила ее натяжения ¾ ортогональна виртуальному перемещению точки ее приложения. Поэтому × = 0.
3. Цилиндрические и сферические шарниры, если поверхности соприкасающихся тел считаются идеально гладкими. Если твердое тело при помощи шарнира прикреплено к неподвижной опоре (рис.2.8), то реакция приложена к неподвижной
Рис.2,8точке. Поэтому виртуальное перемещение такой точки равно нулю и dА ( )= × = 0 и др.
4. Твердая шероховатая поверхность для цилиндрического катка при качении без скольжения. Контакт катка с поверхностью происходит по линии. Поэтому реакцией связи является система сил, распределенных вдоль линии контакта. Виртуальная работа сил реакции равна нулю так как они приложены к неподвижным в каждый момент времени точкам ¾ СМЦС сечений катка (рис.2.1).
Обобщенные силы
В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе. Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы.
(2.24)
Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h связях имеет s =3n-h степеней свободы, то положение этой системы определяется ( i = s )
обобщенными координатами и (2.11): Согласно (2.13), (2.14) виртуальное перемещение k – й точки
(2.13)
(2.14)
Подставляя (2.14): в формулу для виртуальной работы сил
(2.24), получаем
(2.25)
Скалярную величину = (2.26)
называют обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате.
Обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате, называется величина, равная множителю при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.
Виртуальная работа определяется от
¾ задаваемых активных сил, независящих от ограничений и
¾ реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость Tj от Nj, (Tj ¾это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).
В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила ¾ скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.
Пример 2.10. Для диска радиусом r и массой m , который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.2.9), за обобщенную координату можно принять:
¾ либо q = s ¾ перемещение центра масс диска,
¾либо q = j ¾ угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то :
¾в первом случае обобщенной силой будет
Рис. 2.9 Qs = mg sina, а
¾во втором случае ¾ Qj = mg r cosa.
Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения (2.25)
(2.27)
следует, что единица измерения обобщенной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты.
Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s ¾ перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы Qs ¾ будет[ньютон],
Если же в качестве q = j ¾ будет принят угол поворота (в радианах) тела, то единицей измерения обобщенной силы Qj ¾ будет [ньютон ´ метр].
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|