Тема: кинематика вращения твердого тела вокруг

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая

неподвижной точки ¾случай регулярной прецессии

(кинематика вращения корабельного (на волнении) или сухопутного (на грунте) носителя)

4.1. Схемы конструкций и таблица к ним с исходными данными к расчетной работе «№1»

Определить:угол нутации q, угловые скорости прецессии , нутации , ротации , мгновенную угловую скорость , угловое ускорение твердого тела; скорости и ускорения точек А, В, С.

Задача сформулирована отдельно для каждого варианта, чертежи к задачам помещены на схеме рис.4.1 (по последней цифре шифра (ПЦШ) выбирается номер схемы от 0 до 9), необходимые числовые данные приведены в таблице 4.1. Во всех вариантах задачи рис.4.1,0 ─ рис.4.1,9 рассматривается регулярная прецессия твердого тела.

Нарис.4.1,0и рис.4.1,2:Прямой круговой конус с углом 2aпри вершине катится без скольжения по неподвижной плоскости, делая n оборотов в минуту вокруг вертикальной оси Ox в направлении, указанном стрелкой. Высота конуса OC = h.

На рис.4.1,1:Прямой круговой конус катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости в направлении, указанном стрелкой. Высота конуса ОC= h, радиус основания равен R. Движение конуса происходит так, что скорость центра основания постоянна и равна v_{c .}

На рис.4.1,3─рис.4.1,9:Конус 1 с углом 2aпри вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2b при вершине в направлении, указанном стрелкой. Высота конуса OC = h.

Движение конуса 1 происходит так, что

¾на рис.4.1,3─ осестремительное ускорение центра С основания конуса постоянно и равно ;

¾на рис.4.1,4─ скорость точки С центра снования конуса постоянна и равна , в данный момент времени;

¾на рис.4.1,5─ подвижный конус 1 обегает неподвижный конус 2 - n

раз в минуту, радиус основания конуса 1 равен R;

¾на рис.4.1,6─подвижный конус 1 совершает за время t один оборот;

вокруг вертикальной оси против часовой стрелки;

¾на рис.4.1,7─ вращательное ускорение центра С основания конуса

= ;

¾на рис.4.1,8─ ускорение точки М конуса 1, лежащей на середине его образующей, равно: = , причем ;

¾на рис.4.1,9─ подвижный конус 1 совершает n оборотов в минуту вокруг своей оси симметрии .

Таблица 4.1 к расчетной работе № 1 –(вращение твердого тела вокруг неподвижной точки¾ случай регулярной прецессии)

Исходные данные Последняя цифра шифра (ПЦШ)

h м 0,12 0,4 0,2 0,18 0,1 - 0,2 0,12 0,12 -

R - 0,8 - - - - - - - -

2a град -

2b - - -

v_c м /с - - - 0,2 - - - - -

a₁ м/с² - - 0,36 - - - 0,48

n об/ мин - - - - 30/p - - -

t сек - - - - - - - - -

Схемы к расчетной работе № 1 на тему:

кинематика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки ¾случай регулярной прецессии.

4.2.Методические указания и план решения

Расчетной работы № 1

Случай регулярной прецессии ¾это такое вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, при котором (рис.4.2) во все время движения остаются постоянными:

¾угол нутации

¾угловые скорости прецессии, ротации и мгновенная угловая скорость

¾угловое ускорение

1. Найти неподвижную точку вращающегося тела, выбираемую за начало отсчета неподвижной и связанной координатных систем. Выбрать оси прецессии - , ротации - , нутации - ( или ¯ ).

2. Определить угловые скорости прецессии , нутации , ротации , мгновенную угловую скорость и мгновенную ось вращения .

В зависимости от задания движения твердого тела вектор можно найти двумя способами:

Рис.4.2

─1) определить по ее составляющим

= + + ;

─2) использовать мгновенную ось вращения , которую в дальнейшем будем для краткости обозначать . По известной скорости какой-либо точки М твердого тела и положении оси º находят величину : , где ─ перпендикуляр, опущенный из точки М на ось º .

3. Определить угловое ускорение твердого тела. В случае регулярной прецессии и является закрепленным в точке О вектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.

4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле , величина скорости равна .

5. Определить ускорения произвольных точек твердого тела. Ускорение любой точки твердого тела следует определить по формуле

+ ,

где = ─ осестремительное ускорение, величина его

= ,

= ─ вращательное ускорение, величина которого = .

Так как всегда направлено от точки по к оси º , можно не пользоваться векторной формой для . Что же касается , то его следует находить только по векторной форме.

Поскольку, при вращении около полюса вектор не коллинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение + должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна

Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:

и + ,

где ─ нормальное ускорение; ─ касательное ускорение, при регулярной прецессии = 0.

Все векторы, лежащие в плоскости OXY (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.

4.3. Пример 4.1 решения расчетной работы № 1 (рис.4.3). Тема: вращение твердого тела вокруг неподвижной точки ¾

¾случай регулярной прецессии.

Конус 1 с углом 2a=60° при вершине катится по неподвижному конусу 2 с углом 2b=120° при вершине без скольжения, приэтом вершина О конуса 1остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной скоростью , в данный момент времени (рис.4.3). , ОА=ОВ=2м.

Определить: 1. Угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость .

2. Угловое ускорение конуса .

3. Скорости точек А и В¾ , .

4. Ускорения точек А, В, С¾ , , (найти осе стремительное ¾ и вращательное ¾ ускорения точки С).

Рис.4.3

Решение.Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1¾ совпадает с образующей ОА.

1. Угол нутации :

2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, ¾ окружность, плоскость которой перпендикулярна оси ОY ¾ оси прецессии и центр которой лежит на этой оси.

Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку

, (4.1)

где ¾ кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси ¾

, то

1/с = const. (4.2)

Учитывая заданное направление вектора , , отложим от точки О вдоль мгновенной оси = ОА вектор так, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой оси ¾ в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки (см. рис.4.3).

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

, (4.3)

где ¾ кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY равно

3.Отсюда находим модуль угловой скорости прецессии :

1/с (4.4)

Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае ¾ по ходу часовой стрелки, поэтому

¯OY ( оси прецессии).

3.Векторное равенство , где линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно : ( ); линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора ¯ OY является ось прецессии OY, линией действия вектора является ось ротации O y (см. рис.4.3). Таким образом, модуль угловой скорости ротации равен

= const . (4.5)

4. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ¯ OZ, так какс конца оси OZ поворот вектора к вектору кажется по ходу часовой стрелки; модуль углового ускорения определяется как