Кинематические уравнения вращения

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 11 12 13 14 15 Следующая

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной точкиназывается такое его движение, при котором одна точка твердого тела или неизменно связанная с твердым телом , остается неподвижной относительно выбранной системы отсчета. Его еще называют сферическим движением, поскольку траектория любой точки тела лежит на поверхности сферы с центром в неподвижной точке. Примером такого движения служит волчок, у которого остается неподвижной точка опоры.

В главе 2 говорилось о том, что число степеней свободы свободно движущегося в пространстве твердого тела равно шести. Если во время движения тела одна его точка остается неподвижной, то число степеней свободы такого тела при его вращении вокруг этой неподвижной точки будет равно трем, и для оценки его положения необходимо задать три

Рис.3.1,а независимых параметра. Сделать это можно различными способами. Например, Крылов А.Н. в качестве таких параметров предложил так называемые корабельные углы, определяющие положение тела (корабля) относительно системы координат, связанной своим началом с его центром тяжести (рис.3.1,б).

За оси неподвижной системы координат приняты CXYZ, а за оси жестко связанные с кораблем ¾ Cxyz (рис.3.1). Ось СХ направлена от кормы к носу корабля, ось CZ ¾к его правому борту, а ось CY образует с ними правую систему координат.(вертикально вверх). Положение подвижной системы координат Cxyz, неизменно связанной с кораблем, относительно неподвижной ¾ CXYZ для каждого момента времени определяется тремя углами Крылова: ¾ угол дифферента, ¾угол крена, ¾угол рыскания.

Рис.3.1,б

Как видно на рис.3.1,а плоскость CXY пересекает плоскость Cxy по некоторой прямой , образующей угол с осьюCX и угол с осью Cx. Плоскость CYZ пересекает плоскость CX y полинии

, образующей угол с осью Cy.

Рассмотрим переход от системы CXYZ к системе Cxyz, выполненный с помощью трех поворотов.

Для совмещения системы CXYZ с системой Cxyz достаточно:

1) повернуть систему CXYZ вокруг третьей из координатных осей CZ на угол дифферента , в результате чего получаем систему , причем ;

2) повернуть систему вокруг первой из координатных осей на угол крена , в результате чего имеем систему , при этом ;

Рис.3.2 Рис.3.3

3) повернуть систему вокруг второй из координатных осей на уголрысканияj, в результате чего приходим к системе Cxyz .

1. Координаты систем CXYZ и , как видно из рис.3.2, связаны соотношениями

X = x⁽¹⁾ cos y - y⁽¹⁾ sin y + 0 ,

Y = x⁽¹⁾ sin y + y⁽¹⁾cos y + 0 , (3.1)

Z = 0 + 0 + z⁽¹⁾,

или в матричной форме:

[X] ={ a₃_y}^т [x⁽¹⁾] или (3.2)

¾ матрица, транспонированная к матрице , описывающей поворот системы CXYZ вокруг третьей координатной оси СZ на угол дифферента y:

{a₃_y}^т = (3.3)

2. Переход от системы к системе происходит путем поворота на угол крена вокруг первой из координатных осей , при этом .

Формулы преобразования координат, как видно из рис.3.3, при этом таковы:

x⁽¹⁾= x⁽²⁾+ 0 + 0 ,

y⁽¹⁾ = 0 + y ⁽²⁾cos - z⁽²⁾sin , (3.4)

z⁽¹⁾ = 0 + y ⁽²⁾ sin + z⁽²⁾ cos ,

или в матричной форме

[x⁽¹⁾] = [x⁽²⁾], или (3.5)

где ¾ матрица, транспонированная к матрице , задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы вокруг первой из координатных осей на угол крена , при этом .

(3.6)

3.Наконец, система координат переводится в систему Cxyz поворотом на уголрысканияj вокруг второй из координатных осей

, и поэтому формулы преобразования координат, как видно на рис.3.4, имеют вид:

x⁽²⁾ = x cos j + 0 +z sin j ,

y⁽²⁾ = 0 + y + 0 , (3.7)

z⁽²⁾ = -x sin j + 0 + zcos j,

или в матричной форме: [x⁽²⁾]= или

(3.8)

Рис.3.4

Причем поворотная матрица {a₂_j}^т ¾ матрица, транспонированная к матрице { a₂_j}, задающей преобразование поворота от осей системы к осям системы Cxyz на уголрысканияj вокруг второй из координатных осей , имеет вид :

{ a₂_j}^т = (3.9)

Для любой точки М тела с координатами x, y, z ¾в подвижной системе координат, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y ,Z ¾в неподвижной системе координат можно установить взаимосвязь проекций вектора точки на оси двух систем координат,

(3.10)

или в матричном виде

или (3.11)

где углы Крылова являются некоторыми функциями времени: дифферента ¾ = , крена ¾ = ; рыскания ¾ = ,

¾ матрица, транспонированная к матрице направляющих косинусов , задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы CXYZ к осям подвижной системы Cxyz, неизменно связанной с кораблем. Очевидно, что при движении тела координаты x, y, z остаются постоянными в отличие от координат X, Y, Z.

Подставляя в соотношение (3.2): [X] ={a₃_y}^т [x⁽¹⁾] соотношение (3.5): [x⁽¹⁾] = ^т [x⁽²⁾] , в котором [x⁽²⁾ ] = {a₂_j}^т [x]

представлено в виде (3.8), получаем

(3.12)

Сравнивая выражения (3.11) и (3.12), находим, что искомая матрица

является произведением трех матриц поворота:

= = = (3.13)

Подставляя в соотношение (3.2): [X] ={a₃_y}^т [x⁽¹⁾] соотношение (3.5): [x⁽¹⁾] = ^т [x⁽²⁾], получаем промежуточные соотношения, которые могут понадобиться в дальнейшем,

[X] ={a₃_y}^т ^т [x⁽²⁾].

Промежуточная поворотная матрица = {a₃_y}^т ^тнаходится как произведение двух матриц поворота, а именно:

(3.13*)

Углы Эйлера.

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 11 12 13 14 15 Следующая

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: