Энергетический смысл уравнения Бернулли

Прежде чем приступить к анализу физического содержания полученного соотношения, следует вспомнить одно важное обстоятельство. При введении понятия о струйке было показано (см. раздел «Кинематика»), что одним из ее свойств является равномерное распределение скоростей в пределах любого ее поперечного сечения. Это означает, что соотношение (7.25) остается справедливым для любой линии тока, проходящей внутри струйки. Поэтому уравнение (7.25) можно назвать уравнением Бернулли для струйки идеальной жидкости. Для двух произвольных поперечных сечений струйки можно записать

(7.26)

Выясним физический смысл величин, входящих в уравнение Бернулли. Любое правильное физическое соотношение размерностно однородно, т.е. все его члены имеют одинаковую размерность, поэтому достаточно рассмотреть один из его членов. Наиболее удобно обратиться к третьему - . Эта величина выражается в м2/с2. Умножим и разделим числитель и знаменатель на кг, что дает:

Из чего следует, что каждый член уравнения выражает энергию, отнесенную к единице массы, т.е. удельную энергию. Это позволяет придать уравнению Бернулли энергетический смысл. Первые два члена выражают удельную потенциальную энергию (положения - gz и давления - ), а третий - удельную кинетическую энергию. Следовательно, полная удельная энергия в любом сечении струйки остается неизменной. Другими словами, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии в ее простейшей форме - форме сохранения механической энергии.

Уравнение Бернулли в форме напоров.

В практических приложениях широко используется другая форма уравнения Бернулли - форма напоров. Разделив обе части уравнения (7.26) на ускорение свободного падения g, получаем

(7.27)

Каждый член (7.27) имеет линейную размерность и выражает напор, под которым в общем случае понимают высоту столба жидкости, уравновешивающую давление в данной точке. Таким образом, z - геометрический напор, характеризующий положение жидкой частицы над какой-то произвольной плоскостью, называемой плоскостью отсчета; - пьезометри­ческий напор - высота столба жидкости, уравновешивающая давление в данной точке; - скоростной напор, представляющий собой высоту столба жидкости в так называемой трубке полного напора (трубке Пито). Принцип действия этого устройства легко уясняется из рис. 7.1.

Сумма двух первых членов носит название гидростатического напора, а трех - полного либо гидродинамического напора. Таким образом, уравнению Бернулли придается геометрическое толкование, которое сводится к следующему. Сумма трех высот: геометрической (z), пьезометрической ( ) и скоростной ( ) есть величина постоянная вдоль струйки. Либо, что то же самое, полный либо гидродинамический напор при движении вдоль струйки остается неизменным. Сказанное иллюстрируется рис. 7.2, который иногда называют диаграммой уравнения Бернулли.

На рис. 7.2 N-N - напорная линия; O-O - плоскость (линия) отсчета; P-P - пьезометрическая линия, лежащая ниже напорной на величину скоростного напора в данном сечении.

ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Модель вязкой жидкости

Приступая к рассмотрению движения вязкой жидкости, необходимо прежде всего уяснить терминологию , т. е. смысл, вкладываемый в понятие «вязкая жидкость». С математических позиций необходимо установить вид функциональной зависимости для напряжений, либо, другими словами, сформировать модель вязкой жидкости. В дальнейшем под вязкой мы будем понимать жидкость, удовлетворяющую трем гипотезам: линейности, однородности и изотропности.

Гипотеза линейности .

Применим закон Ньютона к жидкости, движущейся параллельно плоскости xOy (рис. 8.1), что дает

Воспользуемся результатом, полученным при рассмотрении теоремы Гельмгольца о движении жидкой частицы. Согласно теореме, скорость угловой деформации относительно оси y

Так как движение происходит в плоскости xOy, то и

и, следовательно, касательное напряжение

(8.1)

Полученный результат иллюстрирует так называемый закон трения Стокса. Согласно этому закону, напряжения, возникающие в жидкости, в отличие от твердого тела, пропорциональны не величинам, а скоростям деформаций, и связаны с ними линейной зависимостью. При этом коэффициент пропорциональности остается неизменным и равным 2.

Кроме того, согласно закону Стокса касательные напряжения, как показано выше, пропорциональны скоростям угловой деформации, а нормальные - скорости линейной деформации, т.е. , , .

Таким образом, можем записать

(8.2)

и т.д.

Рассмотрим теперь нормальные напряжения, возникающие от сил вязкости. Согласно закону Стокса, их можно записать в виде так называемых девиаторов напряжения, имеющих вид:

(8.3)

Полные нормальные напряжения отличаются тем, что помимо записанных выше в любой, как в вязкой, так и в невязкой жидкости, действуют и статические давления. Другими словами

(8.4)

Выполним следующую операцию: из утроенной величины вычтем сумму ( ). Это дает:

откуда найдем

В качестве давления в вязкой жидкости принимают среднее арифметическое, т.е. . И, следовательно,

(8.5)

Для несжимаемой жидкости , и выражения упрощаются.

Гипотеза однородности

Предполагается, что вид линейной зависимости между напряжениями и скоростями деформаций одинаков для всех точек пространства.

Гипотеза изотропности

Вязкая жидкость предполагается изотропной, т.е. ее свойства в любом направлении одинаковы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: