Представление группы преобразований вращения трехмерного псевдоевклидового пространства индекса два
Преобразование Х′=АХ назовем представлением преобразования вращения, если его матрица
комплексна и удовлетворяет условию
A = A=I,
где черточка обозначает операцию
= GA*G,
индекс * – операцию эрмитового сопряжения, а G-метрический тензор
причем β = ±1, так что G=G*, G2=I и
= GA*G=
| 11
| -β 21
|
| -β 12
| 22
| .
| Очевидно, что
=G(AB)*G=G(B*A*)G=(GB*G)(GA*G)= ,
и = =G(GА*G)*G=GGAGG=A.
Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает групповыми свойствами.
1. Произведение двух преобразований вращения есть преобразование вращения.
Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А1 и А2; произведение их есть преобразование с матрицей А=А2А1. На основании правил перемножения матриц мы можем написать тождество
А =(А2А1)( )=(А2А1)( )= А2(А1 ) .
Отсюда вследствие равенства A =I имеем:
A = А2 I =I.
Тем самым требуемое доказано.
2. Преобразование, обратное преобразованию вращения является преобразованием вращения.
Действительно, пусть А-матрица некоторого преобразования вращения иВ= А-1- матрица преобразования, обратного ему. Из условия A = I следует, что = А-1. Таким образом В= . Отсюда
В = ( )= А= А-1А=I.
Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность преобразований вращения есть группа.
Условие преобразований вращения, записанное в матричной форме, равносильно соотношениям:
А =
| а11 11-β 12а12
| а12 22-β 21а11
| =I,
| а21 11-β 12а22
| а22 22-β 21а21
| равным I.
Этим условиям можно придать форму отличную от этой формы
А=
| 11а11-βа21 21
| -β 21а22+а12 11
| =I,
| -β 12а11 +а21 22
| 22а22-βа12 12
|
также равной I. Эти системы равенств равносильны.
Любые два из четырех комплексных коэффициентов аik определяют все остальные. Более того, они дополнительно связаны соотношением унимодулярности (определитель матрицы А равен ±1), так что два комплексных коэффициента аik полностью определяются лишь тремя вещественными параметрами.
Если задан ортонормированный базис е1, е2, е3, то каждый действительный вектор х=х1е1+х2е2+х3е3 может быть представлен (вообще говоря, комплексной) матрицей размера 2х2
Х=
| -βx3
| -β(x1-ix2)
| =
| x1Е1+ x2Е2+ x3Е3,
| x1+ix2
| βx3
| где спиновые матрицы (Паули)
Е1=
| 0
| -β
| ,
| Е2=
| 0
| βi
| ,
| Е3=
| -β
| 0
|
| 1
| 0
| i
| 0
| 0
| β
|
соответствуют базисным векторам е1, е2, е3. Это соответствие является изоморфизмом, сохраняющим результат сложения векторов и умножения векторов на вещественные числа.
Для каждого вращения вектор вращения х′=х1′е1+х2′е2+х3′е3 представляется матрицей
Х′=x1′Е1+ x2′Е2+ x3′Е3=АХ ,
где А – (вообще говоря, комплексная) 2х2 матрица с определителем равным 1:
где
a=λ0-iβλ3, b=λ2+i λ1,
|a|2-β|b|2=λ02-β(λ12+λ22)+λ32=1.
А =
| |a|2-β|b|2
| 0
| =I.
| 0
| |a|2-β|b|2
|
Комплексные числа a, b определяют соответствующее вращение однозначно, но a, b и -a, -b (а потому матрицы А и -А) описывают одно и тоже вращение. Числа a, b и , называются параметрами (Кэли-Клейна) данного вращения.
Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:
А1(φ)=
| Ch(φ/2)
| iβSh(φ/2)
| -iSh(φ/2)
| Ch(φ/2)
|
А2(φ)=
| Ch(φ/2)
| βSh(φ/2)
| Sh(φ/2)
| Ch(φ/2)
|
А3(φ)=
| cos(φ/2)+ iβsin(φ/2)
| 0
| =
| еiβφ/2
| 0
| .
| 0
| cos(φ/2)- iβsin(φ/2)
| 0
| е -iβφ/2
|
Каждая матрица А, описывающая представление вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц
в частности, так:
А=A3(φ1)A2(φ2)A3(φ3)=
=
| еiβ(φ1)/2
| 0
|
| Ch(φ2/2)
| βSh(φ2/2)
|
| еiβ(φ3)/2
| 0
| =
| 0
| е –iβ(φ1)/2
|
| Sh(φ2/2)
| Ch(φ2/2)
|
| 0
| е –iβ(φ3)/2
|
=
| Ch(φ2/2)еiβ(φ3+φ1)/2
| βSh(φ2/2)е –iβ(φ3-φ1)/2
| .
| Sh(φ2/2)еiβ(φ3-φ1)/2
| Ch(φ2/2)е –iβ(φ3+φ1)/2
| С другой стороны
А=
|
| βb
| =
| λ0+iβλ3
| β(λ2+i λ1)
| ,
|
| a
| λ2-i λ1
| λ0-iβλ3
| так что
λ0=Ch(φ2/2)cos((φ3+φ1)/2), λ2= Sh(φ2/2)cos((φ3-φ1)/2),
λ3=Ch(φ2/2)sin((φ3+φ1)/2), λ1= -βSh(φ2/2)sin((φ3-φ1)/2),
a= Ch(φ2/2)exp(-iβ(φ3+φ1)/2), b= Sh(φ2/2)exp(-iβ(φ3-φ1)/2).
Четыре параметра (Эйлера) λ0, λ1, λ2, λ3
λ02-βλ12-βλ22+λ32=1
однозначно определяют вращение, причем условие
|a|2-β|b|2=1.
Линейные комбинации матриц I, iЕ1, iЕ2 и iЕ3 с действительными коэффициентами образуют представление четырехмерной алгебры псевдокватернионов, скаляры которой соответствуют действительным кратным матрицы I, а образующие соответствуют матрицам iЕ1, iЕ2, iЕ3, причем
-β(Е1)2= -β(Е2)2=(Е3)2=I,
Е2Е3= -Е3Е2= -iβЕ1,Е3Е1= -Е1Е3= -iβЕ2,Е1Е2= -Е2Е1= iЕ3.
Каждая комплексная матрица размера 2х2 может быть представлена в виде такой линейной комбинации, в частности,
А=λ0I-i(λ1Е1+ λ2Е2+ λ3Е3),
=λ0I+i(λ1Е1+ λ2Е2+ λ3Е3).
Снова матрицы А и -А определяют одно и тоже вращение однозначно.
Представление
Х′=x1′Е1+ x2′Е2+ x3′Е3=АХ
в координатной форме дает:
x1′=(λ0λ0-βλ1λ1+βλ2λ2-λ3λ3)x1 -2β(λ1λ2-λ3λ0)x2 +2(λ1λ3- βλ2λ0)x3,
x2′= -2β(λ2λ1+λ3λ0)x1+(λ0λ0+βλ1λ1-βλ2λ2-λ3λ3)x2 +2(λ2λ3+βλ1λ0)x3,
x3′= -2β(λ3λ1+βλ2λ0)x1 -2β(λ3λ2-βλ1λ0)x2+(λ0λ0+βλ1λ1+βλ2λ2+λ3λ3)x3.
Таким образом, задача описания преобразований вращения вполне разрешима. Преобразования вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса два существенно отличаются от преобразований вращения в трехмерном собственноевклидовом пространстве [1]. Свойства группы псевдоортогональных преобразований также существенно отличаются от свойств группы собственноортогональных преобразований. Геометрии собственноунитарной группы [2] (трехмерной собственноевклидовой геометрии) соответствует представление со значением β= -1. Геометрии псевдоунитарной группы (трехмерной псевдоевклидовой геометрии) соответствует представление со значением β= 1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия [Текст] / Н.В. Ефимов. – М.: Высшая школа, 1971. – 576 с.
2. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1977. – 832 с.
УДК 514.12
©2005 г., А.В. Коротков
Векторы в четырехмерном
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|