Сделай Сам Свою Работу на 5

Представление группы преобразований вращения трехмерного псевдоевклидового пространства индекса два





 

Преобразование Х′=АХ назовем представлением преобразования вращения, если его матрица

A= a11 a12
a21 a22

 

комплексна и удовлетворяет условию

A = A=I,

где черточка обозначает операцию

= GA*G,

индекс * – операцию эрмитового сопряжения, а G-метрический тензор

 

G= 1 0
0 .

 

причем β = ±1, так что G=G*, G2=I и

 

= GA*G= 11 21
12 22 .

Очевидно, что

=G(AB)*G=G(B*A*)G=(GB*G)(GA*G)= ,

и = =G(GА*G)*G=GGAGG=A.

Докажем, что совокупность преобразований вращения обладает групповыми свойствами.

1. Произведение двух преобразований вращения есть преобразование вращения.

Действительно, пусть даны преобразования вращения с матрицами А1 и А2; произведение их есть преобразование с матрицей А=А2А1. На основании правил перемножения матриц мы можем написать тождество

А =(А2А1)( )=(А2А1)( )= А21 ) .

Отсюда вследствие равенства A =I имеем:

A = А2 I =I.

Тем самым требуемое доказано.

2. Преобразование, обратное преобразованию вращения является преобразованием вращения.

Действительно, пусть А-матрица некоторого преобразования вращения иВ= А-1- матрица преобразования, обратного ему. Из условия A = I следует, что = А-1. Таким образом В= . Отсюда



В = ( )= А= А-1А=I.

Тем самым требуемое доказано. Таким образом, совокупность преобразований вращения есть группа.

Условие преобразований вращения, записанное в матричной форме, равносильно соотношениям:

 

А = а11 11 12а12 а12 22 21а11 =I,
а21 11 12а22 а22 22 21а21

равным I.

Этим условиям можно придать форму отличную от этой формы

 

А= 11а11-βа21 21 21а2212 11 =I,
12а11 21 22 22а22-βа12 12

 

также равной I. Эти системы равенств равносильны.

Любые два из четырех комплексных коэффициентов аik определяют все остальные. Более того, они дополнительно связаны соотношением унимодулярности (определитель матрицы А равен ±1), так что два комплексных коэффициента аik полностью определяются лишь тремя вещественными параметрами.

Если задан ортонормированный базис е1, е2, е3, то каждый действительный вектор х1е12е23е3 может быть представлен (вообще говоря, комплексной) матрицей размера 2х2



Х= -βx3 -β(x1-ix2) = x1Е1+ x2Е2+ x3Е3,
x1+ix2 βx3

где спиновые матрицы (Паули)

 

Е1= 0 , Е2= 0 βi , Е3= 0
1 0 i 0 0 β

 

соответствуют базисным векторам е1, е2, е3. Это соответствие является изоморфизмом, сохраняющим результат сложения векторов и умножения векторов на вещественные числа.

Для каждого вращения вектор вращения х′=х1е12е23е3 представляется матрицей

Х′=x1Е1+ x2Е2+ x3Е3Х ,

где А – (вообще говоря, комплексная) 2х2 матрица с определителем равным 1:

 

А= βb = a -βb
a - ,

где

a=λ0-iβλ3, b=λ2+i λ1,

|a|2-β|b|202-β(λ1222)+λ32=1.

 

А = |a|2-β|b|2 0 =I.
0 |a|2-β|b|2

 

Комплексные числа a, b определяют соответствующее вращение однозначно, но a, b и -a, -b (а потому матрицы А и ) описывают одно и тоже вращение. Числа a, b и , называются параметрами (Кэли-Клейна) данного вращения.

Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:

 

А1(φ)= Ch(φ/2) iβSh(φ/2)
-iSh(φ/2) Ch(φ/2)

 

А2(φ)= Ch(φ/2) βSh(φ/2)
Sh(φ/2) Ch(φ/2)

 

А3(φ)= cos(φ/2)+ iβsin(φ/2) 0 = еiβφ/2 0 .
0 cos(φ/2)- iβsin(φ/2) 0 е -iβφ/2

 

Каждая матрица А, описывающая представление вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц

в частности, так:

А=A31)A22)A33)=

 

= е(φ1)/2 0 Ch(φ2/2) βSh(φ2/2) еiβ(φ3)/2 0 =
0 е –iβ(φ1)/2 Sh(φ2/2) Ch(φ2/2) 0 е –iβ(φ3)/2

 



= Ch(φ2/2)е(φ3+φ1)/2 βSh(φ2/2)е –iβ(φ3-φ1)/2 .
Sh(φ2/2)е(φ3-φ1)/2 Ch(φ2/2)е –iβ(φ3+φ1)/2

С другой стороны

 

А= βb = λ0+iβλ3 β(λ2+i λ1) ,
a λ2-i λ1 λ0-iβλ3

так что

λ0=Ch(φ2/2)cos((φ31)/2), λ2= Sh(φ2/2)cos((φ31)/2),

λ3=Ch(φ2/2)sin((φ31)/2), λ1= -βSh(φ2/2)sin((φ31)/2),

a= Ch(φ2/2)exp(-iβ(φ31)/2), b= Sh(φ2/2)exp(-iβ(φ31)/2).

Четыре параметра (Эйлера) λ0, λ1, λ2, λ3

λ02-βλ12-βλ2232=1

однозначно определяют вращение, причем условие

|a|2-β|b|2=1.

Линейные комбинации матриц I, iЕ1, iЕ2 и iЕ3 с действительными коэффициентами образуют представление четырехмерной алгебры псевдокватернионов, скаляры которой соответствуют действительным кратным матрицы I, а образующие соответствуют матрицам 1, iЕ2, iЕ3, причем

-β(Е1)2= -β(Е2)2=(Е3)2=I,

Е2Е3= -Е3Е2= -iβЕ1,Е3Е1= -Е1Е3= -iβЕ2,Е1Е2= -Е2Е1= iЕ3.

Каждая комплексная матрица размера 2х2 может быть представлена в виде такой линейной комбинации, в частности,

А=λ0I-i(λ1Е1+ λ2Е2+ λ3Е3),

0I+i(λ1Е1+ λ2Е2+ λ3Е3).

Снова матрицы А и определяют одно и тоже вращение однозначно.

Представление

Х′=x1Е1+ x2Е2+ x3Е3Х

в координатной форме дает:

x1′=(λ0λ0-βλ1λ1+βλ2λ23λ3)x1 -2β(λ1λ23λ0)x2 +2(λ1λ3- βλ2λ0)x3,

x2′= -2β(λ2λ13λ0)x1+(λ0λ0+βλ1λ1-βλ2λ23λ3)x2 +2(λ2λ3+βλ1λ0)x3,

x3′= -2β(λ3λ1+βλ2λ0)x1 -2β(λ3λ2-βλ1λ0)x2+(λ0λ0+βλ1λ1+βλ2λ23λ3)x3.

Таким образом, задача описания преобразований вращения вполне разрешима. Преобразования вращений в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса два существенно отличаются от преобразований вращения в трехмерном собственноевклидовом пространстве [1]. Свойства группы псевдоортогональных преобразований также существенно отличаются от свойств группы собственноортогональных преобразований. Геометрии собственноунитарной группы [2] (трехмерной собственноевклидовой геометрии) соответствует представление со значением β= -1. Геометрии псевдоунитарной группы (трехмерной псевдоевклидовой геометрии) соответствует представление со значением β= 1.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия [Текст] / Н.В. Ефимов. – М.: Высшая школа, 1971. – 576 с.

2. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1977. – 832 с.

 

 

УДК 514.12

©2005 г., А.В. Коротков

Векторы в четырехмерном

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.