|
Вращения в трехмерном псевдоевклидовом
Пространстве индекса два
Линейное преобразование х′=Ахс вещественной матрицей
| a11
| a12
| a13
|
| A=
| a21
| a22
| a23
|
|
| a31
| a32
| a33
|
|
назовем преобразованием вращения, если его матрица удовлетворяет условию
A = A=I,
где черточка обозначает операцию
= GAТG,
индекс T – операцию транспонирования, G – метрический тензор,
| -α
| 0
| 0
|
| G=
| 0
| -β
| 0
|
|
| 0
| 0
| αβ
| ,
|
причем a,β=±1, так что G=GT, G2=I и
| a11
| αβa21
| -βa31
|
| =GATG=
| αβa12
| a22
| -αa32
|
|
| -βa13
| -αa23
| a33
| .
|
Очевидно, что
=G(AB)TG=G(BTAT)G=(GBTG)(GATG)= ,
и = =G(GАТG)TG=GGAGG=A.
Преобразование вращения в трехмерном псевдоевклидовом векторном пространстве сохраняет квадраты модулей векторов. Такое преобразование является собственным вращением, если оно сохраняет также векторное произведение двух векторов и det ||A||=1. Преобразование с det ||A||= -1 является несобственным вращением или вращением с отражением.
Пусть е1, е2, е3 – любой ортонормированный базис, и пусть
х=х1е1+х2е2+х3е3 и х′=х1′е1+х2′е2+х3′е3.
Каждое преобразование вращения задается формулами
х1′= a11 х1+a12 х2 +a13х3,
х2′= a21 х1+a22 х2+a23х3,
х3′= a31 х1+a32 х2+a33х3
или в матричной форме
Х′= AХ,
где для собственных вращений det(A)=1.
Так как рассматриваемая система координат является ортонормированной, действительная матрица А, описывающая каждое вращение, определяется системой равенств
| а11а11+αβа12а12-βа13а13
| αβа11а21+а12а22-αа13а23
| -βа11а31-αа12а32+ а13а33
|
| А =
| а21а11+αβа22а12-βа23а13
| αβа21а21+а22а22-αа23а23
| -βа21а31-αа22а32+ а23а33
| =I
|
| а31а11+αβа32а12-βа33а13
| αβа31а21+а32а22-αа33а23
| -βа31а31-αа32а32+ а33а33
|
|
или, что равносильно,
| а11а11+αβа21а21-βа31а31
| а11а12+αβа21а22-βа31а32
| а11а13+αβа21а23- βа31а33
|
| А=
| αβа12а11+ а22а21-αа32а31
| αβа12а12+ а22а22-αа32а32
| αβа12а13+ а22а23- αа32а33
| =I.
|
| -βа13а11- αа23а21+ а33а31
| -βа13а12- αа23а22+ а33а32
| -βа13а13- αа23а23+ а33а33
|
|
Любые три из коэффициентов аik определяют все остальные. Геометрически коэффициент аik определяет угол между базисным вектором ei и повернутым базисным вектором
ek′=Aek= аjkej,
аik=(ei ek′).
Преобразование вращения поворачивает радиус – вектор х каждой точки трехмерного псевдоевклидового пространства на угол поворота δ вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол поворота δ, а также направляющие углы положительной оси вращения определяются формулами
Chδ= (Tr (A)-1)= (a11+ a22+ a33-1)=2λ02-1
αа23+ а32=2с1Shδ=4λ1λ0,
-а31-βа13=2с2Shδ=4λ2λ0,
βа12-αа21=2с3Shδ=4λ3λ0.
Либо знак угла δ, либо направление оси вращения могут выбираться произвольно.
Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемая числами δ, с1, с2,…, с7, есть
| -αс1с1
| -βс1с2
| αβс1с3
|
|
| -αс2с1
| -βс2с2
| αβс2с3
| +
|
| -αс3с1
| -βс3с2
| αβс3с3
|
|
| 0
| βс3
| -βс2
|
| +Shδ
| -αс3
| 0
| αс1
| .
|
| -с2
| с1
| 0
|
| Четыре симметричных параметра (Эйлера)
λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ,
λ02-αλ12-βλ22+αβλ32=1
-αс12-βс22+αβс32= -1
однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:
| -α(λ1λ1- αλ0λ0)
| -β(λ1λ2- λ3λ0)
| αβ(λ1λ3- αλ2λ0)
|
| А= -I+2*
| -α(λ2λ1+ λ3λ0)
| -β(λ2λ2- βλ0λ0)
| αβ(λ2λ3+ βλ1λ0)
| .
|
| -α(λ3λ1+αλ2λ0)
| -β(λ3λ2- βλ1λ0)
| αβ(λ3λ3+αβλ0λ0)
|
| При этом
| -α(λ1λ1- αλ0λ0)
| -β(λ1λ2+ λ3λ0)
| αβ(λ1λ3+ αλ2λ0)
|
| = -I+2*
| -α(λ2λ1- λ3λ0)
| -β(λ2λ2- βλ0λ0)
| αβ(λ2λ3- βλ1λ0)
| .
|
| -α(λ3λ1- αλ2λ0)
| -β(λ3λ2+βλ1λ0)
| αβ(λ3λ3+αβλ0λ0)
|
|
Будем считать для определенности α=β=1. В принятом предположении
Chδ= (Tr (A)-1)= (a11+ a22+ a33-1)=2λ02-1
βа23+ а32=2с1Shδ=4λ1λ0,
-а31-βа13=2с2Shδ=4λ2λ0,
βа12-βа21=2с3Shδ=4λ3λ0.
| -βс1с1
| -βс1с2
| с1с3
|
| 0
| βс3
| -βс2
|
|
| -βс2с1
| -βс2с2
| с2с3
| +Shδ
| -βс3
| 0
| βс1
| .
|
| -βс3с1
| -βс3с2
| с3с3
|
| -с2
| с1
| 0
|
|
Четыре симмметричных параметра (Эйлера)
λ02-λ12-βλ22+λ32=1,
-βс12-βс22+с32 = -1,
однозначно определяют вращение, так как из выражения для матрицы А следует:
| -β(λ1λ1- βλ0λ0)
| -β(λ1λ2- λ3λ0)
| λ1λ3 -βλ2λ0
|
|
| -β(λ2λ1+ λ3λ0)
| -β(λ2λ2-βλ0λ0)
| λ2λ3+βλ1λ0
|
|
| -β(λ3λ1+βλ2λ0)
| -β(λ3λ2-βλ1λ0)
| λ3λ3+ λ0λ0
| ,
| при этом
| -β(λ1λ1- βλ0λ0)
| -β(λ1λ2+ λ3λ0)
| λ1λ3+βλ2λ0
|
| = -I+2*
| -β(λ2λ - λ3λ0)
| -β(λ2λ2- βλ0λ0)
| λ2λ3- βλ1λ0
|
|
| -β(λ3λ1-βλ2λ0)
| -β(λ3λ2+βλ1λ0)
| λ3λ3+ λ0λ0
| ,
| а параметры λ0, λ1, λ2, λ3 и–λ0, –λ1, –λ2, – λ3 представляют одно и то же вращение.
Следующие матрицы преобразования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей:
| 1
| 0
| 0
| А1(φ)=
| 0
| Chφ
| βShφ
|
| 0
| Shφ
| Chφ
|
| Chφ
| 0
| -βShφ
| А2(φ)=
| 0
| 1
| 0
|
| -Shφ
| 0
| Chφ
|
| cosφ
| βsinφ
| 0
|
| А3(φ)=
| -βsinφ
| cosφ
| 0
|
|
| 0
| 0
| 1
| .
| Заметим, что
Аi(-φ), i= 1, 2, 3.
Каждая матрица А, описывающая собственное вращение в трехмерном псевдоевклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц
в частности, так:
А=A3(φ1)A2(φ2)A3(φ3)=
| cosφ1
| βsinφ1
| 0
|
| Chφ2
| 0
| -βShφ2
|
| cosφ3
| βsinφ3
| 0
|
| =
| -βsinφ1
| cosφ1
| 0
| *
| 0
| 1
| 0
| *
| -βsinφ3
| cosφ3
| 0
| =
|
| 0
| 0
| 1
|
| -Shφ2
| 0
| Chφ2
|
| 0
| 0
| 1
|
|
| cosφ1Chφ2cosφ3 - sinφ1sinφ3
| βcosφ1Chφ2sinφ3+βsinφ1cosφ3
| -βcosφ1Shφ2
|
| =
| -βsinφ1Chφ2cosφ3-βcosφ1sinφ3
| -sinφ1Chφ2sinφ3+ cosφ1cosφ3
| sinφ1Shφ2
| .
|
| -Shφ2cosφ3
| -βShφ2sinφ3
| Chφ2
|
|
Три угла (Эйлера) φ1, φ2, φ3,однозначно определяют вращение; в свою очередь они однозначно определяются данным вращением за исключением случая, когда φ2=0 (карданов подвес).
Обратное вращение А-1= (переводящее вектор х′ в исходный вектор х) представляется матрицей
=A3(-φ3)A2(-φ2)A3(-φ1)=
| cosφ1Chφ2cosφ3- sinφ1sinφ3
| -βsinφ1Chφ2cosφ3-βcosφ1sinφ3
| βShφ2cosφ3
|
| =
| βcosφ1Chφ2sinφ3+βsinφ1cosφ3
| -sinφ1Chφ2sinφ3+ cosφ1cosφ3
| Shφ2sinφ3
| ….
|
| cosφ1Shφ2
| -βsinφ1Shφ2
| Chφ2
|
| Существуют шесть способов, которыми матрицу вращения можно выразить путем вращения вокруг двух различных осей координат. Кроме того, существует шесть способов представления матриц вращения в виде произведения вращений вокруг трех различных осей координат, в частности, так:
| 1
| 0
| 0
|
| Chφ2
| 0
| -βShφ2
|
| cosφ3
| βsinφ3
| 0
|
| A=A1(φ1) A2(φ2) A3(φ3)=
| 0
| Chφ1
| βShφ1
|
| 0
| 1
| 0
|
| -βsinφ3
| cosφ3
| 0
| =
|
| 0
| Shφ1
| Chφ1
|
| -Shφ2
| 0
| Chφ2
|
| 0
| 0
| 1
|
|
| Chφ2cosφ3
| -βChφ2sinφ3
| -βShφ2
|
| =
| -βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3
| -Shφ1Shφ2sinφ3+Chφ1cosφ3
| βShφ1Chφ2
|
|
| -Chφ1Shφ2cosφ3-βShφ1sinφ3
| -βChφ1Shφ2sinφ3+Shφ1cosφ3
| Chφ1Chφ2
|
| при =A3(-φ3) A2(-φ2) A1(-φ1)=
| Chφ2cosφ3
| -βShφ1Shφ2cosφ3-βChφ1sinφ3
| βChφ1Shφ2cosφ3+ Shφ1sinφ3
|
| =
| -βChφ2sinφ3
| -Shφ1Shφ2sinφ3+ Chφ1cosφ3
| Chφ1Shφ2sinφ3-βShφ1cosφ3
| .
|
| Shφ2
| -Shφ1Chφ2
| Chφ1Chφ2
|
|
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|