Методические указания и решение типовых задач

Данная глава знакомит студентов с задачами, решение кото­рых дает возможность усвоить правила построения и анализа рядов динамики для характеристики изменения социально-эко­номических явлений во времени, выявления основной тенден­ции, закономерностей их развития. Достигается это соответству­ющей обработкой рядов динамики, анализом изменения его уров­ней, расчетом аналитических показателей. Это важный раздел курса теории статистики, так как в большинстве случаев задачей статистического исследования бывает анализ развития тех или иных явлений.

Виды рядов динамики. Показатели динамики.Начиная изучение темы, необходимо обратить внимание на классифика­цию рядов динамики, различия между ними, так как отнесение ряда динамики к тому или иному виду имеет важное значение для их изучения. Выбор соответствующих приемов и способов анализа определяется характером исходных данных и зависит от задач исследования.

В зависимости от способа выражения уровней(в виде абсолютных, относительных и средних величин) ряды динами­ки подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. В зависимости от того, выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты време­ни(на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определенные интервалы времени(например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и ин­тервальные ряды. Ряды динамики могут быть с равноотстоя­щими (по времени) уровнями и неравноотстоящими (по време­ни) уровнями.

Например, имеются данные о выпуске книг и брошюр, жур­налов и газет в Российской Федерации (тыс. печатных единиц):

Годы 1990 1991 1992 1993 1994

41,2 34,0 28,7 29,0 30,4

Это интервальный ряд динамики абсолютных величин с рав­ноотстоящими уровнями во времени. Его уровни характеризуют суммарный итог выпуска книг и брошюр за четко определенный отрезок времени (за каждый год). Уровни интервального ряда динамики могут быть суммированы, так как не содержат повтор­ного счета.

Примером моментного ряда абсолютных величин с равноот­стоящими уровнями во времени может служить ряд динамики, показывающий число постоянных дошкольных учреждений в России (на конец года), тыс.:

Годы 1990 1991 1992 1993 1994 1995

87,9 87,6 82,0 78,3 72,8 68,6

Уровни этого ряда – обобщенные итоги учета числа дошколь­ных учреждений по состоянию на определенную дату (конец каждого года). Отдельные уровни моментного ряда динамики содержат элементы повторного счета, так как отдельные дош­кольные учреждения, учитываемые, например, в 1990 г., суще­ствуют и в настоящее время, являясь единицами совокупности и в 1995 г. Все это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов динамики.

Примером интервального ряда динамики средних величин с неравноотстоящими уровнями во времени может служить ряд ди­намики среднемесячной заработной платы и выплат социаль­ного характера в России в 1995 г., в долл. США:

Его уровни относятся к помесячным интервалам времени, но суммирование их самостоятельного значения не имеет

Примером моментного ряда динамики относительных вели­чин с равноотстоящими уровнями во времени может служить ряд динамики, характеризующий удельный вес численности городс­кого и сельского населения в общей численности населения (на начало года), %:

Суммирование уровней данного ряда не имеет смысла. Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени. Для выявления специфики развития изучае­мых явлений за отдельные периоды времени определяют абсо­лютные и относительные показатели изменения ряда динамики: абсолютные приросты, абсолютное значение одного процента прироста, темпа роста и прироста. Выяснение сущности этих показателей, их взаимосвязей, методов расчета – необходимое условие усвоения данной темы.

Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбирать базу сравнения, которая зависит от цели исследования. При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели; при сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получают базовые показатели.

Например, требуется провести анализ динамики продажи мясных консервов за 1993-1997 гг. Для удобства и наглядности исходные и рассчитанные показатели изложены в табличной форме (табл. 10.1).

Таблица 10.1

Динамика продажи мясных консервов в одном из регионов за 1993-1997 гг. и расчет аналитических показателей динамики (данные условные)

Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уров­ня ряда динамики исчисляют статистический показатель – абсо­лютный прирост (Д). Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Она вычисляется по формуле

Δ_ц = у_i – y_i-1 или Δ_б = у_i – y₀

где у_i – уровень i-го года;

у₀ – уровень базисного года.

Например, абсолютное уменьшение продажи консервов за 1994 г. по сравнению с 1993 г. составило: 806 – 891 = -85 млн. усл. банок (табл. 10.1, гр. 2), а по сравнению с базисным 1993 г. продажа консервов в 1997 г. возросла на 760 млн. усл. банок (гр. 3). Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценива­ется отношением текущего уровня к предыдущему или базисно­му, которое всегда представляет собой положительное число. Этот показатель принято называть темпом роста (Т_р). Он выражается в процентах, т.е.

.

Так, для 1997 г. темп роста по сравнению с 1993 г. составил (табл. 10.1, гр. 5).

Темп роста может быть выражен и в виде коэффициента (К_р). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше уровня базисного года или какую его часть он составляет.

Для выражения изменения величины абсолютного приро­ста уровней ряда динамики в относительных величинах опре­деляется темп прироста (Т_пр), который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базис­ному уровню, т.е.

Темп прироста может быть вычислен также путем вычита­ния из темпов роста 100%, т.е. Т_пр = Т – 100.

В нашем примере (табл. 10.1, гр. 6, 7) он показывает, напри­мер, на сколько процентов продажа консервов в 1997 г. возросла по сравнению с 1993 г.: , или 185,3 – 100 = 85,3%.

Показатель абсолютного значения одного процента при­роста(|%|) определяется как результат деления абсолютного при­роста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах, т.е. или 0,01 · у_i-1. Расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе.

Для 1997 г. абсолютное значение 1% прироста (табл. 10.1, гр. 8) равно: 0,01 · 16,37 = 16,37, или млн. усл. банок.

Особое внимание следует уделять методам расчета средних показателейрядов динамики, которые являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорос­ти и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Разли­чают следующие средние показатели: средний уровень ряда ди­намики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Методы расчета среднего уровняряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики с равноотстоящимиуров­нями во времени расчет среднего уровня ряда ( ) производится по формуле средней арифметической простой:

.

В нашем примере средняя продажа мясных консервов за 5 лет составила: млн. усл. банок.

Если интервальный ряд динамики имеет неравноотстоящиеуровни, то средний уровень ряда вычисляется по формуле

,

где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

Для моментного ряда с равноотстоящимиуровнями сред­няя хронологическаярассчитывается по формуле

,

где n – число уровней ряда.

Средняя хронологическая для неравноотстоящих уровней моментного ряда динамики вычисляется по формуле

.

Определение среднего абсолютного приростапроизводится по цепным абсолютным приростам по формуле: или . Среднегодовой абсолютный прирост продажи мясных консервов за 1993-1997 гг. равен: или млн. усл. банок.

Среднегодовой темп роставычисляется по формуле сред­ней геометрической:

,

где m – число коэффициентов роста

Среднегодовой темп ростапродажи мясных консервов за 1993-1997 гг. рассчитаем двумя способами:

;

.

Среднегодовой темп приростаполучим, вычтя из среднего темпа роста 100%. В нашем примере

.

Приемы обработки и анализа рядов динамики.При ана­лизе рядов динамики иногда возникает необходимость смыкания рядов, т.е. объединение двух и более рядов, характеризующих изменение явления, в один ряд. Смыкание необходимо в случа­ях, когда уровни ряда несопоставимы в связи с территориальны­ми или ведомственными, организационными изменениями, из­менением методологии исчисления и т.п. Существует несколько способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду. Например, имеются данные, характеризующие общий объем продукции промышленности в одном из регионов (в фактически действовавших ценах), млн. руб.:

Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 1994 г. определим коэффициент соотношения уровней двух рядов:

.

Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, получа­ем их сопоставимость с уровнями второго ряда, млн руб.:

1991 г. – 20,1 · 1,12 = 22,5;

1992 г. – 20,7 · 1,12 = 23,2;

1993 г. – 21,0 · 1,12 = 23,5.

Получен сопоставимый ряд динамики общего объема про­дукции промышленности (в фактически действовавших ценах, в структуре и методологии соответствующих лет) в одном из реги­онов (в новых границах, млн. руб.):

Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем при­мере уровни 1994 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера в старых и новых границах, т.е. 21,2 и 23,8) принимаются за 100%, а остальные – пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере до изменений – по отношению к 21,2, а после изменений - по отношению к 23,8). В результате получается сомкнутый ряд.

Применив этот способ для нашего примера, получим следу­ющий ряд динамики, характеризующий общий объем продукции региона:

Выявление основной тенденции ряда динамики.Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является опре­деление основной тенденции развития.

При изучении в рядах динамики основной тенденции разви­тия явления применяются различные приемы и методы. Одним из приемов выявления основной тенденции является метод ук­рупнения интервалов.Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месяч­ного выпуска продукции и т.д.

Другой прием – метод скользящей средней.Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметически­ми за определенные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого пери­ода скольжения первого уровня и включением следующего. На­пример, на основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15 месяцев 1996-1997 гг. нужно произвести сглажи­вание ряда методом трехчленной и четырехчленной скользящей средней (табл. 10.2).

Таблица 10.2

Динамика производства стиральных машин и расчет скользящих средних

Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трехчленные суммы, а затем среднюю:

;

и т.д.

Интервал скольжения можно также брать четный (четыре, шесть и т.д.). Нахождение скользящей средней по четному чис­лу членов осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Чтобы ликвидировать этот сдвиг, применяется центрирование, т.е. нахождение сред­ней из средних для отнесения полученного уровня к определен­ной дате. При центрировании необходимо также находить сколь­зящие суммы, скользящие средние по этим суммам и средние из средних. Пример сглаживания ряда методом четырехчленной скользящей средней представлен в табл. 10.2 (графы 4, 5, 6).

Наиболее эффективным способом выявления основной тен­денции развития является аналитическое выравнивание.При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции време­ни: .

Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному многочлену. Выбор функции производит­ся на основе анализа характера закономерностей динамики дан­ного явления.

Рассмотрим применение метода аналитического выравнива­ния по прямой для выражения основной тенденции на следую­щем примере.

В табл. 10.3 приведены исходные и расчетные данные о динамике производства молока в регионе за 1993-1997 гг.

Таблица 10.3

Исходные и расчетные данные для определения параметров системы уравнения (млн. т.)

Годы	Млн. т	t	t2	ty
	13,3 13,5 14,8 16,1 16,6	-2 -1		-26,6 -13,5 16,1 33,2	13,02 13,94 14,86 15,78 16,70	0,28 -0,44 -0,0 -0,32 -0,1	0,08 0,19 0,00 0,10 0,01
Итого	74,3	-		9,2	74,30	-	0,38

Для выравнивания ряда динамики по прямой используем уравнение .

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормаль­ных уравнений для нахождения параметров а₀ и а₁:

где у – исходный уровень ряда динамики;

n – число членов ряда;

t – показатель времени, который обозначается порядковыми номерами, начиная от низшего. Например:

Годы 1993 1994 1995 1996 1997

t 1 2 3 4 5

Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров а₀ и a₁:

;

.

В рядах динамики техника расчета параметров уравнения может быть упрощена. Для этой цели показателем времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е.Σt = 0. В нашем примере число исходных уровней ряда нечетное (n = 5) (табл. 10.3). При этом уравнения системы примут сле­дующий вид:

na₀ = Σy и a₁Σt² = Σty,

откуда: представляет собой средний уровень ряда ди­намики ( );

.

Расчет необходимых значений дан в табл. 10.3. По итоговым данным определяем параметры уравнения:

;

.

В результате получаем следующее уравнение основной тен­денции производства молока в регионе за 1993-1997 гг.:

.

Подставляя в уравнение принятые обозначения t, вычислим выровненные уровни ряда динамики:

1993 г. – = 14,86 + 0,92 (-2) = 13,02;

1994 г. – = 14,86 + 0,92 (-1) = 13,94

и т.д. (см. значения в табл. 10.3).

По окончании расчета основной тенденции целесообразно построить график, на котором следует изобразить исходные дан­ные и теоретические значения уровней ряда.

Однако если число уровней ряда четное, то условное обозна­чение показателя времени принимает следующий вид:

Годы 1992 1993 1994 1995 1996 1997

t -5 -3 -1 +1 +3 +5

(это означает, что счет времени ведется полугодиями).

Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систематические факторы на уровень ряда динамики, а колебле­мость уровней около тренда служит мерой воздействия остаточ­ных факторов. Ее можно измерить по формуле

– среднее квадратическое отклонение.

Используя данные этого примера, рассчитаем показатель колеблемости производства молока в регионе (табл. 10.3):

Относительной мерой колеблемости является коэффициент вариации:который вычисляется по формуле

.

В нашем примере или 1,85%.

При анализе рядов динамики важное значение имеет выявле­ние сезонных колебаний.Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам, Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уров­ни ряда динамики за год или за несколько лет. При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели – индексы сезонности (I_S). Способы определения индексов сезон­ности различны; они зависят от характера основной сезонности ряда динамики.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тен­денция роста незначительна (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на методе постоянной средней:являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца. Это процентное отноше­ние обычно именуется индексом сезонности:

.

Рассмотрим табл. 10.4.

Таблица 10.4

Численность рабочих фирмы по месяцам

В приведенном примере средний уровень ряда составляет:

.

Индекс сезонности составляет для января ; для февраля и т.д. Однако помесячные дан­ные одного года в силу элемента случайности слишком ненадежные для выявления закономерности колебаний. Поэтому на прак­тике для выявления закономерности колебаний пользуются по­месячными данными за ряд лет (в основном не менее 3 лет). Тогда для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем рассчитывается среднемесячный уро­вень для всего ряда и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесяч­ному уровню ряда, т.е.

,

где – средняя для каждого месяца за 3 года;

у – общий средний месячный уровень за 3 года.

Проиллюстрируем этот расчет на условном примере (табл. 10.5).

Для получения значений по способу средней простой (невзвешенной) произведем осреднение уровней одноименных пе­риодов:

Таблица 10.5

Внутригодовая динамика числа расторгнутых браков населением города

по месяцам за 1995-1997 гг.

Месяцы	Число расторгнутых браков	Индекс сезонности
			в среднем за 3 года
Январь				165,7	122,4
Февраль				147,0	108,6
Март				150,7	111,3
Апрель				136,0	100,4
Май				136,0	100,4
Июнь				125,7	92,8
Июль				126,0	93,1
Август				120,7	89,1
Сентябрь				118,0	87,2
Октябрь				128,0	94,5
Ноябрь				131,7	97,3
Декабрь				139,3	102,9
Средний уровень ряда ( )	138,7	135,6	131,8	135,4	100,0

январь ;

февраль ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

декабрь .

Определим осредненные значения уровней ряда у, для каж­дого месяца годового цикла (табл. 10.5):

январь ;

февраль и т.д.

Далее по исчисленным месячным средним уровням определяем общий средний уровень ( ):

где n – число месяцев.

Значение общего среднего уровня можно вычислить также и по итоговым данным за отдельные годы:

где m – число лет;

– сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

И наконец, определим по месяцам года индексы сезонности:

январь ;

февраль и т.д.

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового цикла индексов сезонности характеризует сезонную волну раз­вития числа расторгнутых браков в городе во внутригодовой динамике. Для получения наглядного представления о сезонной волне желательно изобразить полученные данные в виде линей­ной диаграммы. При наличии ярко выраженной тенденции к увеличению или уменьшению уровней из года в год применимы другие способы измерения сезонных колебаний, в частности индексы сезонности определяются на основе методов,которые позволяют исключить влияние тенденции роста (падения).

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений следующий:

1) вычисляют для каждого месяца (квартала) выравненные уровни по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t;

2) берут отношение фактических месячных (квартальных) данных (у_i) к соответствующим им выравненным данным в про­центах:

;

3) находят среднюю из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) в процентах:

;

где n – число одноименных месяцев

4) из полученных 12 помесячных относительных величин ( ) вычисляют общий среднемесячный уровень ( );

5) определяют индексы сезонности по формуле

,

где у_i – исходные уровни ряда,

– выравненные (теоретические) уровни ряда,

n – число годовых периодов

Та же методика расчета индексов сезонности применяется и при использовании метода скользящей средней.

В качестве аналитической формы сезонной волны иногда применяется уравнение следующего вида:

где k – степень точности гармоники тригонометрического многочлена;

t - время.

Это уравнение представляет собой ряд Фурье, где время (t) выражается в радиальной мере или в градусах:

Месяцы (t)

Радиальная мера

π

Градусы

Уровни (уi)

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

y10

y11

y12

Обычно при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают не более четырех гармоник и затем уже определяют, с каким чис­лом гармоник наилучшим образом отражается периодичность изменения уровней ряда.

Например, при k = 1 уравнение Фурье будет иметь вид:

.

При k = 2 соответственно

.

Параметры уравнения выравненных уровней, определяемых рядом Фурье, находят по способу наименьших квадратов. Не излагая здесь вывода, приведем готовые формулы, используемые для исчисления указанных выше параметров уравнения ряда Фурье:

.

Покажем выравнивание по ряду Фурье на условных данных о продаже молока на рынках сельхозпродуктов города (табл. 10.6).

Таблица 10.6

Динамика продажи молока на рынках сельхозпродуктов города и расчет параметров системы уравнения по ряду Фурье

Месяц t	Продано молока, т у	у·cos t	у·sin t
		30,0		35,60
		34,64	20,0	40,51
		21,5	37,24	45,11
			54,00	48,03
		-33,5	58,02	48,55
		-25,11	14,5	46,53
		-35,00		42,52
		-29,44	-17,00	38,25
		-22,50	-38,97	33,05
			-35,00	30,13
		14,50	-25,11	29,61
		24,25	-14,00	31,63
Итого		-20,66	53,68	469,52

В этой же таблице содержатся произведения у·cost, у·sint, необходимые для определения параметров уравнения по первой гармонике.

На основе полученных итоговых данных табл. 10.6 находим:

Отсюда: = 39,08 – 3,44 cost + 8,95 sint.

Подставляя в это уравнение значения cost и sint (из таблицы приложения 11), получаем теоретические значения количества проданного молока (см. табл. 10.6, гр. 5).

Параметры гармоники второго

и высшего порядка рассчитываются аналогично, и их значения последовательно присоединяются к значениям первой гармони­ки. Опустив расчеты, запишем уравнение для выравнивания нашего ряда с учетом второй гармоники:

.

Подставив в уравнение конкретные значения cost, sint, sin2t, cos2t, получим выравненные уровни проданного мо­лока по месяцам. Затем, рассчитав остаточные дисперсии для двух случаев, можно сделать вывод, ка­кая гармоника ряда Фурье наиболее близка к фактическим уров­ням ряда.

При изучении рядов динамики возникает необходимость получения сравнительных характеристик направления и интен­сивности роста одновременно развивающихся во времени явле­ний. Это достигается путем приведения рядов динамики к об­щему (единому) основанию.

По исходным уровням нескольких рядов динамики опреде­ляются относительные величины - базисные темпы роста и прироста. Принятый при этом за базу сравнения период (момент) времени выступает в качестве постоянной базы расчета темпов роста для каждого из изучаемых рядов динамики.

Рассмотрим примерприведения рядов динамики к обще­му основанию на данных о производстве цемента в двух стра­нах, млн. т.:

Различные значения абсолютных уровней приведенных ря­дов динамики затрудняют выявление особенностей производства цемента в стране А и стране Б. Приведем абсолютные уровни рядов динамики к общему основанию, приняв за постоянную базу сравнения 1993 г., и получим данные, в процентах к 1993 г.:

Из этих данных видно, что производство цемента в стране А непрерывно и быстро возрастает, значительно превосходя темпы роста в стране Б. Если в 1997 г. производство цемента в стране А возросло по сравнению с 1993 г. в 2,8 раза, то в стране Б оно увеличилось за это же время в 1,19 раза.

Сопоставив базисные темпы роста производства цемента в стране А и стране Б, получим коэффициент опережения – отно­сительный показатель, характеризующий опережение (больше единицы) или отставание (меньше единицы) в развитии стран: раза, т.е. производство цемента в стране А раз­вивалось за 1993-1997 гг. в 2,36 раза быстрее, чем в стране Б.

При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уров­ней двух рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:а) уровней рядов динамики; б) отклонений фактических от вы­равненных уровней; б) абсолютных разностей.

Первый способ правильно показывает тесноту связи между явлениями лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция, т.е. зависимость между последовательными уровнями ряда динамики.

На условном примере данных об изменении объема собствен­ной продукции фирмы общественного питания и доходов от реализации товаров общественного питания за 1988-1997 гг. рассмотрим применение коррелирования уровней для измерения связи между рядами динамики (табл. 10.7).

Таблица 10.7

Исходные и расчетные данные для определения коэффициента корреляции

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: