Методические указания и решение типовых задач

Исследование вариации в статистике и социально-экономи­ческих исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризу­ет ее однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вари­ации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, сред­ний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также сущ­ность и значение измерения вариации признаков. Следует также усвоить, что изучение вариации признаков общественных явле­ний находится в прямой связи с группировками, в частности с рядами распределения. Очень важно научиться свободно исчис­лять все показатели вариации.

Способы вычисления показателей вариации. Размах ва­риации(R) является наиболее простым измерителем вариации признака.

R = x_max – x_min,

где х_max – наибольшее значение варьирующего признака;

х_min – наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение( ) представляет собой сред­нюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения:

– невзвешенное среднее линейное отклонение;

– взвешенное среднее линейное отклонение.

Символы х_i, , f_i и n имеют то же значение, что и в преды­дущей главе. Рассмотренные выше показатели имеют ту же раз­мерность, что и признак, для которого они вычисляются.

Пример.На основе данных табл. 7.1 рассчитаем среднее линейное отклонение для дискретного ряда распределения.

Решение. Размах вариации стажа равен:

R = 12 – 8 = 4 года.

Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 3-5 табл. 7.1.

Средний стаж работы определяем по формуле средней ариф­метической взвешенной:

Отклонения индивидуальных значений стажа от средней с уче­том и без учета знака содержатся в графах 4 и 5, а произведения отклонений по модулю на соответствующие частоты – в гр. 6.

Таблица 7.1

Распределение учителей средних школ района по стажу работы

Стаж работы, лет xi (признак)	Число учителей в % к итогу fi (вес (частота))	xifi
			-2
			-1
Итого				-

Среднее линейное отклонение стажа работы учителей сред­них школ района

Показатели дисперсии и среднего квадратического отклоне­ния являются общепринятыми мерами вариации и широко ис­пользуются в статистических исследованиях.

Дисперсияпредставляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (обо­значается греческой буквой σ² – «сигма квадрат»). Дисперсия вычисляется по формулам простой невзвешенной и взвешенной:

– невзвешенная;

– взвешенная.

Среднее квадратическое отклонениепредставляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдель­ных значений признака от их средней:

– невзвешенное;

– взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность осредняемого признака.

Пример.Рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для следующего ряда распределения (табл. 7.2).

Таблица 7.2

Распределение магазинов города по товарообороту во II квартале 1998 г.

Группы магазинов по величине товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов fi	Середина интервала, тыс. руб. хi,	xifi
А
40-50				-49,2	2420,64	4841,28
50-60				-39,2	1536,64	6146,56
60-70				-29,2	852,64	5968,48
70-80				-19,2	368,64	3686,40
80-90				-9,2	84,64	1269,60
90-100				0,8	0,64	12,80
100-110				10,8	116,64	2566,08
110-120				20,64	432,64	4759,04
120-130				30,8	948,64	5691,84
130-140				40,8	1664,64	4993,92
Итого				-	-	39936,00

Решение. В приведенных ранее примерах мы имели дело с дискретными рядами. При расчете показателей вариации по интервальным рядам распределения (табл. 7.2) необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальней­шие расчеты, рассматривая ряд середин интервалов как дискрет­ный ряд распределения.

Результаты вспомогательных расчетов для определения дис­персии и среднего квадратического отклонения содержатся в графах 2-6 табл. 7.2.

Средний размер товарооборота определяется по средней арифметической взвешенной и составляет:

Дисперсия товарооборота

Среднее квадратическое отклонение товарооборота опреде­ляется как корень квадратный из дисперсии:

Расчет дисперсии прямым способом в ряде случаев трудо­емок, поэтому логично, используя свойства дисперсии, упростить ее вычисления, например используя расчет дисперсии по спосо­бу отчета от условного нуля или способу моментов по следую­щей формуле:

С использованием начальных моментов формула расчета дис­персии по способу моментов имеет следующий вид:

σ²= k² (m₂ – m₁²),

где k – величина интервала;

А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой;

– начальный момент первого порядка;

– начальный момент второго порядка.

В случае когда А приравнивается к нулю и, следовательно, не вычисляются отклонения, формула принимает вид:

или

Воспользуемся данными предыдущего примера и рассчита­ем дисперсию по способу отсчета от условного нуля и способу моментов. Расчет произведем в табличной форме (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Расчет дисперсии способом отчета от условного нуля

Группы магазинов по товаро­обороту, тыс. руб.	Число магазинов fi	Середина интерва­ла, тыс. руб. xi	xi – A (А = 95)	(k = 10)
40-50			-50	-5	-10
50-60			-40	-4	-16
60-70			-30	-3	-21
70-80			-20	-2	-20
80-90			-10	-1	-15
90-100
100-110
110-120
120-130
130-140
Итого		-	-	-	-8		-

По способу отсчета от условного нуля:

По способу моментов получаем:

По способу разности между средней квадратов вариантов признака и квадратом их средней величины

Результаты расчетов дисперсии по всем трем способам дают одну и ту же величину.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемо­сти одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации.Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вы­числяются как отношение размаха, или среднего линейного от­клонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего, они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превыша­ет 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V):

Коэффициент осцилляции: .

Линейный коэффициент вариации: .

Коэффициент вариации: .

Рассмотрим примеры определения этих показателей.

По данным табл. 7.1, коэффициент осцилляции , а линейный коэффициент вариации .

Коэффициент вариации вычислим на основе ряда распределения, представленного в табл. 7.2: .

Наиболее часто в практических расчетах из этих трех пока­зателей применяется коэффициент вариации.

Статистическое изучение вариации многих социально-эконо­мических явлений проводится и при помощи дисперсии альтер­нативного признака. Обозначим наличие данного признака 1, от­сутствие 0, долю вариантов, обладающих данным признаком, р, а не обладающих им q. Так как ряд р + q = 1, то средняя = р, а дисперсия альтернативного признака σ² = pq, где , n – число наблюдений, m – число единиц совокупности, облада­ющее данным признаком, q = 1 – р.

Определим дисперсию альтернативного признака по следую­щим данным: налоговой инспекцией одного из районов города проверено 172 коммерческих киоска и в 146 обнаружены финан­совые нарушения. Тогда

n = 172, m = 146; ; q = 1 – 0,85 = 0,15; σ² = 0,85 · 0,15 = 0,1275.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупнос­ти в целом часто бывает необходимо проследить количествен­ные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вари­ации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.

Правило сложения дисперсий.Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дис­персию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсияизмеряет вариацию признака во всей со­вокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

Межгрупповая дисперсияхарактеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возни­кающие под влиянием признака-фактора, положенного в основа­ние группировки. Она рассчитывается по формуле:

,

где х_i и n_i – соответственно средние и численности по отдельным группам

Внутригрупповая дисперсияотражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий

.

Существует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгруп­повых дисперсий:

.

Данное соотношение называют правилом сложения диспер­сий.Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или про­верить правильность расчета третьего вида.

Пример.Определим групповые дисперсии, среднюю из груп­повых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по данным табл. 7.4.

Таблица 7.4

Производительность труда двух бригад рабочих-токарей

1-я бригада	2-я бригада
№ п/п	Изготовлено деталей за час, шт. хi			№ п/п	Изготовлено деталей за час, шт. хi
		-2				-3
		-1				-2
						-1

Решение. Для расчета групповых дисперсий вычислим сред­ние по каждой группе:

Промежуточные расчеты дисперсий по группам представле­ны в табл. 7.4. Подставив полученные значения в формулу, по­лучим:

;

.

Средняя из групповых дисперсий

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешен­ную из групповых средних:

Теперь определим межгрупповую дисперсию:

Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дис­персий

.

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

На основании правила сложения дисперсий можно опреде­лить показатель тесноты связи между группировочным (фактор­ным) и результативным признаками. Он называется эмпиричес­ким корреляционным отношением,обозначается η(«эта») и рассчитывается по формуле . Для нашего примера эмпирическое корреляционное отношение .

Величина 0,86 характеризует существенную связь между группировочным и результативным признаками.

Наряду с вариацией индивидуальных значений признака вок­руг средней может наблюдаться и вариация индивидуальных долей признака вокруг средней доли.Такое изучение вариа­ции достигается посредством вычисления и анализа следующих видов дисперсий.

Внутригрупповая дисперсия долиопределяется по формуле

.

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Формула межгрупповой дисперсииимеет вид:

где n_i – численность единиц в отдельных группах;

р – доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяет­ся по формуле

Общая дисперсияимеет вид:

Три вида дисперсии связаны между собой следующим образом:

Данное соотношение дисперсий называется теоремой сложе­ния дисперсии доли признака. Эта теорема широко используется в изучении колеблемости качественных признаков.

Пример.Определим групповые дисперсии, среднюю из груп­повых, межгрупповую и общую дисперсии по данным табл. 7.5.

Таблица 7.5

Численность и удельный вес одной из категорий крупного рогатого скота фермерских хозяйств района

Решение. Определим долю дойных коров в целом по трем хозяйствам:

Общая дисперсия доли дойных коров:

Внутригрупповые дисперсии:

Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Межгрупповая дисперсия:

Используя правило сложения дисперсий, получаем: 0,1025 + 0,0031 = 0,1056. Пример решен правильно.

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и оценку его симметричности, остро- или плосковершинности. Симметричнымназывается распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В статистике для характеристики асиммет­рии пользуются несколькими показателями.

Показатели асимметрии и эксцесса.Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии:

,

где – средняя арифметическая ряда распределения,

Мо – мода;

σ – среднее квадратическое отклонение

При симметричном (нормальном) распределении = Мо, следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если A_s > 0, то больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асиммет­рия.

Если A_s < 0, то меньше моды, следовательно, имеется ле­восторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может из­меняться от -3 до +3.

В практических расчетах часто в качестве показателя асим­метрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е. .

Это дает возможность определить не только величину асим­метрии, но и проверить наличие асимметрии в генеральной сово­купности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независи­мо от знака) считается значительной. Асимметрия меньше 0,25 – незначительная.

Пример.Рассчитаем коэффициент асимметрии по дан­ным о распределении фирм по стоимости основных фондов (табл. 7.6).

Таблица 7.6

Расчет коэффициента асимметрии

Группы фирм по стоимости основных фондов, млн. руб. х	Количество фирм fi	Середина интервала xi	k= 0,5	x’fi	(x’)2fi	(x’)3fi	(x’)4fi
0,5-1,0		0,75	-2	-40		-160
1,0-1,5		1,25	-1	-40		-40
1,5-2,0		1,75
2,0-2,5		2,25
Итого		-	-	-60		-180

Решение. Определяем условные моменты m₁, m₂и m₃, а так­же центральные моменты μ₂ и μ₃, необходимые для вычисления коэффициента асимметрии:

Коэффициент асимметрии для данного ряда

Полученный результат свидетельствует о наличии незначи­тельной правосторонней асимметрии.

Для симметричных распределений может быть также рассчи­тан показатель эксцесса:

.

При симметричном распределении E_k = 0. Если E_k > 0, рас­пределение является островершинным; если E_k < 0 - плосковер­шинным.

Вычислим E_k по данным табл. 7.6, определив вначале вели­чину четвертого центрального момента: . Тогда . Таким образом, исследуемое распределе­ние является островершинным.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпи­рическое распределение к типу нормального распределения.

Построение нормального распределения по эмпирическим данным.Имея дело с эмпирическим распределением, можно предположить, что данному распределению соответствует опре­деленная, характерная для него теоретическая кривая. Выдвинув гипотезу о той или иной форме распределения, стремятся опи­сать эмпирический ряд с помощью математической модели, выражающей некоторый теоретический закон распределения. Среди различных кривых распределения особое место занимает нормальное распределение.

Нормальное распределение чаще всего выражается следую­щей стандартизованной кривой нормального распределения:

,

где у_t – ордината кривой нормального распределения;

– стандартизованная (нормированная) величина;

е и π – математические постоянные:

х_i – значения изучаемого признака,

– средняя арифметическая ряда,

σ – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака.

Как видно из уравнения, два параметра – средняя арифмети­ческая ( ) и среднее квадратическое отклонение (σ) - определя­ют черты симметричной кривой нормального распределения. В зависимости от их значения она может иметь разный центр груп­пирования, быть более удлиненной или сжатой.

Пример.Рассчитаем значения частот теоретического ряда распределения на основании эмпирических данных об урожай­ности зерна в 500 фермерских хозяйствах, представленных в табл. 7.7.

Таблица 7.7

Расчет теоретических частот нормального распределения

Урожай­ность, ц/га	Сере­дина интер- вала xi	Кол-во хоз-в fi	xifi						Теоретические частоты
А
До 38,25	38,0		76,0			-3	-3	0,004
38,25-38,75	38,5		115,0			-2,5	-2,5	0,017
38,75-39,25	39,0		390,0			-2,0	-2,0	0,054

Продолжение таблицы 7.7

Для данного эмпирического распределения находим сначала значения = 41 ц/га и σ = 1,0 (они рассчитаны обычным спосо­бом и не воспроизведены в табл. 7.7).

Затем находим отклонения х_i – (табл. 7.7 гр. 6) и стандар­тизованные отклонения (табл. 7.7 гр. 7) для данного варианта. Значения же теоретической частоты для нее исчисляются по известной уже формуле: .

Так как величина остается одной и той же для всего распределения с равными интервалами, в частности в нашем примере , то достаточно ее найти один раз и умножить на величину φ(t) при данном t, тогда получим искомую теоретическую частоту (табл. 7.7 гр. 9).

Критерии согласия.Количественная характеристика соответ­ствия может быть получена с помощью особых статистических показателей-критериев согласия. Известны критерии согласия К. Пирсона (хи-квадрат), В.И. Романовского, Б.С. Ястремского и А.Н. Колмогорова.

Критерий согласия Пирсона(χ²) вычисляется по формуле

,

где f_Э и f_T – эмпирические и теоретические частоты соответственно.

С помощью величины χ² по специальным таблицам прило­жения определяется вероятность Р (χ²). Входами в таблицу явля­ются значения χ² и число степеней свободы γ = n – 1. На основе Р выносится суждение о существенности расхождения между эм­пирическим и теоретическим распределениями. При Р > 0,5 счи­тается, что эмпирическое и теоретическое распределения близ­ки. При РÎ(0,2; 0,5) совпадение между ними удовлетворитель­ное, в остальных случаях недостаточное.

Критерий Романовского(С), также используемый для про­верки близости эмпирического и теоретического распределений, определяется следующим образом:

,

где χ² – критерий Пирсона:

γ – число степеней свободы.

При С < 3 различие несущественно, что позволяет считать эмпирическое распределение близким к нормальному.

Критерий Ястремского(L) может быть найден на основе следующего соотношения:

,

где N – объем совокупности:

pq – дисперсия альтернативного признака;

k – число вариантов или групп;

Q – принимает значение 0,6, при числе вариантов или групп от 8 до 20.

Если L < 3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

Критерий Колмогорова(λ) вычисляется по формуле

,

где D – максимальное значение разности между накопленными эмпиричес­кими и теоретическими частотами;

Σf – сумма эмпирических частот.

Необходимым условием использования этого критерия явля­ется достаточно большее число наблюдений (не меньше ста).

Пример.Рассчитаем критерии Колмогорова и Пирсона по данным табл. 7.8.

Таблица 7.8

Расчет критерия Колмогорова по данным об урожайности зерновых

в 500 фермерских хозяйствах

Как видно из табл. 7.8, максимальное значение разности между эмпирическими и теоретическими частотами составляет 7, т.е. D=7.

Следовательно, в нашем примере величина критерия Колмо­горова

.

По таблицам вероятностей Р (λ) определяем, что λ = 0,31 соответствует Р(х), близкая к 1,00. Это означает, что с вероятно­стью, близкой к 1, можно утверждать, что отклонения фактичес­ких частот от теоретических в нашем примере являются случай­ными. Следовательно, можно считать, что в основе фактического распределения фермерских хозяйств по урожайности лежит нормальное распределение.

Этот же вывод подтверждается расчетом χ²-критерия Пирсо­на (табл. 7.9).

Таблица 7.9

Расчет критерия Пирсона по данным об урожайности зерновых

в 500 фермерских хозяйствах

Урожайность, ц/ га хi	Частоты распределения ряда	fЭ – fТ
эмпирические fЭ	теоретические fТ
До 38,25	2	1
38,25-38,75
38,75-39,25				1,70
39,25-39,75				0,03
39,75-40,25				2,00
40,25-40,75				0,05
40,75-41,25				0,16
41,25-41,75				0,01
41,75-42,25				0,02
42,25-42,75				0,78
42,75-43,25				0,10
43,25-43,75	3	4		0,20
Свыше 43,75
Итого			-	5,05

Из данных табл. 7.9 видно, что χ^{2 =} 5,05. По таблицам веро­ятностей Р(χ²) = 0,9834. Таким образом, эмпирическое и теоре­тическое распределения близки.

Критерий Романовского . Следовательно, теоретическое распределение эмпирического ряда удов­летворительное.

Для характеристики структуры вариационных рядов приме­няются показатели особого рода, которые можно назвать струк­турными средними.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: