Двухосное напряженное состояние

Рассмотрим тонкую пластину, нагруженную по внешнему контуру силами, параллельными плоскости Oxy и равномерно распределенными по толщине h (рис.4.4). На внешних ненагруженных плоскостях пластины нормальные и касательные напряжения равны нулю (s_z = t_уz = t_zx = 0). Так как толщина пластины мала, можно считать, что и во внутренних точках пластины на площадках, параллельных плоскости Oxy, эти напряжения отсутствуют и указанные площадки являются главными. Такое напряженное состояние называется двухосным или плоским напряженным состоянием.

На рис.4.5 показаны нормальные и касательные напряжения s_х , s_у , s_z, t_ху , t_ух , действующие на гранях элементарного параллелепипеда со сторонами dx, dy, h, выделенного в окрестности произвольной точки пластины. При этом t_ху = t_ух.

Рис4.4	Рис.4.5

В дальнейшем будем рассматривать только площадки, перпендикулярные к плоскости Oxy.

Выделим в окрестности рассматриваемой точки пластины элементарную призму ABC (рис.4.6) и определим нормальные и касательные напряжения s_n и t_tn на площадке AB, нормаль n к которой наклонена к оси Ox под углом a. Обозначим через dF, dF_x, dF_y, площади наклонной, вертикальной и горизонтальной граней призмы.

Рис4.6	Рис.4.7

Составим уравнение проекций сил на нормаль n к площадке AB.

Полагая в этом равенстве t_ху = t_ух и учитывая, что , , после сокращения на общий множитель dF , получим

Аналогично из уравнения проекций сил на направление t получим

Точно также можно определить нормальное и касательное напряжения s_t и t_nt на площадке, перпендикулярной к AB. В результате получим формулы для напряжений на двух взаимно перпендикулярных наклонных площадках (рис.4.7)

(4.4)

Сложив выражения для s_n и s_t , получим

.

(4.5)

Заметим, что при трехосном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений, действующих на любых трех взаимно перпендикулярных площадках, также постоянна и называется первым инвариантом тензора напряжений:

(4.6)

Исследуем на экстремум нормальное напряжение s_n как функцию угла a:

Откуда найдем:

(4.7)

Аналогичный результат получим при исследовании на экстремум напряжения s_t Отсюда следует, что нормальные напряжения имеют экстремальные значения на двух взаимно перпендикулярных площадках, на которых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки, как было отмечено в § 4.1, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, - главными напряжениями, при этом s₁ = s_max, s₂ = s_min.

Формула (4.7) дает возможность найти углы наклона нормалей 1 и 2 главных площадок к оси Ox (рис.4.8).

Рис4.8	Рис.4.9

Для определения величин главных напряжений необходимо в первых двух формулах (4.4) выразить с помощью известных формул тригонометрии sin²a, cos²a, sin2a через tg2a с использованием выражения (4.7). В результате получим формулы для двух главных напряжений

(4.8)

Формулы для углов, определяющих положение главных площадок, удобнее записать с использованием главных напряжений s₁ и s₂ . Приведем эти формулы без вывода:

(4.9)

Для определения экстремальных значений касательных напряжений и положения площадок, на которых они действуют, запишем формулы (4.4) для напряжений на наклонной площадке, взяв в качестве исходных главные направления 1 и 2 (рис.4.9,а). Учитывая, что на главных площадках касательные напряжения равны нулю, получим

(4.10)

Из (4.10) следует, что касательные напряжения достигают своих экстремальных значений на площадках, расположенных под углами ±45^о к главным площадкам. При этом величина наибольшего касательного напряжения равна

(4.11)

Нормальные напряжения на этих площадках согласно (4.10) равны

(4.12)

Рассмотрим два частных случая.

Чистый сдвиг.

Положив в формуле (4.8) s_х = s_у = 0, а t_ху = t, найдем величины главных напряжений при чистом сдвиге: s_1,2 = ± t. Зная s_1,2 , найдем из (4.9) углы наклона главных площадок :

a₁ = 45° , a₂ = - 45° .

Рис4.10	Рис.4.11

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: