Определение осевых перемещений

При центральном растяжении и сжатии прямого стержня поперечные сечения, оставаясь плоскими, получают осевые перемещения u (рис.3.7). Они считаются положительными, если их направление совпадает с положительным направлением оси Ox.

Рассмотрим осевые перемещения двух произвольных сечений, отстоящих на расстоянии Dx друг от друга (рис.3.11). После приложения нагрузки эти сечения получают перемещения соответственно u и u + Du. Длина отрезка Dx после деформации составляет Dx₁ = Dx + (u + Du) - u = Dx + Du , а величина удлинения равна Dx₁ - Dx = Du .

Относительная продольная деформация волокон стержня в сечении x представляет собой предел отношения удлинения Du к первоначальной длине Dx при стремлении последней к нулю:

.

(3.10)

Проинтегрировав это соотношение в пределах от 0 до x, получим формулу для определения осевого перемещения произвольного сечения: .
Рис.3.11

Обозначив в начальном сечении x = 0 u(0) = u₀, получим, что постоянная интегрирования C равна u₀ . В результате имеем

.

Учитывая, что на основании (3.6) и (3.5) линейная деформация равна

,

получим следующую формулу :

.

(3.11)

Величина EF называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии.

Формула (3.11) позволяет установить характер изменения u(x). Для частного случая, когда жесткость EF и продольная сила N являются постоянными величинами, осевые перемещения изменяются по линейному закону.

.

На участке, где EF = const, а N является линейной функцией, осевые перемещения изменяются по закону квадратной параболы.

Если начальное сечение x = 0 закреплено, то u₀ = 0. Из соотношения (3.10) следует, что в сечении, где e равно нулю (N = 0), u(x) может иметь экстремум.

Удлинение или укорочение стержня длиной l (рис.3.7) равно разности осевых перемещений его концов x = 0 и x = l : Dl = u(l) - u₀. Согласно формуле (3.11), получим:

.

(3.12)

Для частного случая EF = const и N = const, получим

.

(3.13)

Для стержня с постоянной жесткостью EF и линейным законом изменения продольной силы N при определении Dl удобно использовать геометрический смысл определенного интеграла и привести формулу (3.12) к следующему виду:

,

(3.14)

где W_N – площадь эпюры N на участке от 0 до l.

Рис.3.12

Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Для решения таких задач необходимо составить дополнительные уравнения исходя из рассмотрения деформированного состояния стержня или стержневой системы.

Примеры решения статически неопределимых задач, рассмотрены в практикуме.

В статически неопределимых системах внутренние усилия и напряжения могут возникнуть не только при силовом, но и при тепловом воздействии (нагреве или охлаждении), а также при монтаже в случае неточного изготовления отдельных элементов и при смещении (осадке) опор.

Рассмотрим, например, закрепленный с двух сторон стержень постоянного поперечного сечения, подвергаемый нагреву на величину T (рис.3.16,а). Закрепления препятствуют свободному удлинению стержня. В силу этого возникают две равные по величине и противоположные по направлению опорные реакции R₁ = R₂ = R. Статически неопределимый стержень при нагреве испытывает сжатие силой N = - R .

Для определения продольной силы и напряжений в стержне используем условие его деформации: Dl = Dl_R + Dl_T = 0, где Dl_R = - Rl/EF - возможное укорочение стержня от действия продольной силы N = -R (рис.3.16,б) и Dl_T = alT - возможное его удлинение при нагреве (рис.3.16,в), где a - коэффициент линейного температурного расширения материала.

Рис.3.16

Составим уравнение относительно R, решив которое получим:

, ,

,

.

(3.15)

Напряжения в стержне прямо пропорциональны коэффициенту a, модулю упругости материала E и величине температуры T.

При охлаждении статически неопределимого стержня он будет испытывать растяжение.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: