КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕЛИТЕЛЕЙ И КРАТНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ, ЗАДАННЫХ В КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Каноническое разложение многочлена

Пусть P[x] = { a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ | a_iÎ P }. – кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля Р. По теореме (Теорема 6.1.) всякий многочлен из кольца P [x] степени n (n ¹0) может быть представлен в виде произведения неприводимых над полем P многочленов p_i (x): f(x) = p₁(x) × p₂(x)× . . .× p_l(x), p_i (x) Î P[x], 1 £ i £ l (*).Но многочлены p_i (x) в произведении (*)могут повторяться (быть кратными), их можно объединить в виде степеней:

где k₁ + k₂ + k₃ +…+ k_s = n (deg f(x)).

Определение 7.1.

Представление многочлена f(x) п-й степени ( п > 0) из P[x]

в виде где p_i (x) - неприводимые над полем P многочлены и k₁ + k₂ + k₃ +…+ k_s = n (deg f(x)) называется каноническим разложениеммногочлена f(x) над полем Р (канонической формой многочлена f(x)).

Замечание: неприводимые многочлены p_i (x) располагают по убыванию их степеней.

Пример 7.1. Многочлен f(x) = х³– 1 – приводим над полем действительных чисел R, т.к. он предствим в виде произведения f(x) = х³ – 1 = (х - 1)(х² + х +1). Расположив многочлены по убыванию их степеней получим каноническую форму многочлена f(x) = х³– 1 = (х² + х +1)(х - 1).

Пример 7.2. Дан многочлен f(x) = (x + 1)(x + 2)(x² + 1)(x² + 3x+ 2)(x³ + 3) над полем действительных чисел R. Вид, в котором дан многочлен, не является представлением в виде произведения неприводимых над полем R многочленов, т.к. один из сомножителей приводим над полем R: (x² + 3x+ 2) = (x + 1)(x + 2). Подставив разложение многочлена (x² + 3x+ 2) в представление f(x), получим:

f(x) = (x + 1)(x + 2)(x² + 1)(x² + 3x+ 2)(x³ + 3) = (x + 1)(x + 2)(x² + 1)(x + 1)(x + 2) (x³ + 3) = (x + 1)²(x + 2)²(x² + 1)(x³ + 3) - представление в виде произведения неприводимых над полем R многочленов, расположив многочлены по убыванию их степеней, получим каноническую форму многочлена f(x) = (x³ + 3) (x² + 1) (x + 1)²(x + 2)².

Представление многочленов в канонической форме даёт возможность легко найти все делители, кратные многочленов, а также наибольший общий делитель d(x) и наименьшее общее кратное m(x) нескольких многочленов.

1. Все делители многочлена заданного в каноническом виде (Определение 7.1.)легко выписать, записав вначале все неприводимые многочлены p_i (x), затем все их степени от 1 до k₁, затем все их сочетания вплоть до .

Пример 7.3. Дан многочлен f(x) = (x³ + 3) (x² + 1) (x + 1)²(x + 2)² над полем действительных чисел R. Найти все его делители.

Делители многочлена f(x):

(x³ + 3), (x² + 1), (x + 1), (x + 2), (x + 1)², (x + 2)²;

(x³ + 3) (x² + 1), (x³ + 3) (x + 1), (x³ + 3) (x + 2), (x³ + 3) (x + 1)² ,(x³ + 3) (x + 2)²,

(x² + 1) (x + 1), (x² + 1) (x + 2), (x² + 1) (x + 1)², (x² + 1) (x + 2)², (x + 1) (x + 2), (x + 1) (x + 1)², (x + 1) (x + 2)², (x + 2) (x + 1)², (x + 2) (x + 2)², (x + 1)²(x + 2)²;

(x³ + 3) (x² + 1) (x + 1), (x³ + 3) (x² + 1) (x + 2), (x³ + 3) (x² + 1) (x + 1)², (x³ + 3) (x² + 1) (x + 2)², (x² + 1) (x + 1) (x + 2), (x² + 1) (x + 1) (x + 1)², (x² + 1) (x + 1) (x + 2)²,

(x + 1) (x + 2) (x + 1)², (x + 1) (x + 2) (x + 2)²;

(x³ + 3) (x² + 1) (x + 1) (x + 2), (x³ + 3) (x² + 1) (x + 1) (x + 1)², (x³ + 3) (x² + 1) (x + 1) (x + 2)², (x² + 1) (x + 1) (x + 2) (x + 1)², (x² + 1) (x + 1) (x + 2) (x + 2)², (x + 1) (x + 2) (x + 1)² (x + 2)²;

(x³ + 3) (x² + 1) (x + 1) (x + 2) (x + 1)², (x³ + 3) (x² + 1) (x + 1) (x + 2) (x + 2)², (x³ + 3) (x² + 1) (x + 1) (x + 1)² (x + 2)^2., (x³ + 3) (x² + 1) (x + 1) (x + 1)² (x + 2)², (x³ + 3) (x + 1) (x + 2) (x + 1)²(x + 2)², (x² + 1) (x + 1) (x + 2) (x + 1)² (x + 2)²;

(x³ + 3) (x² + 1) (x + 1) (x + 2) (x + 1)² (x + 2)².

2. Все кратные многочлена заданного в каноническом видеможно записать в виде , где j(х) – любой многочлен, заданный над полем действительных чисел R.

3. Наибольший общий делитель d(x) нескольких многочленов, заданных над полем действительных чисел R в канонической форме

……………………………..

, можно записать, сообразив, что их наибольший общий делитель d(x) будет иметь в своём каноническом представлении многочлены – множители p_i (x) в наименьших из степеней. Т.е.

d(x) = (f₁(x), f₂(x), f₃(x), f_n(x))= где d_i= min( ).

4. Наименьшее общее кратное m(x) нескольких многочленов, заданных над полем действительных чисел R в канонической форме

……………………………..

, можно записать, сообразив, что их наименьшее общее кратное m(x) будет иметь в своём каноническом представлении многочлены – множители p_i (x) в наибольших из степеней. Т.е.

m(x) = [f₁(x), f₂(x), f₃(x), f_n(x)]= где m_i= max( ).

Пример 7.3. Даны многочлены над полем действительных чисел R.

f(x)=(x+1)³(x+2)²(x²+3)⁴,

g(x)=(x+1)(x+2)³(x+3)(x-4)³(x²+3)².

Найдём их наибольший общий делитель d(x) и наименьшее общее кратное m(x).

Сначала нужно записать их канонические представления так, чтобы оба многочлена содержали одни и те же множители:

f(x)=(x+1)³(x+2)²(x²+3)⁴(x+3)⁰(x-4)⁰= (x²+3)⁴(x+1)³(x+2)²(x+3)⁰(x-4)⁰,

g(x)=(x+1)(x+2)³(x+3)(x-4)³(x²+3)²= (x²+3)²(x+1)¹(x+2)³(x+3)¹(x-4)³.

Тогда d(x) = (f(x), g(x))= где d_i= min( ), т.е.

d(x) = (f(x), g(x))= (x²+3)²(x+1)¹(x+2)²(x+3)⁰(x-4)⁰,

m(x) = [f (x), g(x)]= где m_i= max( ), т.е.

m(x) = [f (x), g(x)]= (x²+3)⁴(x+1)³(x+2)³(x+3)¹(x-4)³.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Задача1. Найти каноническое разложение многочлена f(x) = 6 x⁶ – 12 x³ + 6 над полем R.

Решение.

f(x) = 6 x⁶ – 12 x³ + 6 = 6 ( x⁶ – 2 x³ + 1) = 6 (x³ – 1)² = 6 ( x – 1)² ( x² + x + 1)² = 6( x² + x + 1)²( x – 1)².

Задача 2. С какой кратностью многочлен g(x) = x + 2 входит в каноническое разложение многочлена f(x) = x⁵ + x⁴ – 8 x³ – 8 x² + 16 x + 16 над полем R ?

Решение.

К многочленам применим алгоритм деления с остатком. Так как многочлен g(x) – первой степени, то воспользуемся схемой Горнера ( при х_о = – 2) :

Итак, f(x) = ( x + 2)² ( x³ – 3 x² + 4) = ( x + 2)² ( x + 1) ( x – 2)².

Ответ: многочлен g(x) = x + 2 входит в каноническое разложение многочлена f(x) с кратностью k = 2.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

В примерах 175 – 180данные многочлены приведите, если это возможно, к канонической форме над полем Q и над полем R .

175.f(х) = x⁴ – 9. 176.g(х) = x³ – 0, 001.177.h(х) =3 x² – x – 4.

178.j(x) = x³ – x² – 2 x + 2.179.t (х) = x³ + 5.180.s(х) = x² + 3.

В примерах 180 – 183данные выражения представьте в канонической форме над полем R :

181.( x³ – 3 x² + 2 x) (x⁴ – 1) (x⁴ – 8 х).

182.(x² – 1)³ (x³ + 1)² (x² + х + 1) (x² – х + 1)³ .

183.(x³ – х)² (x⁵ – x² ) (x² – 2х ) (x² – 4)² .

184.(x⁴ – 16 )² (x³ + 4x ) (2 – х )² (x² + 2 х )³ .

185.Представьте многочлен f(х) = x⁹ – 3 x³ – 2 в канонической форме над полем Q.

186.Найдите наибольший общий делитель d(x) и наименьшее общее кратное т(х) выражений f(х) = x (x + 1)³ (x – 1)³ (x² + 1) и g(х) = (x+1)² (x – 1)⁴ (x – 3) (x² + 1)².

В примерах 187 – 196данные пары выражений f(х) и g(х) представьте в канонической форме над полем R , а затем найдите их наибольший общий делитель d(x) и наименьшее общее кратное т(х)

187.f(х) = (x³ – 1) (x² – 2 х + 1) и g(х) = (x² – 1)³ .

188.f(х) = (x² – 9) (x² – 4 х + 3) (x – 1)² и g(х) = (x² – 3 х )³ (x² – 1) .

189.f(х) = (x² – 1) (x² – х) (x + 1)² и g(х) = (x⁴ – 1)² (x² – 2 х + 1) (x – 3) .

190.f(х) = (x² – 16) (x – 5) и g(х) = (x² + 16) (x + 5).

191.f(х) = (x³+8) (x² + 4 х + 4) (x² – 4) и g(х) = (x² +2 х )² (x² –2 х ) (x² +2 х +4)

192.f(х) = (9x² –16) (4 –3 х)³ (х – x² )³ и g(х) = (3x²+4 х)² (x²– х)² (9x²–24х +16)

193.f(х) = (1 + x³) (1 – x⁴ )² и g(х) = (x² + 1)³ (x³ – 1)² .

194.f(х) = (x² + х – 6)² (x²+ 4х +3) (х³ + x² )³ и g(х) = (x² – х – 2)² (x² – 2 х) (x² + 6 х + 9)².

195.f(х) = (9 x² – 30 х + 25)³ (9 x² – 25) (3 x² – 8 х + 5) и

g(х) = (3 x² – 2 х – 5)³ (x – 1) (x³ + 6 x² + 9 х + 4).

196.f(х) = (4 + x²) (1 – x³ )² и g(х) = (x² – 4) (x³ + 1) .

В примерах 197 – 202определите показатель кратности неприводимого над полем R множителя р(х) данного выражения f(х) .

197.р(х) = х – 2, f(х) = (x² – 4 х + 4) (x³ – 3 x² + х + 2 ).

198.р(х) = x² + 1, f(х) = (4 x² + 4)² (x³ – 3 x² + х – 3 ) (x⁶ + 1).

199.р(х) = x – , f(х) = (x² + 4) (x² – 4) (x² – 2)² .

200.р₁(х) = х –1, р₂(х) = 3x +4, f(х) = (3x² + x – 4) (x² + x – 2) (x³ – x² + х – 1).

201. р₁(х) = х +1, р₂(х) = x² +2, f(х) = (5x³ + 5x²) (x³+2x² + х) (x³ + x² +2х + 2).

202. р(х) = x² – х + 2, f(х) = (x⁴ – 2 x³+5 x² – 2 х + 4) (x² – х – 2)².

ОТВЕТЫ

1.Являются: 1), 3) , 4) , 7) , 10).

2.1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) s – 1; 5) 0.

3.a) Многочлены над полем Q: 1), 2) , 5) ;

б) многочлены над полем R: 1), 2) , 3) , 4) , 5), 7);

в)многочлены над полем C: 1), 2) , 3) , 4) , 6) , 7).

4. 1) 4 x⁵ + 4 x⁴ – 8 x² – 6 x + 1 и 4 x⁵ – 4 x⁴ – 6 x³ + 4 x² – 8 x + 5;

2) 3 x⁴ и 3 x⁴ – 4 x³ – 10 x² + 2 x – 8.

5.1)2 x⁴ – 7 x³ – 5 x² + 14 x + 8;

2) 2 x⁵ – 11 x⁴ + 5 x³ + 14 x² – x – 3;

3) x⁶+ 8.

7.2x² + 2x + 2.

8.3x³ – 4 x² – x + 2.

9.x + 3.

10.x⁴ + x³ – 3 x² – 2 x + 1.

11.3 x² – x – 2.

12.1)q(x) = x² – 2 x – 7. Указание: положите q(x) = а x² + b x + c. 2) q(x) = 3 x² – x – 1. Указание: положите q(x) = а x² + b x + c.

20.1) Нет; 2)нет;3)да;4)нет.

21.q(x) = 4 x³ + 3 x² + 3 x +5, r = 7.

22.q(x) = 5 x² – 3 x – 5, r(x) = 5 x + 4.

23.q(x) = 3 x²+ 5 x – 4, r(x) =11x – 2.

24.q(x) = 2 x²+ 3 x + 11, r(x) = 25 x – 5.

25.q(x) = x – , r(x) = – x – .

26.q(x) = 4 x² – (3 + 4 i ) x + ( – 1 + 7 i ), r = 8 – 6 i.

27.1)q(x) = 5 x² + x – 1, r(x) = 4 x + 7; 2)q(x) = 2 x² + x – 2, r(x) = x² – 3 x + 5. 28.1)g (x) = x² – x + 2; 2) 4x³ + x + 2.

29.1)10; 2)27; 3) – 3 a³ – a² – a + 7; 4)11 – 22 i.

30.1)22; 2) 0; 3)1.

31.1)– 5 x³ + 3 x² + 7 x + 4; 2)5 (x – 3)³ + 3 (x – 3)² – 7 (x – 3) + 4;

3)5 (2x) ³ + 3 (2x) ² – 7 (2x) + 4; 4)5 (3x + 1)³ + 3 (3x + 1)² – 7 (3x + 1) + 4.

32.q(x) = 4 x² + 7 x + 14, r = 10.

33.q(x) = 2 x⁴ + 5 x³ + 5 x² + 4 x – 1, r = 7.

34.q(x) = x³ – x² + 3 x – 3, r = 5.

35.q(x) = 16 x⁴ – 12 x³ + 6 x² – 4 x + 2, r = 1.

36.q(x) = 2 x⁴– 6 x³+ 13 x²– 39 x +109, r(x) = – 327.

37.q(x) = 4 x³– 3 x²+ x–1, r= 3.

38.q(x) = x⁵ – x⁴ – x³ + x² + x – , f (– ) = r= – .

40.q(x) = 4 x³ – 4 x² + x , r = – 2.

41.q(x) = 3 x³ – 8 x² + 16 x – 33, r = 67.

42.q(x) = 4 x³ + 3 x² + 9 x + 17, r = 0.

43.q(x) = x³ + x² + x + 1, r = 0.

44.197.

45.136.

46.7 – 3 i.

47. –1 – 44 i.

48.1)f (1) = 2, f (– 2) = 107, f (–1) = 0; 2)f (0) = – 3, f (1) = – 3, f (2) = 165, f (3) = 1515.

49.q(x) = 2 x³ – 4x² + 8 x –19, r = 43 и f (3) = 158. 50.q(x) = 3 x³ – 9x² + 28 x – 92, r = 276 и j (2) = 36. 51.q(x) = 3x² + x +2, r = – 4 и g(– 3) = – 134. 52.q(x) = 7 x⁴ + 4 x³ + 4x²+ 6 x + 5, r = 0 и h (– 2) = – 267. 53. 1)x₀ = 2 ;2)x₀ = – 2 ;3)x₀ = 1.54.– 1. 55 .– 2. 56.– 3. 57.– 6. 58.Нет целых корней. 59.7. 63.(x – 1) (x + 1) (x – 5).64.(x + 1) (x – 2) (x + 3).65.(x – 1) (x – 2) (x – 3). 66.(x + 1) (x – 2) (2x – 1).67.(x – 1)² (x – 2) (x – 3).68.(x – 2) (x² – x + 1).69.(x – 1) (x – 3) (x² + 2).70.(x – 1) (x + 1) (x – 2) (x + 2).71. 1) k = 3; 2) k = 2;3) k = 4; 4) k = 3;5) k = 4;6) k₁= 2 и k₂= 1. 72.m =– 4. 73.p = 46. 74.m =1, n = – 2. 75.a = 2, b = – 1.76.a = – 1, b = 0.77.a = – 5. 78.a = 3, b = – 4.79.f(x) = 4x⁴– 27x³+ 66x²– 65x + 24.

80.f(x) = x⁴ – 3 x³ – 6 x² + 28 x – 24.81. 1)U(x) = – 3 x + 4, V(x) = 3 x² + 2 x + 1; 2)U(x) = 9 x² – 26 x – 21, V(x) = – 9 x³ + 44 x² –39 x – 7.82. 1)f(x) = x, 2)f(x) =x² +1.

84.d(x) = x (x – 1).85. 1)d(x) = 1; 2)d(x) = 1; 3)d(x) = x – 1.86. 1)2 x –3; 2)x² + 1; 3)1; 4)x + 3.87.1. 88. x + 1. 89. x – 1. 90. x² +1. 91. x² + x +1.

92. x + 3. 93.1. 94. x² + 1. 95. x + 1.96. x² – 2 x + 2. 97. x³ + 1. 98. 1)x³ – x +1;

2)x² – 1.99.U(x) = x – , V(x) = – x + .

100. 1)d(x) = 1,U(x) = a x + b = – 3 x + 4, V(x) = c² + d x +e = 3 x² + 2 x +1; 2)d(x) = 1,U(x) = – (2 x² + 3 x), V(x) = (2 x³ + 5 x² – 6 ).

108. 1) (x – 1)² (x² + 2); 2)x (x² – 4).109.d(x) = x² – 2,U(x) = – x – 1, V(x) = x + 2.

110.d(x) = x³ + 1,U(x) = – 1, V(x) = x + 1.

111.d(x) = 1,U(x) = 3 – 2 x, V(x) = 2 x² – 3 x + 4.

112.d(x) = 1,U(x) = – x – 1, V(x) = x³ + x² – 3 x – 2.

113.d(x) = x³ + 2,U(x) = 1 – x², V(x) = x³ + 2 x² – x – 1.

114.d(x) = x – 1,U(x) = 0,2, V(x) = – 0,2(3 x + 2).

115.d(x) = 1,U(x) = 0,1 (x – 3), V(x) = 0,1 (1 + 3 x – x²).

116.d(x) = 1,U(x) = (2 – x), V(x) = (x – 1)² .

117.d(x) = x – 1,U(x) = 0,1, V(x) = 0,1 (3 – 2 x).

118.d(x) = 1,U(x) = (2 x – 1), V(x) = (x – 2 – 2 x² ).

119.d(x) = 1,U(x) = (2 x – 1), V(x) = (x – 19 – 6 x² ).

120.d(x) = 1,U(x) = – (5 x +1), V(x) = (5 x³ – 4 x² – 11 x + 23).

121.d(x) = 3 x + 2,U(x) = 1 + x – x², V(x) = x³ + 2 x² – 5 x – 4.

122.d(x) = 1,U(x) = (3 x + 2), V(x) = – (6 x² + 7x + 29).

123.d(x) = x³ + 1,U(x) = (6x² + 9x – 28), V(x) = – (2 x + 3).

124.d(x) = x² – 2 x + 2,U(x) = (4 – 45 x – 6 x²), V(x) = (2 x + 15).

125, 128, 130– взаимно простые многочлены. 136.x (x – 2)² (x + 2).

137.d(x) = x + 3, m(x) = (x +3)² (x – 3).138. 2 x⁴ – 2 x³ – x² + 15 x – 14.

139. 2 x⁴ – 4 x³ + x² + x – 6.140. x⁴ – 3 x³ – 7 x² + 27 x – 18.

141. 3 x⁶ – 4 x⁵ + 10 x⁴ – 12 x³ + 9 x² – 18 x + 2.

144. 1)x²(x – 2)² ; 2)x²(x – 1)² (x – 3)³ (x + 1).

145. a) 1), 2), 4), 5), 9), 11); б) 1), 2), 5), 9), 11);в) 1), 2), 9).

146.(x – 1)(x² – 2 x + 2). 147.(x – 1) (x – 2) (x – 3).148.(x + 1) (x – 2) (x – 3).149.(x – 1)² (x + 1) (x – 4).

150.(x – 1) (x – 2) (x + 4).151.(x – 2) (x – 3) (x – 4).152.(x – 3) (x – 4) (x – 5).

153(x – 1)² (x² + x + 1). 154.(x + 1) (x + 2)² (x + 3).155.(x + 1)(x² – x + 2). 156.(x +2)(x² – 2 x + 5).157.(x² – x + 2)(x² + x + 2).

158. (2 x – 1 – )(2 x – 1 + ) (2 x + 1 – )(2 x + 1 + ).

159.(x +1)(3x² –3x+1).160.(x + – )(x+ + )(x – – )(x– + ).

161.(x² – 2 x + 2)(x² + 2 x + 2).162.(x² – x + 1)(x² + x + 1).

163.(x² – x + 1)(x² + x + 1).164.(x² – x + 4)(x² + x + 4).

165.(x – 1) (x + 1) (x² – x + 1)(x² + x + 1).166.(x² – 3 x + 3)(x² + 3 x + 3).

167.(x² + – 1)(x² + + 1).168.Неприводим над R .

169.f(x) =(x–1) (x +1) (x² +1)-над Q, и R; f(x) =(x –1) (x +1) (x – i) (x + i) –над C.

170.j (x) =(x² – 5) (x² + 2)-над Q; j (x) =(x – ) (x + ) (x² +2)–над R;

j (x) =(x – ) (x + ) (x – i) (x + i) –над C.

171.g (x) = (x² + 3)(x² – 3 x + 3)(x² + 3 x + 3) -над Q, и R;.g (x) = (x – i) ´ ´ (x + i) (2 x – 3 – i)(2 x – 3 + i)(2 x + 3 – i)(2 x + 3 + i) -над C.

172.h (x) = (x² – x + 3)(x² + x + 3) -над R;.

h (x) =1/16 (2 x – – 3 i)(2 x – + 3 i)(2 x + – 3 i)(2 x + +3 i) -над C.

173.f(x) = (x² – x + 1)(x² + x + 1), где D = a + 2 – 4 = a – 2 < 0.

175.f (x) = (x² + 3)(x² – 3) -над Q, f (x) = (x² + 3)(x – ) (x + ) над R .

176.g (x) = (x – 0,1)(x² + 0,1 x + 0,01) -над Q, и над R .

177.h (x) = (3 x – 4)( x + 1) -над Q, и над R .178.j (x) = (x² – 2)(x – 1) -над Q, j (x) = (x – ) (x + ) (x – 1)над R .

179.t (x) -над Q неприводим , t (x) = (x + )(x² – x + ) - над R .

180.s (x) -неприводим над Q, и над R .

181.x² (x – 1)² (x – 2)² (x + 1) (x² + 1) (x² + 2 x + 4).

182.(x – 1)³ (x + 1)⁵ (x² – x + 1)⁵ (x² + x + 1).

183.x⁷ (x – 1)³ (x + 1)² (x – 2)⁵ (x + 2)² (x² + x + 1).

184.x⁷ (x – 2)⁴ (x + 2)⁵ (x² + 4)⁶.

185.(x + 1)² (x² – x + 1)² (x³ – 2). Указание: обозначьте x³ = у.

186.d(x) = (x + 1)² (x – 1)³ (x² + 1), m(x) = x (x + 1)³ (x – 1)⁴ (x² + 1)² (x – 3).

187.d(x) = (x – 1)³ , m(x) = (x – 1)³ (x + 1)³ (x² + x + 1).

188.d(x) = (x – 1)(x – 3)², m(x) = x³(x – 1)³ (x + 1) (x – 3)³ (x + 3).

189.d(x) = (x – 1)²(x + 1)² (x² + 1), m(x) = x (x – 1)⁴ (x + 1) ³ (x² + 1)² (x – 3).

190.d(x) = 1, m(x) = (x – 4)(x + 4) (x – 5) (x + 5) (x² + 16).

191.d(x) = (x – 2)(x + 2)², m(x) = x³(x + 2)⁴ (x – 2) (x² – 2 x + 4) (x² + 2 x + 4).

192.d(x) = x³ (x – 1)²(3x + 4) (3x – 4)², m(x) = x⁴(x – 1)³ (3x + 4)² (3x – 4)⁴.

193.d(x) = (x – 1)²(x²+ 1)², m(x) = (x –1)² (x + 1)³(x²+1)³ (x² + x +1)² (x² – x +1).

194.d(x) = x (x + 1)² (x – 2)²(x + 3) ³, m(x) = x⁶(x + 1)⁴ (x – 2)³ (x + 3) ⁴.

195.d(x) = (x – 1)(3x – 5) ³, m(x) = (x + 4)(x – 1)² (x + 1)⁵ (3x – 5)⁹ (3x + 5).

196.d(x) = 1, m(x) = (x –1)² (x + 1)(x – 2)(x + 2) (x² + x +1)² (x² – x +1) (x²+ 4).

197.k = 3.198.k = 4.199.k = 2.200.k₁ = 3, k₂ = 1. 201.k₁ = 4, k₂ = 1. 202.k = 2.

 

123456

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.