Разложение многочлена в произведение многочленов, неприводимых над данным полем

Теорема 6.1.

Всякий многочлен f(x) из кольца P [x] степени n (n ¹0) может быть представлен в виде произведения неприводимых над полем P многочленов p_i (x):

f(x) = p₁(x) × p₂(x) × . . . ×p_s (x), p_i (x) Î P[x], 1 £ i £ s. (*)

Это разложение является единственным с точностью до ассоциированности и до порядка следования множителей.

o 1. Возможность представления доказывается методом математической индукции (ММИ) по п = deg f(x).

I шаг ММИ. n = 1, т.е. многочлен степени 1 f(x)=a₁x+a₀. Такой многочлен неприводим над Р (Свойство 6.1.)

II шаг ММИ. Предположим, что Теорема 6.1. (первая часть о возможности представления) верна для любого многочлена степени меньше п (n ¹ 0) . (Индуктивное предположение: всякий многочлен f(x) из кольца P [x] степени меньше п (n ¹ 0) может быть представлен в виде произведения неприводимых над полем P многочленов p_i (x):

f(x) = p₁(x) × p₂(x)× . . .× p_s (x), p_i (x) Î P[x], 1 £ i £ s).

Докажем, что Теорема 6.1. верна для любого многочлена f(x) ÎP[x] степени п (n ¹ 0).

Возможны два случая:

а) f(x) – неприводим над Р, тогда это то, что и требовалось доказать (произведение неприводимых многочленов содержит один сомножитель f(x) = f(x), неприводимый над Р).×

б) f(x) – приводим над Р => f(x)=f₁(x) × f₂(x), где deg f₁(x)< n, deg f₂(x)< n.

Тогда для каждого из многочленов f₁(x), f₂(x) можно применить индуктивное предположение и найти для них представление в виде произведения неприводимых многочленов, а затем перемножить их. Тогда получим произведение неприводимых многочленов для многочлена f(x).

2. Единсвенность представления доказывается методом математической индукции (ММИ) по п = deg f(x).

I шаг ММИ. n = 1, т.е. многочлен степени 1 f(x)=a₁x+a₀. Это представление единственное с точностью до ассоциированности, т.е. f(x) = ax+b =

= c × (a × c^-1x+b × c^-1), где с - любой обратимый элемент поля Р.

II шаг ММИ. Предположим, что Теорема 6.1. (вторая часть о единственности представления) верна для любого многочлена степени меньше п (n ¹ 0) . (Индуктивное предположение: всякий многочлен f(x) из кольца P [x] степени меньше п (n ¹ 0) может быть представлен в виде произведения неприводимых над полем P многочленов p_i (x): f(x) = p₁(x) × p₂(x)× . . .× p_s (x), p_i (x) Î P[x], 1 £ i £ s), причём единственным образом с точностью до ассоциированности и до порядка следования множителей).

Докажем, что Теорема 6.1. (вторая часть о единственности представления) верна для любого многочлена f(x) ÎP[x] степени п (n ¹ 0),т.е., что представление в виде произведения неприводимых над этим полем многочленов единственно для любых многочленов степени п (n ¹ 0) (с точностью до ассоциированности и до порядка следования множителей).

Возможны два случая:

а) f(x) –неприводим над Р, тогда это то, что и требовалось доказать (произведение неприводимых многочленов содержит один сомножитель, неприводимый над Р, и это произведение единственное).

б) f(x) – приводим над Р, т.е. f(x) раскладывается в произведение неприводимых над Р сомножителей: (*). Надо доказать, что это призведение единственно с точностью до ассоциированности и до порядка следования множителей

Докажем от противного: предположим, что такое представление в виде произведения неприводимых над полем Р многочленов не единственно; пусть их хотя бы два:

f(x) = p₁(x) × p₂(x) × …p_s(x),

f(x) = q₁(x) × q₂(x) × … × q_t(x),

где p_i(х), q_i(х) – неприводимы над Р, и p_i(х) ¹ q_i(х).

Левые части этих равенств одинаковы, следовательно, правые части этих равенств тоже одинаковы:

p₁(x) × p₂(x) × …p_s(x) = q₁(x) × q₂(x) × … × q_t(x)(**).

Левая часть последнего равенства делится на p₁(x) => правая часть тоже делится на р₁(х). Но по свойству неприводимых многочленов (Свойство 6.4.)какой-то из многочленов q_i(x) = c₁ × p₁(x) = c₁p₁(x).

Подставим в (**)вместо многочлена q_i многочлен c₁p₁(x):

p₁(x) × p₂(x) × … × p_s(x) = q₁(x) × q₂(x) × … q_i-1(x) × c₁p₁(x) × q_i+1(x) × … × q_t(x).

Обе части получившегося равенства сокращаем на p₁(x):

p₂(x) × … × p_s(x) = q₁(x) × q₂(x) × … q_i-1(x) × c₁ × q_i+1(x) × … × q_t(x) (***).

После сокращения обеих частей равенства на неприводимый многочлен p₁(x) (deg p₁(x) ≥ 1) степени многочленов слева и справа в равенстве (***)стали меньше п, и мы можем применить индуктивное предположение, которое гласит, что многочлены степени меньшей п раскладываются в произведения неприводимых многочленов единственным образом (с точностью до ассоциированности и до порядка следования множителей:

т.е. s=t и каждое p_k(x)=q_j(x), где 1≤ к≤ s, 1≤ j≤ t = s.

Домножив обе части последнего равенства (***) на р₁(х), получим опять однозначное разложение, теперь для многочлена f(x). ·

Определение 6.2.

Некоторыймногочлен p(х)Î P[x] называется k – кратным множителем многочлена f(x) Î P[x], если f(x) делится на p^k(х), но не делится на p^k+1(х), где k – целое неотрицательное число.

Пример 6.3. Многочлен f(x) = 6х⁶ –12 х³+ 6 имеет следующее каноническое разложение f(x) = 6х⁶ –12 х³+ 6 = 6(х² + х + 1)²(х² – 1)².

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Задача 1. Установить, является ли многочлен f(x) неприводимым над полем Q, над полем R, над полем C, если:

1)f(x) = x³ + x² – 2 x – 2; 2)f(x) = x⁴ + 9; 3)f(x) = x² + 5. .

Решение.

1)f(x) = x³ + x² – 2 x – 2 = (x³ + x²) – (2 x + 2) = x² (x + 1) – 2 (x + 1) = = (x + 1) (x² – 2).

Многочлен f(x) разложен на множители, причём каждый множитель имеет степень, меньшую, чем степеньмногочлена f(x). И так как они являются многочленами с рациональными коэффициентами, то по определению (Определение 6.1.) многочлен f(x) приводим над Q, а значит и над полями R и C . При этом над полями R и C многочлен f(x) может быть представлен в виде: f(x) = (x + 1) (x – ) (x + ).

2)f(x) = x⁴ + 9 = (x⁴ + 6 x² + 9) – 6 x² = (x² + 3)² – 6 x² = (x² + 3)² – ( x)² = = (x² – x + 3) (x² + x + 3).

Многочлен f(x) разложен в произведение двух многочленов, причём каждый множитель имеет степень меньшую, чем степеньмногочлена f(x). И так как эти множители являются многочленами с действительными (в частности, иррациональными) коэффициентами, то, по определению 1, многочлен f(x) является приводимым над полями R и C и неприводимым над полем Q. При этом над полем C многочлен f(x) имеет следующее разложение:

f(x)= × × × .

3)f(x) = x² + 5 = x² – ( i )² = (x + i ) × (x – i ).

Многочлен f(x) разложен в произведение двух многочленов, причём каждый множитель имеет степень меньшую, чем степеньмногочлена f(x). И так как коэффициенты этих множителей – комплексные числа, то многочлен f(x) является приводимым над полем C и неприводимым над полями Q и R.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

145.Даны многочлены из кольца многочленов С [x] над полем С : 1)x + 1 ,

2)3x – 7 , 3)x² – 4,4) x² – 3 , 5) x² + 4 , 6) x³ – 1, 7) x³ + ,

8) x⁴ + 4 , 9) x – ,10)2 x² – x – 1, 11)2 x² – x + 1, 12) x³ + x – 2.

а)Выпишите те многочлены, которые являются неприводимыми над полем Q ;

б)Выпишите те многочлены, которые являются неприводимыми над полем R ;

в)Выпишите те многочлены, которые являются неприводимыми над полем C .

В примерах 146 – 168данные многочлены указанными ниже способами разложите на неприводимые множители над полем R:

а)используя способ группировки или подобрав один из корней многочлена и с помощью схемы Горнера понизив его степень :

146.x³ – 3 x² + 4 x – 2. 147.x³ – 6 x² + 11 x – 6. 148.x³ – 4 x² + x + 6.

149. х⁴ – 5 x³ + 3 x² + 5 x – 4. 150.x³ + x² – 10 x + 8.

151.x³ – 9 x² + 26 x – 24.152.x³ – 12 x² + 47 x – 60.

153.х⁴ – x³ – x + 1. 154. х⁴ + 8 x³ + 23 x² + 28 x + 12.

б)используя способ “разбиения” одного из коэффициентов многочлена :

155.x³ + x + 2. 156.x³ + x + 10. 157.х⁴ + 3 x² + 4.

158.x⁴ – 3 x² + 1. 159.3 х³ – 2 x + 1. 160.х⁴ – 10 x² + 1.

в)используя способ “добавить и вычесть” и формулы сокращённого умножения:

161.x⁴ + 4. 162.х⁴ + 1. 163.х⁴ + x² + 1. 164.x⁴ + 16.

165.x⁶ – 1. 166.х⁴ – 3 x² + 9. 167.х⁴ + 2 x² + 1. 168.х² + .

В примерах 169 – 172данные многочлены разложите, если это возможно, на неприводимые множители а)над полем Q ; б) над полем R ; в)над полем С .

169.f(х) = x⁴ – 1. 170.j(x) = x⁴ – 3 x² – 10.

171.g(х) = x⁶ + 27.172.h(х) = x⁴ + 3 x² + 9.

173.Разложите на неприводимые множители над полем R многочлен

f(х) = x⁴ – а x² + 1 , где – 2 < a < 2 .

174.Докажите следующие свойства неприводимых над полем Р многочленов:

1⁰.Если f(x) – произвольный многочлен из кольца P [x], р(х) – неприводимый мно– гочлен над полем Р , то либо f (x) р(x) , либо НОД ( f(x) , р(x) ) = 1.

2⁰.Если р(x) и q(x) – неприводимые многочлены над полем Р и р(x) q(x) , то р(x) и q(x) – ассоциированные многочлены ( то есть q(x) = с × р(x), где с Î Р ) .

3⁰.Если р(x) и q(x) – неприводимые многочлены над полем Р и р(x) и q(x) – неассоциированные многочлены (то есть q(x) ¹ с × р(x), где сÎР ), то НОД( р(x), q(x) )= 1.

4⁰.Если [ f(x) × g(x) ] р(x), где р(x) – неприводимый многочлен над полем Р, то по крайней мере один из многочленов f(x) или g(x) делится без остатка на р(x) .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: