Центр тяжести твёрдого тела

Тело А (рис. 64) находится в однородном поле сил тяготения. Разбиваем это тело на бесконечно малые тела , вес которых соответственно равен . Отсюда следует, что на тело действует система параллельных сил. Равнодействующая этой системы сил есть вес тела

.

Точка С, в которой приложен вес тела , называется центром тяжести тела.

Согласно основному свойству центра параллельных сил, положение центра тяжести С относительно тела А не меняется при повороте тела в пространстве.

Следовательно, центром тяжести тела называется точка С, в которой приложен вес тела Р и положение которой относительно тела не меняется при повороте тела в пространстве.

Координаты центра тяжести С найдём, используя выражения (4.6) для координат центра параллельных сил:

, , . (4.7)

В общем случае для определения координат центра тяжести тела используют выражения (4.7). Однако если тела однородные, то эти выражения можно упростить.

1. Однородный объём

Пример 1

Центр тяжести однородной дуги радиусом R и центральным углом 2a.

Совмещаем ось Ох (рис. 66) с осью симметрии дуги АВ. Тогда координата . Для определе-ния координаты воспользуемся выражением из формулы (4.14)

(4.16)

Выделяем на центральном угле j бесконечно малую дугу dl с центральным углом . Тогда

и длина дуги .

Подставляя эти значения в выражение (4.15), получаем:

.

Следовательно, координата центра тяжести однородной дуги оп­ределяется выражением

, (4.16)

где a – половина центрального угла дуги в радианах.

Пример 2

Центр тяжести треугольника.

Разбиваем треугольник (рис. 67) на бесконечно тонкие полоски, параллельные стороне АД. Так как полоски имеют бесконечно малую ширину, можно считать, что их центры тяжести находятся на середине длинных сторон полосок. Следовательно, центры тяжести таких полосок находятся на меридиане ВК.

Разбивая треугольник на тонкие полоски параллельные стороне ВД, получим, что их центры тяжести лежат на медиане AN. Следовательно, центр тяжести треугольника C находится в точке пересечения его медиан.

При этом очевидны соотношения:

Пример 3

Центр тяжести однородного сектора с центральным углом 2a и радиусом R.

Сектор (рис. 68) симметричен относительно биссектрисы централь-ного угла, с которой совмещаема ось Ox. В этом случае координата .

Выделяем из сектора элементар-ный сектор с бесконечно малым углом . Этот элементарный сектор можно считать треугольником, центр тяжести которого находится на расстоянии , поэтому центры тяжести элементарных секторов находятся на дуге .

Используя выражение (4.16) для центра тяжести дуги, получаем координаты центра тяжести однородного сектора:

. (4.17)

В выражении (4.17) α – половина центрального угла сектора, выражается в радианах.

Пример 4

Определить координаты центра тяжести однородного плоского тела (рис. 69), которое получается, если из квадрата 1 со стороны вырезана четвёртая часть круга 2 радиусом R и присоединён треугольник 3.

Задачу решаем методом отрицательных площадей.

Разбиваем тело на три элемента. Определяем площадь и координаты центров тяжести каждого элемента.

1. Квадрат без выреза

2. Четверть круга с отрицательной площадью

3. Треугольник

Находим координаты центра тяжести тела

;

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется центром параллельных сил? Каково его основное свойство?

2. По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

3. Что называется центром тяжести тела?

4. Как определяются координаты центра тяжести тела в общем случае?

5. По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных объёмных тел, плоских фигур и линий?

6. Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси? Как он вычисляется? Какую размерность имеет?

7. В чём сущность метода отрицательных площадей при определении координат центров тяжести плоских тел?

РАЗДЕЛ II. КИНЕМАТИКА

Во втором разделе пособия излагаются основные положения теории кинематики и методика решения задач по кинематике.

Как и в первом разделе пособия "Статика", в разделе «Кинематика» объём изложенной в пособии теории соответствует тому объёму знаний по кинематике, который должны иметь студенты для решения задач и выполнения расчётно-графических работ по данному разделу, поэтому основные теоремы кинематики излагаются без вывода и даются пояснения по практическому применению этих теорем. Некоторые разделы кинематики излагаются в пособии достаточно подробно и могут быть рекомендованы для самостоятельного изучения.

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных объектов без учёта их масс и действующих на них сил.

В нём изучается простейшая форма движения материи – механическое движение, то есть происходящее во времени изменение положения одного материального объекта относительно другого, с которым связывается система отсчёта.

В кинематике рассматриваются две основные задачи. Первая задача – установление закона движения объекта, т.е. такого математического описания движения, которое определяет положение движущегося объекта в пространстве. Вторая задача – определение по известному закону движения объекта основных кинематических характеристик движения.

В зависимости от вида рассматриваемых объектов различают кинематику точки, кинематику твёрдого тела и кинематику сплошной среды.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: