Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Пространственная система сил приведена к равнодействующей в точке О (рис. 43), значит, главный момент системы сил .

Тогда, согласно выражению (2.29), главный момент этой системы относительно нового центра А равен .

Согласно выражению (2.13),

Окончательно получается

(2.30)

Равенство (2.30) выражает теорему Вариньона о моменте равнодействующей относительно центра.

Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно любого центра А равен геометрической сумме моментов всех сил относительно этого центра.

Спроектировав векторное равенство (2.30) на координатные оси, например на ось Ox, получаем выражение (2.31) теоремы Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси:

(2.31)

Момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой оси.

Частный случай теоремы Вариньона для плоской системы сил.

Так как для плоской системы сил моменты на плоскости суммируются алгебраически (см. выражение (2.9)), то теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно центра А имеет вид:

(2.32)

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно любого центра А равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этого центра.

Системы статически определимые

И статически неопределимые

При действии на тело различных систем сил можно составить различное число уравнений равновесия. Так, для пространственной системы сходящихся сил можно составить три уравнения, для плоской системы сходящихся сил – два, пространственной системы пар – три, плоской системы пар – одно, плоской произвольной системы сил – три, плоской системы параллельных сил – два, пространственной произвольной системы сил – шесть, пространственной системы параллельных сил – три.

Механические системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений равновесия для данной системы сил, называются статически определимыми (статически определённые задачи).

Механические системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений равновесия для данной системы сил, называются статически неопределимыми (статически неопределённые задачи).

Разница между числом неизвестных N и числом уравнений равновесия n для данной системы сил даёт степень статической неопределимости данной системы

(2.33)

Пример 1

На двухшарнирную арку (рис. 44) действует плоская система сил. Неизвестных N в этой задаче – 4 (по два в каждом шарнире А и В). Уравнений равновесия n для плоской произвольной системы сил – 3. Задача статически неопределённая. Степень статической неопределимости согласно выражению (2.33)

Пример 2

На трёхшарнирную арку (рис. 45) действует плоская система сил . Неизвестных N в этой задаче – 6 (по два в каждом шарнире А, B, С). Уравнений равновесия n – 6 (по три для каждой части арки АС и СВ). Задача статически определённая.

Примеры решения задач на плоскую систему сил

Пример 1

На плоскую конструкцию ABCD (рис. 46а), состоящую из горизонтального стержня AB = a, вертикального стержня BC = b в полуокружности радиуса r, действуют вертикальная равномерно распределённая нагрузка , горизонтальная нагрузка , меняющаяся по закону треугольника, и на дуге DK с центральным углом DOK = 60° радиальная распределённая нагрузка .

Определить реакции заделки A.

Решение

1. Объект равновесия – рама ABCD (рис. 46б).

2. Активные силы:

а) – равнодействующая нагрузки , меняющейся по закону прямоугольника, численно равна площади этого прямоугольника

б) – равнодействующая нагрузки на участке BC, меняющейся по закону треугольника, численно равна площади этого треугольника

приложена в центре тяжести треугольника;

в) – равнодействующая нагрузки направлена по биссектрисе угла и по модулю .

Поскольку где KD – хорда, то

Реакции связей: .

3. На раму действует плоская произвольная система сил.

Составляем три уравнения равновесия:

Пример 2

Найти реакции опор A и C и давление в промежуточном шарнире B составной конструкции, если P₁=9 кН, P₂=10 кН, M =29 кН·м, q = 1,5 кН/м (рис. 47).

Решение

Конструкция состоит из двух балок АВ и ВD. Для определения реакций в заделке А, шарнире В и катковой опоре С надо составить шесть уравнений равновесия. Объекты равновесия системы можно выбирать двумя способами:

1. Всю конструкцию в целом и далее любую балку (либо АВ, либо BD).

2. Разрезать конструкцию по внутреннему шарниру В и отдельно рассмотреть балки АВ и ВD.

Эта задача будет решаться более рационально, если воспользоваться вторым способом выбора объекта равновесия.

Объект равновесия – левая балка ВD (рис. 48а).

Активные силы: Реакции связей: .

На балку BD действует плоская произвольная система сил. Составляем три уравнения равновесия:

,

откуда

.

Объект равновесия – правая балка AB (рис. 48б).

Активные силы: .

Реакции связей: причём . Составляющие реакции направлены против (аксиома: действие равно противодействию).

На балку AB действует плоская произвольная система сил. Составляем три уравнения равновесия:

Так как реакции получились со знаком "минус", то действительные направления этих реакций противоположны указанным на рис. 48б направлениям.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: