Прямой, обратный и дополнительный коды и их использование при выполнении арифметических операций

В большинстве компьютеров с целью упрощения конструкции АЛУ операция вычитания не используется. Она заменяется операцией сложения путем замены знака вычитаемого на противоположный и прибавления его к уменьшаемому:

В связи с этим для машинного изображения отрицательных чисел используют прямой, дополнительный и обратный коды.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде (см., например, рис. 2.8в).

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение. Рассмотрим эти коды и их применение на примере отрицательных чисел, представленных в форме с фиксированной запятой.

1. Прямой код числа получается, если в знаковый разряд поместить цифру 1, а в разряды числовой части числа - двоичный код его абсолютной величины.

2. Обратный код получается инвертированием (заменой на обратные значения) всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями.

Пример. Число: -1

Код модуля числа (в однобайтовом формате) 0,0000001

Обратный код 1,1111110

Представление числа в разрядной сетке показано на рис. 2.10

Рис. 2.10.

Пример. Число –127

Код модуля числа 0,1111111

Обратный код числа 1,0000000. Представление числа в обратном коде показано на рис. 2.11

Рис. 2.11

3. Дополнительный код получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Пример. Представление числа –1 в дополнительном коде показано на рис. 2.12

Рис. 2.12

Представление числа –127 в дополнительном коде показано на рис. 2.13

Рис. 2.13

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Использование различных способов изображения отрицательных чисел в ЦВМ обуславливает целый ряд особенностей выполнения операции алгебраического сложения двоичных чисел.

При сложении обратных кодов чисел Х₁ и Х₂ имеют место четыре основных и два особых случая.

1. Х₁>0 и X₂>0. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака.

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

(5)

+

(9)

(14)

2. Х₁>0, X₂<0 и |X₂|>X₁

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

+

-10

-7

При переводе обратного кода (обр) в прямой (пр) получим:

1 1111000_обр=1 0000111_пр= -7₁₀

3. Х₁>0, X₂<0 и |X₂|<X₁

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

+
0
	+1

+

-3

Полученный непосредственно сразу неверный результат (число 6) исправляется путем переноса единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При этом получается правильный результат – число 7₁₀

4. Х₁<0 и X₂<0

Пример.

Десятичная запись Двоичные коды

+
1
	+1

-3

+

-7

-10

Полученный непосредственно сразу неверный результат (обратный код числа –11₁₀) исправляется путем переноса единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

При выполнении операции может появиться число, старшие разряды которого не помещаются в отведенной для него области памяти – возникает переполнение разрядной сетки формата числа. Рассмотрим два возможных случая переполнения.

1. Х₁>0 , X₂>0 и S=X₁+X₂ 2^n-1, где n – количество разрядов формата числа (для однобайтового формата n=8, 2^n-1=2⁷=128)

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

+

97

162

Здесь имеет место переполнение разрядной сетки: семи разрядов цифровой части недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀=10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде и знак суммы оказывается несовпадающим со знаком слагаемых, что является признаком переполнения разрядной сетки.

2 Х₁<0, X₂<0 и S=|X₁|+|X₂| 2^n-1

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

+
0
	+1

-63

+

-95

-158

Здесь также знак суммы не совпадает со знаками слагаемых, что является признаком переполнения разрядной сетки.

При сложении дополнительных кодов чисел Х₁ и Х₂ имеют место те же четыре основных и два особых случая.

1. Х₁>0 и X₂>0. Аналогично случаю 1 для обратных кодов.

2. Х₁>0, X₂<0 и |X₂|>X₁.

Пример.

Десятичная запись Двоичные коды

-

10

-7

При переводе дополнительного (доп) кода в прямой (пр) получим:

3. Х₁>0, X₂<0 и |X₂|<Х₁

Пример

Десятичная запись Двоичные коды

+
0

-

3

7

Единица переноса из знакового разряда отбрасывается.

4. Х₁<0, X₂<0

Пример

+
1

-3

+

Случаи переполнения разрядной сетки аналогичны случаям переполнения для обратных кодов.

Сравнение использования обратного и дополнительного кодов показывает, что преобразование отрицательного числа в обратный код занимает меньше времени, однако время выполнения сложения в дополнительных кодах меньше, чем в обратных, так как в этом случае отсутствует необходимость переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Основы алгебры логики.

Алгебра логики – наука, которая занимается логическими функциями, описанием работы и синтезом с их помощью схем различных устройств ЦВМ. Алгебра логики имеет дело с высказываниями. Высказывания могут быть истинными или ложными. Если высказывание истинно, то значение истинности равно 1, если ложно -0. Высказывания могут быть простые и сложные, которые образуются из простых с помощью элементарных логических операций. Простые высказывания обычно называются также логическими переменными, сложные высказывания - логическими функциями.

Основные элементарные логические операции:

1) Логическое отрицание. Обозначается чертой над логической переменной. Например читается “не Х”.

Каждая логическая операция характеризуется таблицей истинности, которая показывает значение функции при всех значениях переменных. В данном случае таблица истинности содержит одну переменную, т.е.

Х

0 1

1 0

Изоб ражение логического элемента “НЕ” на структурной схеме показано на рис. 2.14а.

Рис. 2.14. Изображение основных логических элементов.

а) элемент «НЕ»; б) элемент «ИЛИ»; в) элемент «И»

2) Логическое сложение (дизъюнкция). Обозначается значком V. Например Х₁VХ₂ читается как “Х₁ или Х₂”.Результаты логического сложения истинен (1) коли хотя бы одна из переменных (Х₁ или X₂) истинна (1)

Таблица истинности

Изображение логического элемента “ИЛИ” на структурной схеме показано на рис.2.14 б.

3) Логическое умножение (конъюнкция). Обозначается значком ^. Например Х1^Х2 читается “Х₁ и Х₂”. Результат логического умножения истинен (1), только тогда, когда обе переменных истинны (1)

Таблица истинности

Изображение логического элемента “И” на структурной схеме показано на рис.2.14в:

Основные законы алгебры логики:

1. Переместительный

2. Сочетательный

3. Распределительный

4. Отрицания

Справедливость любого закона может быть показана с помощью таблицы истинности.

Покажем справедливость последнего закона

Х1	Х2

Из таблицы видно, что при всех сочетаниях значений логических переменных Х₁ и Х₂ значения логических функций и совпадают. Следовательно, эти логические функции тождественны, т.е. закон справедлив.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: