Сделай Сам Свою Работу на 5

Наращенные суммы для финансовых рент





Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение плет на расчетный счет вносится по Rрублей, сложные проценты на­числяются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i ) n-1,так как на сумму Rпроценты начислялись в течение (n-1) года. Второй взнос увеличит­ся до R(1+i ) n-2 и т.д.

На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет рав­на сумме членов геометрической прогрессии: S =R+R(1+i)+R(1+i)2+…+R(1+i) n-1 ,

в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов п.

Отсюда:

S = R = R = R sn ; i , (23)

 

где - коэффициент наращения ренты. Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i.

Пример 13.В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

R = 10 000 000 руб.,

i = 0,10 .

Найти S = ?

Решение.

1-й вариант.Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств производится по формуле (23):



S=10 000 000*[(1+ 0,1)3 - 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб.

2-й вариант.Для выполнения расчетов в Excel по формулам, дополнительно воспользуемся математической функцией СТЕПЕНЬ, рис. 26.

 

Рис. 26. Результаты расчета наращенной суммы S ( в ячейку H3 введена формула: =B3*(СТЕПЕНЬ(1+B4;B2) -1)/B4 ) )

3-й вариант.Для расчетов наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории Финансовые). Данная функция возвращает, будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставке, рис. 27.

Рис. 27. Результаты расчета наращенной суммы S по функции БС (в ячейку H4 введена формула: =БС(B4;B2;-B3))

 

Синтаксис функции БС рассмотрен ранее (см. п.2.1. Сложные проценты).

Годовая рента c начислением процентов т раз в году. Если плате­жи делают один раз в конце года, а проценты начисляют траз в году, то каждый раз применяется ставка j/m, где j - номи­нальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид:

R(1+ j /m) m (n -1), R(1+ j /m)m (n-2), . . . , R .

Если читать последнюю формулу справа налево, то можно увидеть геометрическую прогрессию, у которой R - первый член, (1+j/m)m –знаменатель и n - число членов.



Сумма членов этой прогрессии представляет собой наращенную сумму ренты:

S = R [(1 + j / m) mn -1] / [(1 + j / m) m-1](24)

Пример 14.В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально (m = 4) на­числяются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

m = 4,

R= 10 000 000 руб.,

j = 0,10 .

Найти S = ?

Решение.

1-й вариант.Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (24):

S = 10 000 000*[(1+0,1/4) (4*3) - 1] / [(1+0,1/4) 4 - 1] = 33 222 157,88руб.

2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в Excel дополнительно используем математическую функцию СТЕПЕНЬ, рис. 28.

Рис. 28. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3)-1) )

 

3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствует готовая финансовая функция для решения данной задачи.

 

Рента р - срочная, с начислением процентов один раз в год (m = 1).

Когда рента выплачивается рраз в году равными платежами, а процен­ты начисляются один раз в конце года и известна R - годовая сумма пла­тежей, то размер отдельного платежа будет равен R/p. Тогда для получения формулы наращенной суммы при условии, что последова­тельность платежей с начисленными до конца срока процентами рассмотрим геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,

, , ,…, ,

у которой R/p - первый член, (1+i)1/p - знаменатель, пр - общее число членов.



С учетом этого наращенная сумма такой ренты будет равна сумме членов этой геометрической прогрессии

S = = = Rs(p)n;i ,(25)

 

где s(p)n;i = -коэффициент наращения p-срочной ренты при m =1.

 

Пример 15.В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые в конце каждого года на­числяются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

m = 1,

R= 10 000 000 руб.,

p = 4,

i = 0,10 .

Найти S = ? Решение.

1-й вариант.Вычисления с помощью подручных вычислительных средств проведем по формуле (1.25):

S = (10 000 000/4) * [(1+0,1) 3 - 1]/ [(1+0,1) 1/4 - 1] =34 316 607,35 руб.

2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel используем математическую функцию СТЕПЕНЬ, рис. 29.

 

Рис. 29. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6;B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6;1/B5)-1) )

 

3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.

Рента р - срочная, когда число платежей совпадает с начислением процентов (р = т). В контрактах часто начисление процен­тов т и поступление платежа совпадают во времени, тогда р = т. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характери­зуют ставку и платеж за период, а не за год, тогда получаем:

S = = R .(26)

 

Пример 16.В течение 3-x лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально на­числяются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

p = m = 4,

R= 10 000 000 руб.,

j = 0,10 .

Найти S = ? Решение.

1-й вариант.Вычисления с помощью подручных вычислительных средств произведем по формуле (26):

S = 10 000 000*[(1+0,1/4) ( 4*3 ) - 1] / 0,1 = 34 488 882,42 руб.

2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в Excel воспользуемся функцией СТЕПЕНЬ, рис. 30.

Рис. 30. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =B4*(СТЕПЕНЬ(1+B5/B3;B3*B2)-1)/B5) )

3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. Для расчета наращенной суммы S воспользуемся функцией БС (из категории Финансовые). Данная функция возвращает, будущую стоимость инвестиции на основе периодических равных по величине платежей и постоянной процентной ставке, рис. 31.

Рис. 31. Результаты расчета наращенной суммы S ( в ячейку H5 введена формула: =БС(B5/B3;B2*B3;-B4/B3) )

Рента р - срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай).Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов траз в году, причем, возможно, р ≠ т.

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1года после нача­ла, составит к концу срока вместе с начисленными на него процента­ми

= .

Второй член ренты к концу срока возрастет до

= ,

и т.д.

Последний член этой записанной в обратном порядке геометриче­ской прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p,число членов пт.

Для данного случая наращенная сумма рассчитывается по формуле:

S = = . (27)

Из последней формулы легко получить все рассмотренные выше ча­стные случаи, задавая соответствующие значения р и т.

Пример 17.В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеме­сячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годо­вых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Известно:

n = 3 года,

m = 12,

R= 10 000 000 руб.,

p = 4,

j = 0,10 .

Найти S = ? Решение.

1-й вариант.Вычисления по формулам с помощью подручных вычислительных средств. По формуле (1.27) находим:

S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/4)(3*12) -1] / [(1+0,10/4)(12/4) -1] =

= 34 529 637,96 руб.

2-й вариант.Для выполнения расчетов по формулам в среде Excel в строку формул вводим формулу соответствующую (27) и для вычисления степени используем функцию СТЕПЕНЬ, рис. 32.

Рис. 32. Результаты расчета в Excel (в ячейку H3 введена формула: =(B4/B5)*(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3*B2) -1)/(СТЕПЕНЬ(1+B6/B3;B3/B5)-1) )

 

3-й вариант.Вычисления с помощью встроенных функций Excel. В Excel отсутствуют готовые финансовые функции для решения подобных задач.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.