УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В ОБЩЕМ ВИДЕ

В первом параграфе мы вывели уравнение эквивалентности (6) между одноразовым взносом и накопленной к концу срока финансовой сделки суммой FV при условии наращивания процентов по номинальной ставке r. В этом уравнении не учитывались периодические платежи С.

В параграфе 2.2.2 выведено уравнение эквивалентности (21), связывающее периодические платежи С и накопленную сумму FV при условии, что не было первоначального взноса PV.

В повседневных финансовых операциях накопления денег, кредитования, аннуитета фигурируют как первоначальные, так и периодические взносы.

Все эти ситуации описываются общим эквивалентным уравнением, объединяющим уравнения (6) и (21)

(22)

Из этого уравнения можно определить одну из величин как функцию остальных:

1. FV=f(PV,С,r,m,k) – будущую сумму в любой момент;

2. PV=f(FV,С,r,m,k) – текущую сумму, пересчитанную к любому моменту финансовой сделки;

3. С=f(PV,FV,r,m,k) – выплаты;

4. k=f(PV,FV,С,r,m) – срок договора;

5. r=f(PV,FV,С,m,k) – норму, годовую процентную ставку.

Определение будущей суммы

Пример 11.Изменим условия примера 10. Пусть в начале срока вложена сумма PV=1000 руб. Ежемесячно вносится еще по 300 руб. Годовая процентная ставка 18%. Как при этом изменятся суммы в конце года постнумерандо и пренумерандо.

1.Взносы постнумерандо.

2.Взносы пренумерандо.

Определение текущей суммы

Из уравнения (22) получим в общем виде

. (23)

Откуда

(24)

Пример 12. Пенсионер получил наследство и хотел бы заключить договор с пенсионным фондом с условием получения 500 руб. в конце (начале) каждого месяца на протяжении 5 лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода при процентной ставке 24% годовых?

1) Выплаты в конце месяца (тип=0)

2).Выплаты в начале месяца (тип=1)

Во втором случае вклад должен быть значительнее почти на 350 руб. Знак минус показывает, что первоначальную сумму PV нужно отдать в банк.

Определение периодических выплат

Какую сумму С нужно вносить регулярно в начале (в конце) периода, чтобы при первоначальном взносе PV и годовой процентной ставке r через n=m·k периодов накопить капитал FV? Из (24) имеем

. (25)

Пример 13Родители решили накопить за 18 лет на образование ребенка 50000 руб. Банк обеспечивает 6% годовых по вкладу. Сколько денег нужно вносить в конце каждого месяца?

За 18 лет родители внесут в банк 129,08·18·12=27881,28 руб.

Остальные 50000 – 27881,28=22118,72 руб. доплатит банк.

Расчет срока ренты

При разработке условий контракта иногда возникает необходимость в определении срока ренты. Решая уравнение (24) относительно числа лет k, получим

(26)

Пример 14Фирме нужно выплатить долг 300 млн. руб. ежегодными платежами по 111,52 млн. руб. Процентная ставка согласно договору между кредитором и фирмой установлена 12% годовых. Нужно определить срок платежа

Фирма выплачивает долг, пока сумма его не станет равной нулю.

По формуле (26)

Определение размера процентной ставки

Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) соответствующей финансово – банковской или коммерческой операции. Вопрос стоит так, под какую процентную ставку r нужно дать кредит в сумме PV, чтобы при периодических выплатах С через n периодов получить обратно сумму FV? Однако, расчет ставки по остальным параметрам ренты не так прост. Величина r не выражается в явном виде из уравнения (24). Поэтому необходимо решить нелинейное уравнение (24) относительно r. Раньше его решали методом линейной интерполяции или итерационным методом. Сейчас эта задача и все остальные примеры и задачи, рассмотренные в пособии, легко решаются с помощью финансовых функций в Excel.

Типовые задачи

2.1 На счет в банке вносится ежегодно постнумерандо сумма в 5000 долларов под 5% годовых. Какая сумма окажется на счете через 10 лет?

2.2 Рассматриваются две схемы вложения денег на 5 лет: в начале каждого года под 14% годовых или в конце каждого года под 18% годовых. Какая схема выгоднее?

2.3 Рассматриваются два варианта покупки квартиры: заплатить сразу 250 тыс. руб. или платить ежемесячно по 800 руб. в течение 10 лет при ставке 8% годовых?

2.4 За какой срок сумма в 50 тыс. руб. достигнет 100 тыс. руб. при начислении процентов два раза в году по годовой процентной ставке16%?

2.5 Ссуда 60 тыс. долларов, выданная под 6% годовых погашается ежеквартальными платежами по 8 тыс. долларов. Рассчитайте срок погашения ссуды.

2.6 Пенсионер накопил в банке к моменту выхода на пенсию 30000 рублей. В конце каждого месяца ему начисляют пенсию в размере 2000 руб. Банк обеспечивает по пенсионному вкладу 14% годовых. Сколько лет пенсионер сможет снимать со своего вклада в конце каждого месяца по 3000 рублей?

2.7 Сколько денег нужно положить в банк сегодня, чтобы при ежемесячных вложениях по 500 рублей и процентной ставке 12% в год через 5 лет накопить сумму 50000 рублей?

2.8 Ваша фирма собирается дать кредит в размере 1 000 000 рублей сроком на 5 лет с ежегодным погашением по 200 000 руб. Под какой процент следует дать кредит, чтобы в конце срока получить обратно в общей сложности 1 500 000 рублей?

2.9 Родители оставили Вам наследство 50 000 рублей. Вы решили через 3 года накопить на автомашину 100 000 рублей. Вы вложили деньги в банк под 12% годовых. Какую сумму Вам необходимо вносит ежемесячно? Сколько лет Вам бы пришлось копить эти деньги дома?

2.10 Вы решили накопить в банке 300 000 рублей на квартиру. Вначале Вы внесли 50 000 рублей и можете вкладывать в банк ежемесячно по 8000 рублей. Банк имеет годовую процентную ставку 11%. Сколько времени Вам придется копить эти деньги? Сколько времени Вы копили бы деньги дома?

2.11 Фирма взяла в банке кредит в размере $200 000 сроком на 7 лет под 7,2% годовых. Определить ежегодные выплаты и составить таблицу погашения основного долга, выплат по процентам и остатка долга по годам. Построить график.

2.12 В конце каждого месяца семья вкладывает в банк по 5000 руб. под номинальную процентную ставку 20%. Начисление процентов ежемесячное. Какой срок необходим для того, чтобы сумма сбережения стала достаточной для покупки легкового автомобиля стоимостью 250 тыс. руб.?

2.13 Какую сумму фирма должна ежемесячно переводить в банк постнумерандо, чтобы на ее счете через 2 года накопилась сумма 3 млн. руб.? Номинальная процентная ставка банка - 12% при ежеквартальном начислении процентов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: