Введение в математический анализ

Понятие	Содержание
Числовые множества	N={1;2;…;n;…} – множество натуральных чисел Z={0;±1; ;±2;… ;±n…} – множество целых чисел Q={ |m Z,n N } – множество рациональных чисел R=Q+I, I – множество иррациональных чисел, R – множество действительных чисел
Функция y=f(x)	Зависимость f, при которой каждому x D ставится в соответствие единственное значение y E
Числовая последовательность xn	Функция, заданная на множестве натуральных чисел xn=f(n)
Предел числовой последовательности xn	Число а, если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется | xn – а|< ε. Записывают
Сходящаяся числовая последовательность	Имеет предел, причем всегда единственный
Расходящаяся числовая последовательность	Не имеет предела
Предел функции f(x) в точке xo, т.е.	(По Коши) число А, если для любого положительного числа ε найдется положительное число δ, что при всех x: |x-xo|< δ, x≠xo выполняется неравенство |f(x)-A|< ε;   (по Гейне) число А, если для любой последовательности xn, n N (xn≠xo): выполняется
Бесконечно большая функция f(x) при x→x0	Если для любого числа М > 0 существует число δ > 0, что для всех x: |x-xo|<δ, x≠xo выполняется неравенство |f(x) |>M Записывают:
Понятие	Содержание
Ограниченная функция	Если существует число М > 0, что
Неопределенности	Ситуации, когда после подстановки предельного значения получаем
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
y=f(x) непрерывная в точке xo	Если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:
Точки разрыва функции y=f(x)	Точки, в которых нарушается непрерывность функции
Приращение аргумента x в точке x0	Разность двух значений аргумента
Приращение функции f(x) в точке x0	Разность соответствующих значений функции
Производная функции y=f(x) в точке x	Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Дифференцирование	Операция нахождения производной функции
Логарифмическое дифференцирование	Операция дифференцирования предварительно прологарифмированной функции
Дифференциал функции y=f(x) в точке x	Главная часть приращения функции:
Правило Лопиталя	Способ раскрытия неопределенностей вида , основанный на применении производных
Понятие	Содержание
Функция y=f(x), возрастающая на (а;b)	Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.
Функция y=f(x), убывающая на (а;b)	Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.
Точка максимума функции y=f(x)	Точка xо, если сущестствует δ-окрестность точки x0 , что для всех x≠xo из этой окрестностивыполняется f(x)<f(xo)
Точка минимума функции y=f(x)	Точка xо, если сущестствует δ-окрестность точки x0, что для всех x≠xo из этой окрестностивыполняется f(x)>f(xo)
Выпуклый вниз (вогнутый) график y=f(x) на (а;b)	Если график функции расположен выше любой его касательной на этом интервале
Выпуклый вверх (выпуклый) график y=f(x) на (а;b)	Если график функции расположен ниже любой его касательной на этом интервале
Точка перегиба	Точка графика непрерывной функции, отделяющая части разного вида выпуклости
Асимптота кривой	Прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении ее от начала координат по кривой

Интегральное исчисление

Первообразная функции f(x) на интервале (a;b)	Функция F(x):
Неопределенный интеграл от функции f(x)	Совокупность всех первообразных функции f(x):
Интегрирование функции	Операция нахождения неопределенного интеграла от функции
Непосредственное интегрирование	Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к табличным интегралам
Интегрирование по частям	Использование формулы

Понятие	Содержание
Дробно-рациональная функция (рациональная дробь)	Функция, равная отношению двух многочленов:
Правильная рациональная дробь Неправильная рациональная дробь	m<n;
Простейшие рациональные дроби I, II, III, IV типов	(I) , (II) (III) (IV)
Определенный интеграл от f(x) на [a;b]	Число I, как предел интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора в них точек
Несобственные интегралы	Определенные интегралы от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв
Двойной интеграл от функции f(x;y)по области D	Число I как предел интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора в них точек

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: