Сравнение двух линий регрессии

Изложенный здесь материал следует читать после ознакомления с разделом 8. Регрессионный анализ, рассматривая зависимость между признаками, выражает ее специфическим образом – через уравнения регрессии. Линейные уравнения вида Y = ax+b содержат два коэффициента регрессии, характеризующие степень сопряжения и пропорциональность изменения признаков (коэффициент a отражает силу связи, т. е. наклон линии) и место пересечения оси ординат (коэффициент b определяет место положения линии в осях координат). Когда ставится вопрос о сходстве характера связи между признаками, то в отношении линии регрессии он распадается на три отдельных вопроса:

– одинаков ли характер распределения признаков?

– одинаков ли наклон линий регрессии?

– одинаково ли положение линий регрессии относительно осей координат?

1) Для того чтобы решить вопрос о сходстве угла наклона линий регрессии, необходимо убедиться в том, что обе линии характеризуются одной и той же случайной дисперсией, сходным характером рассеяния вариант вокруг линий, т. е. сходными значениями случайной дисперсии, Но: . Эта первая гипотеза проверяется с помощью F критерия Фишера:

~ F_{(α, df1, df2)}, ,

где – остаточная дисперсия, сумма квадратов отклонения исходных значений (y_x) от рассчитанных по уравнению регрессии (Y_x), нормированная на число степеней свободы (n–2). Это значение получают из таблицы дисперсионного анализа регрессионной модели ("Остаток").

2) Если остаточные дисперсии для разных линий значимо не отличаются, можно приступать к сравнению коэффициентов регрессии, определяющих характер зависимости между признаками, т. е. ответственных за угол наклона прямых. Этой цели служит T критерий Стьюдента:

~ T_{(α, df)},

где a₁, a₂ – коэффициенты регрессии сравниваемых уравнений,

m_a1,2 – обобщенная ошибка коэффициентов регрессии.

Для выборок одинакового объема обобщенная ошибка рассчитывается по формуле:

,

где m_a1, m_a2 – ошибки коэффициентов регрессии:

,

Sy, Sx – стандартные отклонения, рассчитанные по всему объему выборки n,

r – коэффициент корреляции между признаками x и y.

Для выборок, имеющих разный объем, обобщенная ошибка репрезентативности коэффициентов регрессии вычисляется более сложным путем:

,

где – обобщенная остаточная дисперсия, вычисленная по формуле:

,

С_x1, C_x2 – суммы квадратов отклонений значений признака x от своих средних (M_X) в двух выборках:

,

– остаточные дисперсии (см. выше).

Различие между коэффициентами регрессии a₁ и a₂ считается значимым, если расчетное значение критерия Стьюдента превосходит табличное значение при заданном уровне значимости и числе степеней свободы df = n₁+n₂–4.

3) Если критерий Стьюдента не показал отличий коэффициентов регрессии, то проверяется, наконец, третья гипотеза – об одинаковом положении линий регрессии (т. е. гипотеза о полном совпадении линий) – с помощью T критерия Стьюдента:

~ T_{(α, df),}

где a – усредненный коэффициент корреляции

,

M_x1, M_x2 – средние для признака x в двух выборках,

Различие между коэффициентами регрессии b₁ и b₂ считается значимым, если расчетное значение критерия Стьюдента превосходит табличное значение при заданном уровне значимости и числе степеней свободы df = n₁+n₂–3.

В качестве примера сравним характер зависимости между длиной хвоста (Lc, мм) и длиной тела (Lt, см) у самцов (m) и самок (f) обыкновенной гадюки (табл. 6.3), уравнения регрессии приведены на иллюстрации (рис. 6.2).

1) Найти остаточные дисперсии для каждой выборки проще всего, выполнив полный регрессионный анализ в среде Excel с помощью макроса, вызываемого командой меню Сервис\ Анализ данных\ Регрессия.

Получим = 12.202, = 4.006,

отсюда = 3.046.

Поскольку полученное значение (3.04) меньше табличного F_(α,df1,df2) = 3.4, отличия между дисперсиями незначимы. Можно продолжать сравнение линий регрессии.

2) Для проверки различий коэффициентов регрессии требуется найти обобщенную ошибку m_a1,2, используя значения ошибок из таблиц проведенного ранее регрессионного анализа в среде Excel. Поскольку объемы выборок отличаются не сильно, можно использовать первую формулу:

= 0.52298.

Таблица 6.3

Рис. 6.1. Регрессия длины хвоста по длине тела у гадюк

Для целей иллюстрации рассчитаем и более точную оценку. Для этого предварительно нужно найти суммы квадратов отклонений значений независимой переменной x (в нашем случае ее роль играет длина тел Lt) от своих средних. Найдем величины с помощью функции Excel =КВАДРОТКЛ(диапазон). Для таблицы 6.3 имеем:

C_x1 =КВАДРОТКЛ(C2:C9) = 62,

C_x2 =КВАДРОТКЛ(C11:C19) = 52.222.

Поскольку общая остаточная дисперсию равна

2.7908,

обобщенная ошибка коэффициентов регрессии составит:

= 0.52419

т. е. практически не отличается от рассчитанной первым способом. Теперь можно оценить значимость отличий коэффициентов (для df = n₁+n₂–4 = 8+9–4 = 13):

= 10.76.

Полученное значение критерия Стьюдента больше табличного даже для уровня значимости α = 0.001(T_(0.001,13) = 4.22), т. е. коэффициенты регрессии не равны.

Итак, результаты сравнения показывают, что линии регрессии имеют разный угол наклона; с увеличением размеров тела длина хвоста у самцов (a = 1.2) прирастает быстрее, чем у самок (a = 0.7).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: