Сделай Сам Свою Работу на 5
Главная | Контакты

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

123456




Принято комплексное число a + bi изображать точкой на плоскости. Абсцисса этой точки равна действительной части комплексного числа a, ордината равна b, коэффициенту при мнимой единице. Таким образом, всякому комплексному числу соответствует определенная точка на плоскости, и наоборот, всякой точке на плоскости соответствует определенное комплексное число.

Точкам, лежащим на оси Ох, соответствует действительная часть комплексного числа,поэтому осьОхназывается действительной осью.

Точкам, лежащим на оси Оу, соответствуют мнимые числа,поэтому осьОуназывается мнимой осью.

у Точке А соответствует число 3i

Точке В соответствует число -3 + 2i

М Точке С соответствует число -2i

А Точке М соответствует число 3 + 4i

Точке М1 соответствует число 3 - 4i

В

Точки М и М1 отличаются только знаком

0 1 2 3 4 хпередмнимой частью, этосопряженные числа.

Пара сопряженных комплексных чисел

симметрична относительно оси абсцисс.

С

 

М1

 

Плоскость, на которой задается комплексное число, называется плоскостью комплексной переменной.Наряду с изображением комплексного числа точками на плоскости удобно с каждым комплексным числом связать вектор, исходящий из начала координат в точку, изображающую это число (т.е. радиус- вектор этой точки).



Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим число, является аргументом этого комплексного числа и обозначается arg .

у

 

В(х;у) Длина вектора , изображающего комплексное число,

у называется модулем этого числа и обознается | |, тогда числа

aи b - компоненты комплексного числа являются, очевидно,

х проекциями (алгебраическими, с учетом знаков) этого вектора на

0 х оси координат, и вычисляются согласно

 

формулам: x = r cos и y = rsin . Следовательно, комплексное число Z = a + bi можно записать в виде Z = r( cos + sin ). Такая запись числа называется тригонометрической формой.Модуль однозначно определяется по формуле: | |

 

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Запись Z = a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Сложение (вычитание)комплексных чисел выполняется по формуле:



 

Z1 = a1 ± b1i

Z2 = a2 ± b2iZ1 ± Z2 = a1 + b1i± (a2 + b2i) = (a1 ± a2) + i (b1i± b2)

3 + 2i- (5 + 7i) = 3 + 2i- 5 -7i= -(2 + 5 i)

 

Произведениекомплексных чисел выполняется по правилу умножения многочленов:

Z = Z1· Z2 =(a1 + b1i) (a2 + b2i) = a1 a2 + a1 b2i+ a2 b1i + b1i b2i = a1 a2 - b1 b2 + i(a1 b2+ a2 b1 )

(2 - 3 i) (-5 + 4 i) = -10 + 8i+ 15i- 12 i2 = 2 + 23 i

Делениекомплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Т.е. частнымдвух комплексных чисел Z1 и Z2 является такое комплексное число Z(a + bi) , которое, будучи умноженным на Z2, дает число Z1.

= Z Z1 =Z · Z2 = Z(a + bi)

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю (избавляются от «мнимости» в знаменателе.

= = = =1 + i

Решить квадратные уравнения:

1. х2 + 2х + 5 = 0 х1,2 = = = = - 1 ± i

2. х2 - 6х + 18 = 0 х1,2 = = = 3 ± 3i

3. х2 - 4х + 5 = 0 х1,2 = = = 2 ± i

4. х2 - 10х + 41 = 0 х1,2 = = = 5 ± 4i

Составить квадратные уравнения:

в уравнении х2 + bх + с = 0 b = - (х1 +х2); с = х1 ·х2

1. х1 = ; х2 = ;b = - (х1 +х2) = - ( + ) = -2

с = х1 ·х2 = 1 + 3 = 4

уравнение х2 -2х + 4 = 0

2. х1 = ; х2 = ;b = - (х1 +х2) = - ( + ) = -6

с = х1 ·х2 = 8 + 1 = 10

уравнение х2 -6х + 10 = 0

3. х1 = ; х2 = ; b = - (х1 +х2) = - ( + ) =-1

с = х1 ·х2 = · =2

 

Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел

 

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Поэтому следует преобразовать обе части уравнения таким образом, чтобы 1.привести их к виду

a1 + b1i= a2 + b2i, 2. решить систему уравнений a1 = a2

b1i= b2i

 

1. 5х - 2у +(х + у)i = 4 + 5i

5х - 2у + хi + уi = 4 + 5i 5х - 2у = 4 5х - 2у = 4 5х - 2у =

i(х + у) = 5i х + у = 5 2х + 2у = 10

7х = 14, х = 2

у = 3

 

2. 5хi - 2 + 4у = 9i + 2х + 3уi i(5х - 3у) + 4у - 2х = 2 + 9i



4у - 2х = 2 2у - х = 1 х = 2у -1

i(5х - 3у) = 9i 5х - 3у = 9 5(2у -1) - 3у = 9 10у -5 - 3у = 9; у = 2

х = 3

3. 9 + 2хi + 4уi =10i + 5х - 6у

9 +i(2х + 4у) = 5х - 6у + 10i 5х - 6у = 9 5х - 6у = 9 5х - 6у = 9

2х + 4у = 10 х + 2у = 5 3 х + 6у = 15

8х = 24, х = 3

у = 1

4. 4х + 5у - 9 + 7(3х -у)i =10х + 14уi 4х +5у -10х- 9 +21хi -7iу - 14уi = 0

5у -6х = 9 5у -6у =9 у = - 9

хi - iу = 0 х = у х = у = - 9

Письменно ответьте на вопросы:

 

  1. Что называется комплексным числом?
  2. Что называется мнимой единицей?
  3. Что называется действительной частью комплексного числа? Мнимой частью комплексного числа?
  4. Какие комплексные числа называются равными? Сопряженными?
  5. Каково геометрическое представление комплексного числа?
  6. Как вычислить сумму комплексных чисел?
  7. Как вычислить произведение комплексных чисел?

 

Выполните задания:

1. Выполните действия:

а) б)в)г)

 

а) (1 + i)4 б)i + i 33 в)(1 - i)4 г)i 17 + i(1 - i)

 

2. Найдите действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел:

а) 3 + 4хi + 5уi = 12i + 5х - 2у

 

б) х(2 + i) - у(1 - i ) = 1+ 3i

в)х(1 + i) + у(2 + i ) = 3i + 1

3. Составьте квадратное уравнение по его корням:

х1 = (2 - 3i ) х2 = (2 + 3i )

 



123456




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.