ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ ПО ЗАДАННЫМ КООРДИНАТАМ
При построении точки по заданным координатам, необходимо помнить, что в соответствии с правилами черчения масштаб по оси Ох уменьшается в 2 раза в сравнении с масштабом по осями Оу и Оz.
1.Построить точкy: А(2; 1; 3) хА = 2; уA = 1; z A = 3
а) обычно в первую очередь строят проекцию точки на плоскость Оху. Отметить точки хA =2и уA =1и провести через них прямые, параллельные осям Охи Оу.Точка их пересечения имеет координаты (2;1; 0)Построена точка A1(2;1; 0.)
А(2; 1; 3)
а) б)
0 уA =1
хA =2 у
A1(2;1; 0) 0уA =1 у
ххA =2 A1(2;1; 0)
х
б) далее из точки A1(2;1; 0) восстанавливают перпендикуляр к плоскости Оху ( проводят прямую, параллельную оси Оz) и откладывают на ней отрезок, равный трем: z A = 3.
2.Построить точкy: B(3; - 2; 1) х B = 3; у B = -2; Z B = 1
z
уB = - 2
B(3; -2; 1) Оу
B1(3;-2 ) хB =3
х
3. Построить точку C(-2; 1; 3) zC (-2; 1; 3)
ХА = -2; YA = 1; ZA = 3
хC = - 2 C1(-2;1;0)
уA =1 у
х
4.Дан куб. А...D1, ребро которого равно1. Начало координат совпадает с точкой В, ребра ВА, ВС и ВВ1 совпадают с положительными лучами осей координат. Назвать координаты всех остальных вершин куба. Вычислить диагональ куба.
z
АВ = ВС = ВВ1 ВD1 = =
В1(0;0;1) С1 (0;1;1) = = 
А1 (1;0;1) D1(1;1;1)
В(0;0;0) С(0;1;0) у
А(1;0;0) D(1;1;0)
х
5.Постройте точки А(1;1;-1) и В(1; -1;1). Пересекает ли отрезок ось координат? плоскость координат? проходит ли отрезок через начало координат? Найдите координаты точек пересечения, если они есть. z Точки лежат в плоскости, перпендикулярной оси Ох.
Отрезок пересекает ось Ох и плоскость хОу в точке
(1;0;0)
В(1; -1;1)
0(0;0;0)
у
С(1;0;0)
х
А(1;1;-1)
6.Найти расстояние между двумя точками: А(1;2;3) и В(-1;1;1).
а) АВ = = = =3
б) С(3;4;0) и D(3; -1;2).
СD = = = 
В пространстве для определения координат середины отрезка вводится третья координата.
В ( хВ; уВ;zB )
С( ; ; )
А( хА; уА; zA)
7.Найти координаты С середины отрезков: а) АВ, если А(3; – 2; – 7), В( 11; – 8; 5),
хМ = = 7; уМ = = - 5; zМ = = - 1; С(7; - 5; - 1)
8. Координаты точки А(х;у;z). Напишите координаты точек, симметричных данной относительно:
а) координатных плоскостей
б) координатных прямых
в) начала координат
а) Если точка А1 симметрична данной относительно координатной плоскости хОу, то разница в координатах точек будет только в знаке координаты z: А1 (х;у;-z).
точка А2 симметрична данной относительно плоскости Охz, тогда А2(х; -у;z).
точка А3 симметрична данной относительно плоскости Оуz, тогда А2(-х; у;z).
б) Если точка А4 симметрична данной относительно координатной прямой Ох, то разница в координатах точек будет только в знаках координат у и z: А4 (х; -у;-z).
точка А5 симметрична данной относительно прямой Оу, тогда А5(-х; у; -z).
точка А6 симметрична данной относительно прямой Оz, тогда А6( -х; -у; z).
в) Если точка А7 симметрична данной относительно начала координат, то А6( -х; -у; -z).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Переход от одной системы координат в другую называется преобразованием системы координат.
Мы будем рассматривать два случая преобразования системы координат, и выведем формулы зависимости между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат. (Методика преобразованием системы координат аналогична преобразованию графиков).
1.Параллельный перенос. В этом случае меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Если начало координат переходит в точку 01 с координатами 01(х0; у0), то для точки М(х;у) связь между координатами системы х0у и х00у0 выражена формулами:
х = х0 + х'
у = у0 + у'
Полученные формулы позволяют найти старые координаты по известным новым х' и у' и наоборот.
у'
у М(х;у) М(х'; у')
у'
01 (х0; у0),х'
у у0
Х
х0 х'
х
2.Поворот осей координат. В этом случае обе оси поворачиваются на один и тот же угол , а начало координат и масштаб остаются неизменными.
у
М(х;у)
у1 х1
r


Координаты точки М в старой системе М(х;у) и М(х'; у') - в новой. Тогда полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и ,где - полярный угол в новой системе координат.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем:
x = rcos( + ) x = rcos · cos - rsin ·sin
y = rsin( + ) y = rcos · sin + rsin · cos 
но rcos = х' и rsin = у',поэтому
x = х'· cos - у'·sin 
y = х'· sin + у'· cos 
Письменно ответьте на вопросы:
- Что называется прямоугольной системой координат на плоскости? в пространстве?
- Какая ось называется осью аппликат? Ординат? Абсцисс?
- Каково обозначение единичных векторов на осях координат?
- Что называется ортом?
- Как вычисляется в прямоугольной системе координат длина отрезка, заданного координатами своих концов?
- Как вычисляются координаты середины отрезка, заданного координатами своих концов?
- Что называется полярной системой координат?
- Какова связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат?
Выполните задания:
1. На каком расстоянии от координатных плоскостей находится точка А(1; -2; 3)
2. На каком расстоянии находится точка А(1; -2; 3) от координатных прямых а)Оу; б) Оу; в)Оz;
3. Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленных:
а) от двух координатных плоскостей Оху и Оуz; АВ
б) от всех трех координатных плоскостей
4. Найдите координаты точки М середины отрезка АВ, А(-2; -4; 1); В(0; -1; 2) и назовите точку, симметричную точки М , относительно а) оси Ох
б) оси Оу
в) оси Оz.
5. Дана точка В(4; - 3; - 4). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точки на оси координат и координатные плоскости.
6.На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А(1; 2; - 1) и В(-2; 3; 1).
7. В плоскости Охz найдите точку, равноудаленную от трех точек А(2; 1; 0); В(-1; 2; 3) и С(0;3;1).
8. Найдите длины сторон треугольника АВС и его площадь, если координаты вершин: А(-2; 0; 1), В(8; - 4; 9), С(-1;2; 3).
9. Найдите координаты проекций точек А( 2; -3; 5); В (3;-5; ); С( - ; - ; - ).
10. Даны точки А(1; -1; 0) и В(-3; - 1; 2). Вычислите расстояние от начала координат до данных точек.
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Все величины, с которыми имеют дело в физике, технике, обыденной жизни разделяют на две группы. Первые полностью характеризуются своим численным значением: температура, длина, масса, площадь, работа. Такие величины называются скалярными.
Другие величины, например, сила, скорость, перемещение, ускорение и т.д. определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Называются такие величины векторными, или векторами.Векторная величина геометрически изображается в виде вектора.
Вектор-это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и направление.
Вектор изображают стрелкой, которая показывает его направление.
Если А - начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом или
В - конец вектора А

А - начало вектораили В
вектор
Точки А и В, ограничивающие вектор, играют различную роль. Вектор называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору обозначается – , = - 
Любую точку плоскости также можно считать вектором, в котором начало вектора совпадает с его концом. В этом случае вектор называется нулевым и обозначается, например, или ,или .
Абсолютной величиной вектора, или модулем, ненулевого вектора называется длина отрезка, которым он изображается. Модуль обозначается или . Длина нулевого вектора равна нулю = 0 Для ненулевого вектора модуль | | = | АВ |

В D C 
А
•
α
Для выполнения действий с векторами принят ряд терминов.
Коллинеарными называются векторы и , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записываются: a||b.Коллинеарные векторы, имеющие одно направление, называютсясонаправленными: и противоположно направленными,если их направление различно: .
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2025 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|