ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

IV. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Положение материальной точки приходится определять в самых разных отраслях знаний, начиная от простейших земных механизмов, и до положения звезд в солнечной системе. Но положение точки может быть определено только по отношению к каким-то телам отсчета. С телом отсчета неподвижно связывают некоторую систему координат и только тогда определяют положение точки в этой системе координат. Таким образом, координатами вообщеназывают числа, определяющие положение точки в любой Момент времени. Что касается системы координат, то ее выбор диктуется соображениями удобства и простоты фиксации точки положения во времени или описания ее движения точки. Известны, например, координатная прямая, прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве, географические координаты - параллели и меридианы на сферической поверхности; экваториальные координаты на небесной сфере - склонение и прямое восхождение. Самые употребительные координаты - прямоугольные. Введение такой системы координат позволяет приписать любой точке пространства определенный «адрес» в виде двух (в двухмерном случае) или трех (в трехмерном случае) чисел.

I. Положение точки на плоскости определяется с помощью прямоугольной системы координат состоящей из пары взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Начало координат обозначается буквой О, а координатные прямые обозначаются Ох и Оу и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Единицы масштаба на обеих осях координатназываютсяединичными векторами,или ортами.Единичный вектор оси Ох обозначается , единичный вектор Оу обозначается. . Единицы масштаба на обеих осях координат берут, как правило, равными.

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт (1596-1650). Поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой прямоугольной системой координат, а сами координаты - декартовыми координатами.Введениепрямоугольных координат на плоскости и в пространстве позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот.

Координаты х и у полностью определяют положение точки М на плоскости, т.к. каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

у

II четвертьI четверть

N(х₂;у₂)

у₁ - у₂х₁, у₁, – это координаты проекций точки М

М(х₁;у₁) на оси координат, поэтому проекцией

(С) отрезка МN на оси координат является число,

равное разности координат проекций концов

0 х данного отрезка на оси координат.

х₁ - х₂

пр._Ох МN = х _М – х_N=МN cos

IIIчетвертьIVчетверть пр._Оу МN = у_M - у_N = МN sin

 

ВI четверти обе координаты точки имеют знак «+», в IIIчетверти обе координаты точки имеют знак «-», во II четверти координата у точки имеет знак «+», а координата х имеет знак «- »,

вIVчетверти координата х имеет знак «+», а координата у имеет знак «- ».

Координаты середины отрезка определяются по формулам: х_с = у_с = .

 

Расстояние между двумя точками М иN на плоскости определяется формулой согласно теореме Пифагора для треугольника МNС: МN ² = пр_Ох МN ² + пр_Оу МN ² МN =

 

II. Другой практически важной системой координат является полярная система координат.Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом; лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч Ор.

Положение точки М однозначно определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса 0 и углом , образованным отрезком точки ОМ с полярной осью. Числа r и называются полярными координатамиточки М. При этом r называют полярным радиусом, а полярным углом: М(r; ).

М(r; )

r - полярный радиус, - полярный угол.

r

 

0 [

Полярный угол ограничивают промежутком ( 0 < 2π ), а полярный радиус - . В этом случае каждой точке плоскости (кроме 0) соответствует единственная пара чисел r и и наоборот.

 

Связь полярных координат с декартовыми координатами очевидна:

у

r² = х² + у²

А у_А =rsin cos =

sin = tg = =

0 х_А = rcos х

 

И она аналогична связи между коодинатами точки и ее проекциями в прямоугольной системе координат.

 

III. Положение точки в пространствеопределяется уже тремя координатами. Поэтому пространственная система координат состоит из трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке. Третья ось называется ось аппликат и обозначается ось Оz.Орты трех осей координат обозначаются соответственно: , , . Существуют две различные конфигурации трехмерной системы координат: левая и правая

левая правая z

z

1

О О 1 у

1 х 1

У х

Наибольшее распространение на практике получила правая система.

Каждая пара координатных осей определяет координатную плоскость, а в совокупности они разбивают все пространство на 8 октантов.

 

ось аппликатz плоскость Oуzобразуется в пространстве

осями Оу и Оz

z_М

М(х;у;z) плоскость Oxy образуется в пространстве

осями Ох и Оу

0 у_М у ось ординат

х_М

М(х;у;0)

х

ось абсцисс

Каждой тройке чисел х, у, z сопоставляется

одна и только одна точка пространства.

И наоборот, каждой точке пространства

плоскость
соответствует только одна тройка чисел, образуется в
которые называются еекоординатами: М( х_м ; у_м; z_м ).

пространстве

осями Ох и Оz

Если точка лежит накоординатной плоскости,то одна из ее координат равна 0:

 

Z

F(0;y;z)

Z_F

С(0;0;z)

Z_D

D(x;0;z) 0 (0;0;0) Y_F Y_E B(0;y;0) Если точка лежит в плоскости Oxy

y (хорошо известной прямоугольной системе

X _D A(x;0;0) координат), то у нее существуют две

X_E координаты x и y. Третьей координаты zу

E(x;y;0) точки нет, поэтому, если мы хотим показать, что

рассматриваем точку в трехмерном пространстве, то третью координату записывают равной нулю: E(x;y;0); у точки лежащей на плоскости Oуz,нулю равна координата x: F(0;y;z). У точки, лежащей в плоскости Oxz, нулю равна координата у: D(x;0;z).

У точки, лежащей на оси координат, две из ее координат равны 0:
на оси Ох: А(х_А; 0;0); на оси Оу: В(0;у_В; 0); на оси Oz: С(0;0;z_C)

Любую точку пространства можно рассматривать как вершину прямоугольного параллелепипеда, построенного на его осях координат. Тогда координаты этой точки(проекции точки на оси координат) x; y и z можно рассматривать как измерения прямоугольного параллелепипеда: a, b и c.

 

z

А₃(x;0;z0) Z_A A₂(0;y;z) - проекция точки А на плоскость Oyz.

проекция

точки А A(x;y;z)

на плоскость Y_A

Oxz 0 у

X_A

х A₁(x;y;o) – проекция точки А на плоскость Oyx

 

 

Пусть точка А -вершина параллелепипеда, тогда отрезок АО является его диагональю, и его длина вычисляется по известной формуле: d² = a² + b² + c², где a, b и c – измерения параллелепипеда, и одновременно координаты точки А(х, у, z), т.е. r(АО) = .

Случай, когда один конец отрезка совпадает с началом координат, весьма редкий и его можно рассматривать как частный случай. В общем виде концы отрезка с началом координат несовпадают. Тогда проекцией произвольного отрезка на ось координат является число, равное разности соответствующих координат проекций на эту ось концов данного отрезка. В пространстве это три отрезка x_B - x_A ; y_B- у_A

и z_B- z_A

уz

у_В В

z_B

у_А А

0 х_А х _В х z_A

B

х _В – х_АA

y_A y_B y

x_A

x_B

x

Тогда расстояние между двумя точками, заданными своими координатами, равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат заданных точек
Т.е. АВ =

 

 

123456

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.